配管（数学）

幾何学的位相幾何学の数学の分野において、手術理論として知られる技術の中で、配管プロセスは、ディスクバンドルから新しい多様体を作成する方法です。これは、ジョン・ミルナー^[1]によって最初に説明され、その後、手術理論で、与えられた手術障害を持つ多様体と法線マップを作成するために広く使用されました。

を、i = 1,2のn次元滑らかな多様体上の階数n のベクトル束とします 。関連する（閉じた）円板束の全空間を で表し、と が両立するように配向されているとします。2 つの点 （ i = 1,2）を取り、 における の球状近傍を考えると、におけるファイバーの近傍が得られます。と を2 つの微分同相写像（どちらも配向を保存するか反転する）とします。 およびにおけるおよびの配管^[2]は、 がで定義される商空間として定義されます。商上の滑らかな構造は、「角度を直線化」することによって定義されます。^[2]${\displaystyle \xi _{i}=(E_{i},M_{i},p_{i})}$ ${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle D(E_{i})}$${\displaystyle D(\xi _{i})}$${\displaystyle \xi_{i},M_{i}}$${\displaystyle D(E_{i})}$${\displaystyle x_{i}\in M_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle D_{i}^{n}\times D_{i}^{n}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle D(E_{i})}$${\displaystyle h:D_{1}^{n}\rightarrow D_{2}^{n}}$${\displaystyle k:D_{1}^{n}\rightarrow D_{2}^{n}}$${\displaystyle D(E_{1})}$${\displaystyle D(E_{2})}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle P=D(E_{1})\cup _{f}D(E_{2})}$${\displaystyle f:D_{1}^{n}\times D_{1}^{n}\rightarrow D_{2}^{n}\times D_{2}^{n}}$${\displaystyle f(x,y)=(k(y),h(x))}$

基本多様体がn球面である場合、この手順を 上のいくつかのベクトル束に対して繰り返すことにより、木^{[3] §8}に従ってベクトル束を互いに垂直にすることができます。 が木である場合、各頂点に上のベクトル束を割り当て、2 つの頂点が辺で接続されている場合、対応する円板束を互いに垂直にします。全空間の近傍が重ならないように注意する必要があります。 ${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle S^{n}}$

2k球面の接線束に関連付けられた円板束をで表します。 の 8 つのコピーを図に従って配管すると、 4k次元多様体が得られます。^{[4] [5]はこれを}ミルノア多様体と呼んでいます( E8多様体_も参照)。 ${\displaystyle D(\tau _{S^{2k}})}$${\displaystyle D(\tau _{S^{2k}})}$${\displaystyle E_{8}}$ ${\displaystyle M_{B}^{4k}}$

に対して、境界はホモトピー球面であり、これはπ-多様体を境界とするホモトピー球面のh-コボルディズム類の群を生成する（詳細はエキゾチック球面も参照）。そのシグネチャはであり、^{[2] V.2.9}法線マップが存在し、手術障害はである。ここで は次数1のマップであり、 はミルナー多様体の安定法線バンドルから特定の安定ベクトルバンドルへのバンドルマップである。 ${\displaystyle k>1}$${\displaystyle \Sigma ^{4k-1}=\partial M_{B}^{4k}}$${\displaystyle \theta ^{4k-1}(\partial \pi )}$${\displaystyle sgn(M_{B}^{4k})=8}$ ${\displaystyle (f,b)}$${\displaystyle \sigma (f,b)=1}$${\displaystyle g:(M_{B}^{4k},\partial M_{B}^{4k})\rightarrow (D^{4k},S^{4k-1})}$${\displaystyle b:\nu _{M_{B}^{4k}}\rightarrow \xi }$

外科手術理論の発展にとって極めて重要な定理は、いわゆる配管定理^{[2] II.1.3}である（ここでは単連結の場合で示す）。

すべての に対して、境界と法線マップを持つ2k次元多様体が存在し、 はホモトピー同値であり、は自明バンドルへのバンドル マップであり、手術障害は である。 ${\displaystyle k>1,l\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle (g,c)}$${\displaystyle g:(M,\partial M)\rightarrow (D^{2k},S^{2k-1})}$${\displaystyle g|_{\partial M}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \sigma (g,c)=l}$

この定理の証明には、上で定義したミルノア多様体を使用します。

• ブラウダー、ウィリアム（1972）、単純連結多様体上の手術、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-642-50022-0
• ジョン・ミルナー(1956)、単純接続 4 多様体について、メキシコ、トポロジー代数内部シンポジウム
• ヒルツェブルッフ, フリードリヒ州;バーガー、トームズ。 Jung、Rainer (1994)、『多様体とモジュラー形式』、Springer-Verlag、ISBN 978-3-528-16414-0
• マドセン、Ib ; ミルグラム、R. ジェームズ (1979)、「多様体の​​手術とコボルディズムのための分類空間」、プリンストン大学出版、ISBN 978-1-4008-8147-5
• López de Medrano、Santiago (1971)、Involutions on Manifolds、Springer-Verlag、ISBN 978-3-642-65014-7