ハンケル行列

線型代数学において、ハンケル行列（カタレクティカント行列）は、ヘルマン・ハンケルにちなんで名付けられ、左から右への各上昇する歪対角成分が一定である行列である。例えば、

$${\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.}$$

より一般的には、ハンケル行列とは、以下の形式の 行列である。${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&\vdots \\a_{2}&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.}$$

成分の観点から見ると、の元が で表され、 と仮定すると、すべての に対して${\displaystyle i,j}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle A_{i,j}=A_{i+k,j-k}}$${\displaystyle k=0,...,j-i.}$

• 任意のハンケル行列は対称です。
• を交換行列とします。 がハンケル行列である場合、 はテプリッツ行列です。 ${\displaystyle J_{n}}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle H=TJ_{n}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle m\times n}$
  • が実対称ならば、は符号までと同じ固有値を持つ。 ^[1]${\displaystyle T}$${\displaystyle H=TJ_{n}}$${\displaystyle T}$
• ヒルベルト行列はハンケル行列の例です。
• ハンケル行列の行列式はカタレクティカントと呼ばれます。

形式ローラン級数 が与えられた場合、 対応するハンケル演算子は次のように定義されます^[2]これは多項式 を取り、それを積 に渡しますが、非負の指数を持つの累乗をすべて破棄して、 の要素、つまり厳密に負の指数を持つ形式冪級数を与えます。写像は自然に -線型であり、その行列は要素とに関してハンケル行列です 。任意の ハンケル行列はこのようにして生じます。クロネッカーによる定理によれば、この行列の階数はが有理関数、つまり2つの多項式の分数で ある場合に限り有限となります。$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{N}a_{n}z^{n},}$$ $${\displaystyle H_{f}:\mathbf {C} [z]\to \mathbf {z} ^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]].}$$ ${\displaystyle g\in \mathbf {C} [z]}$${\displaystyle fg}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$${\displaystyle H_{f}}$${\displaystyle \mathbf {C} [z]}$${\displaystyle 1,z,z^{2},\dots \in \mathbf {C} [z]}$${\displaystyle z^{-1},z^{-2},\dots \in z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\ldots \\a_{2}&a_{3}&\ldots \\a_{3}&a_{4}&\ldots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}.}$$

ハンケル演算子の近似、おそらくは低次の演算子による近似に関心を持つことがよくあります。演算子の出力を近似するには、スペクトル ノルム (演算子 2 ノルム) を使用して近似のエラーを測定することができます。これは、演算子のアクションを近似する可能性のある手法として 特異値分解を示唆しています。

行列は有限である必要はないことに注意してください。行列が無限である場合、個々の特異ベクトルを計算する従来の方法は直接機能しません。また、近似はハンケル行列である必要があり、これは AAK 理論で示すことができます。 ${\displaystyle A}$

数列のハンケル行列変換、または単にハンケル変換は、から形成されるハンケル行列の行列式の数列です。整数 が与えられた場合、対応する 次元ハンケル行列を行列要素を持つものとして定義します。すると、によって与えられる 数列は 数列のハンケル変換です。ハンケル変換は数列の二項変換に対して不変です。つまり、 を 数列の二項変換として書くと 、 ${\displaystyle b_{k}}$${\displaystyle b_{k}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle (n\times n)}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle [B_{n}]_{i,j}=b_{i+j}.}$${\displaystyle h_{n}}$$${\displaystyle h_{n}=\det B_{n}}$$${\displaystyle b_{k}.}$$${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}}$$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle \det B_{n}=\det C_{n}.}$

ハンケル行列は、出力データのシーケンスが与えられたときに、基礎となる状態空間モデルまたは隠れマルコフモデルの実現が望まれる場合に形成されます。^[3]ハンケル行列の特異値分解は、状態空間実現を定義するA、B、およびC行列 を計算する手段を提供します。 ^[4]信号から形成されたハンケル行列は、非定常信号の分解と時間周波数表現に有用であることがわかっています。

多項式分布にモーメント法を適用するとハンケル行列が得られ、これを逆行列にすることで多項式分布近似の重みパラメータを得ることができる。^[5]

• コーシー行列
• ヤコビ演算子
• テプリッツ行列、「逆さまの」（つまり、行が反転した）ハンケル行列
• ヴァンデルモンド行列

• Brent RP (1999)、「構造化線形システムのための高速アルゴリズムの安定性」、構造付き行列のための高速で信頼性の高いアルゴリズム(編集者—T. Kailath、AH Sayed)、第 4 章 ( SIAM )。
• Fuhrmann, Paul A. (2012).線形代数への多項式アプローチ。Universitext (第2版)。ニューヨーク、NY: Springer。doi : 10.1007 /978-1-4614-0338-8。ISBN 978-1-4614-0337-1.ZBL1239.15001  。​

• Victor Y. Pan (2001)。構造化行列と多項式:統合された超高速アルゴリズム。Birkhäuser。ISBN 0817642404。
• JR Partington (1988)。ハンケル演算子入門。LMS 学生用テキスト。第 13 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-36791-3。