転置行列

転置行列（Tr行列）は正方行列、、であり、その要素は次のように与えられたn次元ベクトルの要素から取得されます： 、ここで、は「ビット排他的論理和」（XOR）演算を表します。転置行列の行と列はベクトルXの要素の順列で構成され、行列の2つの行または列ごとに n /2の転置があります。${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n=2^{m}}$${\displaystyle m\in N}$${\displaystyle X=(x_{i})_{\begin{smallmatrix}i={1,n}\end{smallmatrix}}}$${\displaystyle Tr_{i,j}=x_{(i-1)\oplus (j-1)+1}}$${\displaystyle \oplus}$

下の図は、任意のベクトルから作成された8次の転置行列を示しています。${\displaystyle Tr(X)}$${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8}\\\end{pmatrix}}}$ $${\displaystyle Tr(X)=\left[{\begin{array}{cccc|ccccc}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}&x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}&x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}&x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}\\\hline x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}&x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}&x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}&x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}&x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\end{array}}\right]}$$

• ${\displaystyle Tr}$行列は対称行列です。
• ${\displaystyle Tr}$行列は非対称行列です。つまり、北東から南西への対角線に関しても対称です。
• 行列の各行と各列は、重複のない指定されたベクトルの n 要素すべてで構成されます。${\displaystyle Tr}$${\displaystyle X}$
• 2 行の行列は、対角要素の値が同じ 4 つの要素で構成されます。たとえば、と が行列の同じ列 q から任意に選択された 2 つの要素である場合、行列は 4 つの要素で構成され、各要素に対して方程式とが満たされます。この「Tr 特性」と呼ばれる特性は、行列に特有のものです。${\displaystyle Tr}$${\displaystyle n/2}$${\displaystyle Tr_{p,q}}$${\displaystyle Tr_{u,q}}$${\displaystyle Tr}$${\displaystyle Tr}$${\displaystyle (Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})}$${\displaystyle Tr_{p,q}=Tr_{u,v}}$${\displaystyle Tr_{u,q}=Tr_{p,v}}$${\displaystyle Tr}$

右の図は、行列内のいくつかの要素を示しています。 ${\displaystyle Tr}$

行列の4の法則により、4、 のそれぞれにおいて符号を奇数個の要素に変更することにより、互いに直交する行と列を持つ行列 (行列 ) を作成することができます。[5] では、 Tr 行列と n 次元アダマール行列のアダマール積 ( で表記) を使用して行列を作成するアルゴリズムが提案されています。この行列の行 (最初の行を除く) は、シルベスター-アダマール行列の行に対して の順序で並べ替えられており、結果の Trs 行列の行は互いに直交しています。 ${\displaystyle Tr}$${\displaystyle trs}$${\displaystyle (Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})}$${\displaystyle p,q,u,v\in [1,n]}$${\displaystyle trs}$${\displaystyle \circ}$${\displaystyle R=[1,r_{2},\dots ,r_{n}]^{T},r_{2},\dots ,r_{n}\in [2,n]}$

$${\displaystyle Trs(X)=Tr(X)\circ H(R)}$$ $${\displaystyle Trs.{Trs}^{T}=\parallel X\parallel ^{2}.I_{n}}$$

どこ：

• 「」はアダマール積演算を表す。${\displaystyle \circ }$
• ${\displaystyle I_{n}}$n次元の単位行列です。
• ${\displaystyle H(R)}$はn次元アダマール行列であり、その行はシルベスター-アダマール[4]行列と指定された順序で交換され、結果として得られる行列の行は互いに直交する。${\displaystyle R=[1,r_{2},\dots ,r_{n}]^{T},r_{2},\dots ,r_{n}\in [2,n]}$${\displaystyle Trs}$
• ${\displaystyle X}$行列の要素が導出されるベクトルです。${\displaystyle Tr}$

アダマール行列の行の順序 R は、サイズが 2、4、8 の行列について実験的に得られました。アダマール行列の行の順序 R (シルベスター-アダマール行列に対する) はベクトル に依存しないことに注意することが重要です。 が単位ベクトル (つまり) の場合、行列 (上記のように取得) は反射の行列であることが証明されています[5] 。 ${\displaystyle Trs}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \parallel X\parallel =1}$${\displaystyle Trs}$

ベクトルの 4 次で互いに直交する行 (行列) を持つ転置行列は次のように得られます。 ${\displaystyle Trs}$${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\end{pmatrix}}^{T}}$

$${\displaystyle Trs(X)=H(R)\circ Tr(X)={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\\1&1&-1&-1\\\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&-x_{1}&x_{4}&-x_{3}\\x_{3}&-x_{4}&-x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&-x_{2}&-x_{1}\\\end{pmatrix}}}$$ ここで、はベクトル から得られる行列であり、" " はアダマール積の演算を表し、はアダマール行列であり、行は指定された順序で入れ替えられ、結果の行列の行は互いに直交します。上の図からわかるように、結果の行列の最初の行には、転置や符号の変更のないベクトルの要素が含まれています。行列の行が互いに直交している ことを考慮すると、${\displaystyle Tr(X)}$${\displaystyle Tr}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle H(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle Trs}$${\displaystyle Trs}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Trs}$$${\displaystyle Trs(X).X=\left\|X\right\|^{2}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}}$$

これは、行列がベクトルを座標軸の方向に回転させることを意味する。${\displaystyle Trs}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{1}}$

[5]では、サイズn = 2、4、または8のベクトルの行列を作成するMatlab関数のコード例が示されています。8より大きいサイズの行列を作成できるかどうかは未解決の問題です。 ${\displaystyle Tr}$${\displaystyle Trs}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Trs}$

• 対称行列
• 非対称行列
• 直交行列

1. ハーヴィル、DA（1997）。統計学者の視点から見た行列代数ソフトカバー。
2. ホーン、ロジャー A.; ジョンソン、チャールズ R. (2013)、マトリックス分析(第 2 版)、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-54823-6
3. ミルスキー、レオニード（1990）、線形代数入門、クーリエ・ドーバー出版、ISBN 978-0-486-66434-7
4. Baumert, LD; Hall, Marshall (1965). 「ウィリアムソン型のアダマール行列」. Math. Comp . 19 (91): 442–447. doi : 10.1090/S0025-5718-1965-0179093-2 . MR  0179093.
5. ジェレゾフ、OI（2021）。対称行列の特殊なケースの決定とその応用数学とコンピュータサイエンスの最新トピックス第6巻、29〜45ページ。ISBN 978-93-91473-89-1。

• http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20190904.03.html