繊維化

ファイバ化の概念はファイバ束の概念を一般化し、数学の分野である代数的位相幾何学において重要な役割を果たします。

ファイバレーションは、例えばポストニコフ系や閉塞理論で使用されます。

この記事では、すべてのマッピングは位相空間間の連続マッピングです。

マッピングが空間のホモトピーリフティング特性を満たすのは、次の場合です。 ${\displaystyle p\colon E\to B}$${\displaystyle X}$

• すべてのホモトピー と${\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to B}$
• すべてのマッピング（リフトとも呼ばれる）リフティング（すなわち）${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}\colon X\to E}$${\displaystyle h|_{X\times 0}=h_{0}}$${\displaystyle h_{0}=p\circ {\tilde {h}}_{0}}$

（必ずしも一意ではない）ホモトピーリフティング（すなわち）が存在する。${\displaystyle {\tilde {h}}\colon X\times [0,1]\to E}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h=p\circ {\tilde {h}}}$${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}={\tilde {h}}|_{X\times 0}.}$

次の可換図はこの状況を示している: ^{[1] : 66}

ファイバリング（Hurewiczファイバリングとも呼ばれる）は、すべての空間に対してホモトピーリフティング特性を満たすマッピングです。空間は基底空間と呼ばれ、空間は全空間と呼ばれます。上のファイバは部分空間です^{[1] ：66}${\displaystyle p\colon E\to B}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle B}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle F_{b}=p^{-1}(b)\subseteq E.}$

セールファイバ（弱ファイバとも呼ばれる）は、すべてのCW複体に対してホモトピーリフティング特性を満たすマッピングである。^{[2] : 375-376}${\displaystyle p\colon E\to B}$

すべての Hurewicz ファイバは Serre ファイバです。

任意の に対して が成り立ち、誘導されたマッピングが同型であるとき、そのマッピングは準写像と呼ばれます。 ${\displaystyle p\colon E\to B}$${\displaystyle b\in B,}$ ${\displaystyle e\in p^{-1}(b)}$${\displaystyle i\geq 0}$${\displaystyle p_{*}\colon \pi _{i}(E,p^{-1}(b),e)\to \pi _{i}(B,b)}$

すべてのセール繊維化は準繊維化である。^{[3] : 241-242}

• 最初の因子への射影はファイブレーションです。つまり、自明なバンドルはファイブレーションです。${\displaystyle p\colon B\times F\to B}$
• あらゆる被覆は ファイバ化である。具体的には、あらゆるホモトピーとあらゆる揚力に対して、 ^{[4] : 159  [5] : 50}で一意に定義された揚力が存在する。${\displaystyle p\colon E\to B}$${\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to B}$${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}\colon X\to E}$${\displaystyle {\tilde {h}}\colon X\times [0,1]\to E}$${\displaystyle p\circ {\tilde {h}}=h.}$
• あらゆるファイバー束は あらゆるCW複体に対してホモトピーリフティング特性を満たす。^{[2] : 379}${\displaystyle p\colon E\to B}$
• パラコンパクトとハウスドルフ基底空間を持つファイバー束は、すべての空間に対してホモトピーリフティング特性を満たす。^{[2] : 379}
• ファイバー束ではないファイバー化の例としては、包含によって誘導される写像が挙げられ、ここでは位相空間であり、コンパクト開位相を持つすべての連続写像の空間である。^{[4] : 198}${\displaystyle i^{*}\colon X^{I^{k}}\to X^{\partial I^{k}}}$${\displaystyle i\colon \partial I^{k}\to I^{k}}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{A}=\{f\colon A\to X\}}$
• ホップファイバ は非自明なファイバ束であり、具体的にはセールファイバです。${\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}}$

2 つのファイバ化の全空間と、同じ基底空間との間のマッピングは、次の図が可換である場合、 ファイバ化準同型である。${\displaystyle f\colon E_{1}\to E_{2}}$${\displaystyle p_{1}\colon E_{1}\to B}$${\displaystyle p_{2}\colon E_{2}\to B}$

写像はファイバーホモトピー同値であるためには、さらにファイバー準同型が存在し、写像とがファイバー準同型によって恒等写像とに同型となる必要がある^{[2] :405-406}${\displaystyle f}$${\displaystyle g\colon E_{2}\to E_{1}}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle \operatorname {Id} _{E_{2}}}$${\displaystyle \operatorname {Id} _{E_{1}}.}$

ファイバ化とマッピング が与えられた場合、マッピング はファイバ化 であり、ここで は引き戻しであり、 をおよびに射影すると、次の可換図が生成されます。 ${\displaystyle p\colon E\to B}$${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle p_{f}\colon f^{*}(E)\to A}$${\displaystyle f^{*}(E)=\{(a,e)\in A\times E|f(a)=p(e)\}}$${\displaystyle f^{*}(E)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$

この繊維化はプルバック繊維化または誘導繊維化と呼ばれる。^{[2] : 405-406}${\displaystyle p_{f}}$

パススペース構成では、任意の連続マッピングを、そのドメインをホモトピー等価空間に拡大することによってファイバ化に拡張できます。このファイバ化はパススペースファイバ化と呼ばれます。

位相空間間の連続写像のパス空間ファイバ化の全空間は、 のペアと、が単位区間である開始点を持つパスで構成されます。空間はの部分空間位相を持ち、 はすべての写像の空間を記述し、コンパクト開位相を持ちます。 ${\displaystyle E_{f}}$${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle (a,\gamma )}$${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \gamma \colon I\to B}$${\displaystyle \gamma (0)=f(a),}$${\displaystyle I=[0,1]}$${\displaystyle E_{f}=\{(a,\gamma )\in A\times B^{I}|\gamma (0)=f(a)\}}$${\displaystyle A\times B^{I},}$${\displaystyle B^{I}}$${\displaystyle I\to B}$

パススペースファイバは、とのマッピングによって与えられます。ファイバはのホモトピーファイバとも呼ばれ、 およびのパスのペアで構成されます。 ここで、および が成り立ちます。${\displaystyle p\colon E_{f}\to B}$${\displaystyle p(a,\gamma )=\gamma (1).}$${\displaystyle F_{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (a,\gamma )}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to B,}$${\displaystyle \gamma (0)=f(a)}$${\displaystyle \gamma (1)=b_{0}\in B}$

基点 を含む特殊なケースでは、パス空間ファイバ化の重要な例が出現します。全体の空間は、から始まる 内のすべてのパスで構成されます。この空間は で表され、パス空間と呼ばれます。パス空間ファイバ化は、各パスをその終点にマップするため、ファイバーはすべての閉じたパスで構成されます。ファイバーは で表され、ループ空間と呼ばれます。^{[2] : 407-408}${\displaystyle i\colon b_{0}\to B}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle b_{0}.}$${\displaystyle PB}$${\displaystyle p\colon PB\to B}$${\displaystyle p^{-1}(b_{0})}$${\displaystyle \Omega B}$

• 上のファイバーは^[2]の各パス成分に対してホモトピー同値である^:405${\displaystyle p^{-1}(b)}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle B.}$
• ホモトピーに対して、プルバックファイバとファイバーホモトピーは同値である。^{[2] : 406}${\displaystyle f\colon [0,1]\times A\to B}$${\displaystyle f_{0}^{*}(E)\to A}$${\displaystyle f_{1}^{*}(E)\to A}$
• 基底空間が収縮可能であれば、ファイバ化は積ファイバ化と同値なファイバホモトピーである^{[2] : 406}${\displaystyle B}$${\displaystyle p\colon E\to B}$${\displaystyle B\times F\to B.}$
• ファイバ化のパススペースファイバ化はそれ自身と非常に類似している。より正確には、包含はファイバホモトピー同値である。^{[2] : 408}${\displaystyle p\colon E\to B}$${\displaystyle E\hookrightarrow E_{p}}$
• 繊維と収縮可能な全空間を持つ繊維化に対しては、弱いホモトピー同値が存在する^{[2] ：408}${\displaystyle p\colon E\to B}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\to \Omega B.}$

ファイバーと基点を持つファイブレーションの場合、ファイバーをホモトピーファイバーに含めることはホモトピー同値です。とのマッピング(ここで、 および は基底空間における からへのパス) はファイブレーションです。具体的には、に沿ったパス空間ファイブレーションのプルバックファイブレーションです。この手順は、ファイブレーションに再度適用することができ、これを繰り返します。これにより、長いシーケンスが生まれます。 ${\displaystyle p\colon E\to B}$${\displaystyle F}$${\displaystyle b_{0}\in B}$${\displaystyle F\hookrightarrow F_{p}}$${\displaystyle i\colon F_{p}\to E}$${\displaystyle i(e,\gamma )=e}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle \gamma \colon I\to B}$${\displaystyle p(e)}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle PB\to B}$${\displaystyle p}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle \cdots \to F_{j}\to F_{i}\xrightarrow {j} F_{p}\xrightarrow {i} E\xrightarrow {p} B.}$

点上の のファイバーは、が から へのパス、つまりループ空間であるペアで構成されます。のファイバーを のホモトピー ファイバーに含めることは、再びホモトピー同値となり、反復により次のシーケンスが生成されます。${\displaystyle i}$${\displaystyle e_{0}\in p^{-1}(b_{0})}$${\displaystyle (e_{0},\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle p(e_{0})=b_{0}}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle \Omega B}$${\displaystyle \Omega B\hookrightarrow F_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle \cdots \Omega ^{2}B\to \Omega F\to \Omega E\to \Omega B\to F\to E\to B.}$

ファイバ化と共ファイバ化の双対性により、共ファイバ化のシーケンスも存在します。これら2つのシーケンスは、プッペシーケンスまたはファイバ化と共ファイバ化のシーケンスとして知られています。^{[2] : 407-409}

ファイバーを持つファイバー化は、可換図式が存在する場合、 主ファイバー化と呼ばれます。${\displaystyle p\colon E\to B}$${\displaystyle F}$

下の行はファイバの列であり、垂直の写像は弱ホモトピー同値である。主ファイバはポストニコフタワーで重要な役割を果たしている。^{[2] : 412}

セールファイバに対しては、ホモトピー群の長い正確な列が存在します。基点とに対して、これは次のように与えられます。${\displaystyle p\colon E\to B}$${\displaystyle b_{0}\in B}$${\displaystyle x_{0}\in F=p^{-1}(b_{0})}$

${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(F,x_{0})\rightarrow }$ ${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{0}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{0}(E,x_{0}).}$

準同型 と は包含と射影の誘導準同型である^{[2] : 376}${\displaystyle \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})}$${\displaystyle \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})}$${\displaystyle i\colon F\hookrightarrow E}$${\displaystyle p\colon E\rightarrow B.}$

ホップファイバは、ファイバ、全空間、ベース空間が球であるファイバ束の族です。

${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1},}$

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2},}$

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4},}$

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}.}$

ホップファイバのホモトピー群の長い正確な列は次式を生成します。${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}}$

${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{2},b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(S^{1},x_{0})\rightarrow }$ ${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{2},b_{0}).}$

このシーケンスは、ファイバーが点まで収縮可能であるため、短い正確なシーケンスに分割されます。${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{3}}$

${\displaystyle 0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _{i}(S^{2})\rightarrow \pi _{i-1}(S^{1})\rightarrow 0.}$

この短い完全列は、懸垂準同型により分割され、同型が存在します。${\displaystyle \phi \colon \pi _{i-1}(S^{1})\to \pi _{i}(S^{2})}$

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2})\cong \pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1}).}$

ホモトピー群はに対して自明なので、との間には同型が存在する。${\displaystyle \pi _{i-1}(S^{1})}$${\displaystyle i\geq 3,}$${\displaystyle \pi _{i}(S^{2})}$${\displaystyle \pi _{i}(S^{3})}$${\displaystyle i\geq 3.}$

類似して、のファイバーとのファイバーは点に収縮可能である。さらに、短完全列は分割され、同型の族が存在する: ^{[6] : 111}${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{7}}$${\displaystyle S^{7}}$${\displaystyle S^{15}}$

${\displaystyle \pi _{i}(S^{4})\cong \pi _{i}(S^{7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3})}$そして ${\displaystyle \pi _{i}(S^{8})\cong \pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).}$

スペクトル列は、代数位相幾何学において（コ）ホモロジー群を計算するための重要なツールです。

ルレイ＝セールのスペクトル列は、全空間とファイバーの（共）ホモロジーを、ファイバー化の基本空間の（共）ホモロジーと結び付ける。基本空間がパス連結CW複体であるファイバー付きファイバー化と加法ホモロジー理論に対して、スペクトル列が存在する：^{[7] ：242}${\displaystyle p\colon E\to B}$${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle G_{*}}$

${\displaystyle H_{k}(B;G_{q}(F))\cong E_{k,q}^{2}\implies G_{k+q}(E).}$

ファイバ化は、ホモトピーの場合のように、ホモロジーにおける長い完全列を生成しません。しかし、特定の条件下では、ファイバ化はホモロジーにおける完全列を提供します。基本空間とファイバが経路接続されたファイバを含むファイバ化の場合、基本群はに自明に作用し、さらにおよびの条件が成り立つ場合、完全列が存在します (セール完全列とも呼ばれます)。${\displaystyle p\colon E\to B}$${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$${\displaystyle H_{*}(F)}$${\displaystyle H_{p}(B)=0}$${\displaystyle 0<p<m}$${\displaystyle H_{q}(F)=0}$${\displaystyle 0<q<n}$

${\displaystyle H_{m+n-1}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{m+n-1}(E)\xrightarrow {f_{*}} H_{m+n-1}(B)\xrightarrow {\tau } H_{m+n-2}(F)\xrightarrow {i^{*}} \cdots \xrightarrow {f_{*}} H_{1}(B)\to 0.}$^{[7] : 250}

このシーケンスは、例えば、Hurewiczの定理を証明したり、 ^[8]の形式のループ空間のホモロジーを計算したりするために 使用できます^。162${\displaystyle \Omega S^{n}:}$

${\displaystyle H_{k}(\Omega S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &\exists q\in \mathbb {Z} \colon k=q(n-1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}.}$

ファイバーを持つ球面を基底空間とする特殊なファイバー化の場合、ホモロジーとコホモロジーの正確な列（ワング列とも呼ばれる）が存在する： ^{[1] ：456}${\displaystyle p\colon E\to S^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F,}$

${\displaystyle \cdots \to H_{q}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to H_{q-1}(F)\to \cdots }$ ${\displaystyle \cdots \to H^{q}(E)\xrightarrow {i^{*}} H^{q}(F)\to H^{q-n+1}(F)\to H^{q+1}(E)\to \cdots }$

ファイバーを持つファイバー化と単位を持つ固定可換環に対して、の基本群から次数付き -加群のカテゴリへの反変関手が存在し、これは加群と経路類に準同型を割り当てる。ここで、はのホモトピー類である。${\displaystyle p\colon E\to B}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle B}$${\displaystyle R}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle H_{*}(F_{b},R)}$${\displaystyle [\omega ]}$${\displaystyle h[\omega ]_{*}\colon H_{*}(F_{\omega (0)},R)\to H_{*}(F_{\omega (1)},R),}$${\displaystyle h[\omega ]}$${\displaystyle [F_{\omega (0)},F_{\omega (1)}].}$

ファイバリングが上で向き付け可能であるとは、任意の閉路に対して次が成り立つときである: ^{[1] : 476}${\displaystyle R}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle B}$${\displaystyle h[\omega ]_{*}=1.}$

ファイバーとパスが連結された基本空間を持つ体上の 有向ファイバ化の場合、全空間のオイラー特性は次のように与えられます。${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle F}$

${\displaystyle \chi (E)=\chi (B)\chi (F).}$

ここで、基底空間とファイバーのオイラー特性は体上で定義される。^{[1] : 481}${\displaystyle \mathbb {K} }$

• 近似繊維化