GCD行列

数学において、 最大公約数行列（GCD行列と略されることもある）は、スミス行列とも呼ばれる行列である。この研究はHJSスミス（1875）によって始められた。BourqueとLigh（1992）の論文から新たな着想が生まれ、GCD型行列の特異性と可除性に関する集中的な研究が始まった。それ以前のGCD型行列に関する論文の簡単なレビューは、Haukkanen、Wang 、 Sillanpää（1997）で紹介されている。

させて${\displaystyle S=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$正の整数のリストである。${\displaystyle n\times n}$マトリックス${\displaystyle (S)}$最大公約数を持つ${\displaystyle \gcd(x_{i},x_{j})}$その${\displaystyle ij}$エントリは、GCD 行列と呼ばれます。${\displaystyle S}$LCM行列${\displaystyle [S]}$も同様に定義される。^{[ 1 ] [ 2 ]}

GCD 型行列の研究は、特定の GCD 行列と LCM 行列の行列式を評価したSmith (1875)に端を発する。Smith はとりわけ、行列式が${\displaystyle n\times n}$マトリックス${\displaystyle (\gcd(i,j))}$は${\displaystyle \phi (1)\phi (2)\cdots \phi (n)}$、 どこ${\displaystyle \phi }$オイラーのトーシェント関数である。^{[ 3 ]}

Bourque & Ligh (1992)は、GCD 閉集合上の LCM 行列が${\displaystyle S}$は非特異である。^{[ 1 ]}この予想はHaukkanen、Wang 、 Sillanpää (1997)によって、また後にHong (1999)によって偽であることが示された。^{[ 4 ] [ 2 ]}格子理論的なアプローチはKorkee、Mattila 、 Haukkanen (2019)によって提供されている。^{[ 5 ]}

Haukkanen, Wang & Sillanpää (1997)で示された反例は次のとおりです。${\displaystyle S=\{1,2,3,4,5,6,10,45,180\}}$そして、ホン（1999）では ${\displaystyle S=\{1,2,3,5,36,230,825,227700\}.}$奇数からなる反例は${\displaystyle S=\{1,3,5,7,195,291,1407,4025,1020180525\}}$そのハッセ図は右下に示されています。

これらの集合の可除性関係に関する立方体型構造については、Korkee、Mattila 、 Haukkanen (2019)で説明されています。

させて${\displaystyle S=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$因数閉集合とする。すると、GCD行列は${\displaystyle (S)}$LCM行列を分割する${\displaystyle [S]}$リングの中で${\displaystyle n\times n}$整数上の行列、つまり整数行列が存在する${\displaystyle B}$そのため${\displaystyle [S]=B(S)}$、Bourque & Ligh (1992)を参照。行列は${\displaystyle (S)}$そして${\displaystyle [S]}$対称であるため、${\displaystyle [S]=(S)B^{T}}$したがって、右からの割り算は左からの割り算と一致する。よって、割り算という用語を用いることができる。

この基本的な可除性結果の一般化や類似例は、文献に数多く存在する。

GCD型行列の行列ノルムに関するいくつかの結果が文献に示されています。2つの基本的な結果は、$\displaystyle \ell _{p}}$GCDとLCM行列のノルム${\displaystyle S=\{1,2,\dots ,n\}}$[ ^{6 ]​}

与えられた$\displaystyle p\in \mathbb {N} ^{+}}$、$\displaystyle \ell _{p}}$規範${\displaystyle n\times n}$マトリックス${\displaystyle A}$は次のように定義される。

${\displaystyle \Vert A\Vert _{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}.}$

させて ${\displaystyle S=\{1,2,\dots ,n\}}$。 もし${\displaystyle p\geq 2}$、 それから

${\displaystyle \Vert (S)\Vert _{p}=C_{p}^{1/p}n^{1+(1/p)}+O((n^{(1/p)-p}E_{p}(n)),}$

どこ

${\displaystyle C_{p}:={\frac {2\ゼータ (p)-\ゼータ (p+1)}{(p+1)\ゼータ (p+1)}}}$

そして${\displaystyle E_{p}(x)=x^{p}}$のために${\displaystyle p>2}$そして${\displaystyle E_{2}(x)=x^{2}\log x}$さらに、もし${\displaystyle p\geq 1}$、 それから

${\displaystyle \Vert [S]\Vert _{p}=D_{p}^{1/p}n^{2+(2/p)}+O((n^{(2/p)+1}(\log n)^{2/3}(\log \log n)^{4/3}),}$

どこ

${\displaystyle D_{p}:={\frac {\ゼータ (p+2)}{(p+1)^{2}\ゼータ (p)}}。$

させて${\displaystyle f}$を算術関数とし、 ${\displaystyle S=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$は互いに異なる正の整数の集合とする。すると行列は${\displaystyle (S)_{f}=(f(\gcd(x_{i},x_{j}))}$は、GCD行列と呼ばれます。${\displaystyle S}$関連する${\displaystyle f}$LCM行列${\displaystyle [S]_{f}}$の上${\displaystyle S}$関連する${\displaystyle f}$も同様に定義される。また、以下の表記法も使用できる。 ${\displaystyle (S)_{f}=f(S)}$そして${\displaystyle [S]_{f}=f[S]}$。

させて${\displaystyle S}$GCD閉集合とする。

${\displaystyle (S)_{f}=E\デルタ E^{T},}$

どこ${\displaystyle E}$は${\displaystyle n\times n}$行列は次のように定義される

${\displaystyle e_{ij}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}x_{j}\,\mid \,x_{i},\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

そして${\displaystyle \Delta }$は${\displaystyle n\times n}$対角要素が

${\displaystyle \delta _{i}=\sum _{d\mid x_{i} \atop {d\nmid x_{t} \atop x_{t}<x_{i}}}(f\star \mu )(d).}$

ここ${\displaystyle \star }$ディリクレ畳み込みと${\displaystyle \mu }$はメビウス関数です。

さらに、もし${\displaystyle f}$は乗法関数であり、常にゼロではないので、

${\displaystyle [S]_{f}=\Lambda E\Delta ^{\prime }E^{T}\Lambda ,}$

どこ${\displaystyle \Lambda }$そして${\displaystyle \Delta '}$は${\displaystyle n\times n}$対角要素が ${\displaystyle \lambda _{i}=f(x_{i})}$ そして

${\displaystyle \delta _{i}^{\prime }=\sum _{d\vert x_{i} \atop {d\nmid x_{t} \atop x_{t}<x_{i}}}({\frac {1}{f}}\star \mu )(d).}$

もし${\displaystyle S}$因子が閉じている場合、${\displaystyle \delta _{i}=(f\star \mu )(x_{i})}$そして ${\displaystyle \delta _{i}^{\prime }=({\frac {1}{f}}\star \mu )(x_{i})}$[ ^{6 ]​}