中心対称行列

数学、特に線型代数と行列理論において、中心対称行列とは、その中心に関して対称な行列のことです。

n  ×  n行列A = [ A _{i , j} ]は、その要素が

$${\displaystyle A_{i,\,j}=A_{n-i+1,\,n-j+1}\quad {\text{すべての }}i,j\in \{1,\,\ldots ,\,n\} に対して。}$$

あるいは、J が対角要素に 1 、それ以外に 0 を 持つn × n 交換行列を表す場合、 行列AはAJ = JAの場合にのみ中心対称になります。 $${\displaystyle J_{i,\,j}={\begin{cases}1,&i+j=n+1\\0,&i+j\neq n+1\\\end{cases}}}$$

• すべての2×2中心対称行列は次の形式を持つ。$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&a\end{bmatrix}}.}$$
• すべての3×3中心対称行列は次の形式を持つ。$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&d\\c&b&a\end{bmatrix}}.}$$
• 対称 テプリッツ行列は中心対称です。

• AとB が体F上のn  ×  n中心対称行列である場合、Fの任意のcに対してA + BとcAも中心対称行列です。さらに、行列積AB はJAB = AJB = ABJであるため中心対称です。単位行列も中心対称であるため、F上のn  ×  n中心対称行列の集合は、すべてのn  ×  n行列の結合代数の部分代数を形成します。
• A がm次元の固有基底を持つ中心対称行列である場合、そのm 個の 固有ベクトルはそれぞれx = J  xまたはx = −  J  xのいずれかを満たすように選択できます。ここで、Jは交換行列です。
• Aが異なる固有値を持つ中心対称行列である場合、 Aと交換する行列は中心対称でなければならない。^[1]
• m  ×  mの中心対称行列における一意の要素の最大数は

${\displaystyle {\frac {m^{2}+m{\bmod {2}}}{2}}.}$

n  ×  n行列Aは、その要素が次を満たす場合 、歪中心対称行列であると言われます。同様に 、A はAJ = − JAの場合、歪中心対称行列です。ここで、Jは前に定義した交換行列です。 $${\displaystyle A_{i,\,j}=-A_{n-i+1,\,n-j+1}\quad {\text{すべての }}i,j\in \{1,\,\ldots ,\,n\} に対して。}$$

中心対称関係AJ = JA は、自然な一般化が可能で、J は、可換行列K (つまり、K ² = I  ) ^{[2] [3] [4]}、またはより一般的には、整数m > 1に対してK ^m = Iを満たす行列K に置き換えられます。^{[1]交換関係}AK = KA の逆問題、つまり、固定行列Aと交換するすべての可換K を特定する問題も研究されています。^[1]

対称中心対称行列は、双対称行列と呼ばれることもあります。基底体が実数である場合、双対称行列は、交換行列による前乗算または後乗算後の符号変化を除いて、固有値が同じままである対称行列であることが示されています。^[3] 同様の結果は、エルミート中心対称行列と歪中心対称行列にも当てはまります。^[5]

• ミュア、トーマス（1960）。行列式の理論に関する論文。ドーバー。p.19。ISBN 0-486-60670-8。
• ウィーバー、ジェームズR. (1985)。 「中心対称 (交差対称) 行列、その基本特性、固有値、および固有ベクトル」。アメリカ数学月刊誌。92 (10): 711–717。doi :10.2307/2323222。JSTOR  2323222。

• MathWorldの中心対称行列。