非対称行列

数学において、非対称行列とは以下を指します。

1. 北東から南西の対角線（反対角線）に関して対称な正方 行列、または
2. 主対角線に垂直な各線上の値が、与えられた線に対して同じであるような正方行列。

最初の定義は、最近の文献で最も一般的です。「ハンケル行列」という名称は、2 番目の定義の特性を満たす行列によく使用されます。

A = ( a _ij )をn  ×  n行列とする。パーシンメトリックの最初の定義では、すべてのi、jに対して次の式が成り立つことが必要である 。^[1] たとえば、5 × 5 パーシンメトリック行列は次の形式である。 $${\displaystyle a_{ij}=a_{n-j+1,\,n-i+1}}$$$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{23}&a_{13}\\a_{41}&a_{42}&a_{32}&a_{22}&a_{12}\\a_{51}&a_{41}&a_{31}&a_{21}&a_{11}\end{bmatrix}}.}$$

これは、 AJ = JA ^Tと同等に表現できます。ここで、J は交換行列です。

これを表現する3番目の方法は、両辺に Jを 乗じてAJ = JA ^Tを乗算することで、 180度回転したA ^TがAと同一であることを示します。 $${\displaystyle A=JA^{\mathsf {T}}J.}$$

対称行列は、北西から南東の対角線上で値が対称である行列です。対称行列を 90° 回転させると、非対称行列になります。対称非対称行列は、双対称行列と呼ばれることもあります。

2番目の定義はトーマス・ミュアによるものです。^[2]これは、正方行列A = ( a _ij ) は、a _{ij が}i + jのみに依存する場合、非対称行列であると述べています。この意味での非対称行列、またはよく呼ばれるハンケル行列は、次の形式になります 。 非対称行列式は、非対称行列の行列式です。 ^[2]$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}r_{1}&r_{2}&r_{3}&\cdots &r_{n}\\r_{2}&r_{3}&r_{4}&\cdots &r_{n+1}\\r_{3}&r_{4}&r_{5}&\cdots &r_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n}&r_{n+1}&r_{n+2}&\cdots &r_{2n-1}\end{bmatrix}}.}$$

主対角線に平行な各線上の値が一定である行列をテプリッツ行列と呼びます。

• 中心対称行列