長楕円体座標

長球座標は、2 次元楕円座標系を楕円の焦点軸、つまり焦点が位置する対称軸を中心に回転させることによって得られる3 次元直交 座標系です。他の軸を中心に回転すると、扁平球座標が生成されます。長球座標は、2 つの最小の主軸の長さが等しい 楕円座標の極限ケースと考えることもできます。

長球座標は、境界条件が対称性や形状と一致するさまざまな偏微分方程式を解くために使用できます。たとえば、 z軸上の焦点としてとられる 2 つの中心によって生成される場を解くことができます。1 つの例は、水素分子イオンH ₂ ⁺のように、2 つの正に帯電した核の電磁場内を移動する電子の波動関数を解くことです。別の例としては、 2 つの小さな電極先端によって生成される電場を解くことです。その他の極限ケースには、線分 ( μ  = 0) または線分が欠けている線 (ν=0) によって生成される領域が含まれます。多くの電子を持つ一般的な二原子分子の電子構造も、長球座標系で優れた精度で解くことができます。^[1]

長楕円体座標の最も一般的な定義は ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$

${\displaystyle x=a\sinh \mu \sin \nu \cos \varphi }$

${\displaystyle y=a\sinh \mu \sin \nu \sin \varphi }$

${\displaystyle z=a\cosh \mu \cos \nu }$

ここで、は非負の実数であり、 です。方位角は区間 に属します。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu \in [0,\pi ]}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle [0,2\pi ]}$

三角関数の恒等式

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{ 2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

は、定形状面が長楕円体であることを示している。なぜなら、長楕円体は焦点を結ぶ軸を中心に回転する 楕円体だからである。同様に、双曲三角関数の恒等式は${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

定数面が回転 双曲面を形成する ことを示しています。${\displaystyle \nu }$

焦点からの距離は ${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,\pm a)}$

${\displaystyle r_{\pm }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z\mp a)^{2}}}=a(\cosh \mu \mp \cos \nu ).}$

楕円座標のスケール係数は等しい ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$

一方、方位角スケール係数は

${\displaystyle h_{\varphi }=a\sinh \mu \sin \nu ,}$

その結果、

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=h_{\mu }^{2}d\mu ^{2}+h_{\nu }^{2}d\nu ^{2}+h_{\varphi }^{2}d\varphi ^{2}\\&=a^{2}\left[(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )d\mu ^{2}+(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )d\nu ^{2}+(\sinh ^{2}\mu \sin ^{2}\nu )d\varphi ^{2}\right].\end{aligned}}}$

その結果、微小体積要素は

${\displaystyle dV=a^{3}\sinh \mu \sin \nu (\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )\,d\mu \,d\nu \,d\varphi }$

そしてラプラシアンは次のように書ける。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {1}{a^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}+\coth \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}+\cot \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]\\[6pt]&{}+{\frac {1}{a^{2}\sinh ^{2}\mu \sin ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}\end{aligned}}}$

や などの他の微分演算子は、スケール係数を直交座標の一般式に代入することによって座標で表すことができます。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$

幾何学的に直感的な代替の長楕円体座標系が時々使用されます。ここで、 および です。したがって、定数 の曲線は長楕円体であり、定数 の曲線は回転双曲面です。座標は区間 [−1, 1] に属しますが、座標は 1 以上でなければなりません。 ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$${\displaystyle \tau =\cos \nu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \sigma }$

座標および は、焦点およびまでの距離と単純な関係にあります。平面上の任意の点について、焦点までの距離の合計は に等しく、その差はに等しくなります。したがって、 までの距離は であり、 までの距離は です。(およびはそれぞれおよびにあることを思い出してください。) これにより、、 、について次の式が得られます。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$${\displaystyle 2a\sigma }$ ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$${\displaystyle 2a\tau }$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle z=-a}$${\displaystyle z=+a}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{2a}}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{2a}}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}-{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)}$

類似の扁平回転楕円体座標とは異なり、長楕円体座標（σ、τ、φ）は退化していない。言い換えれば、それらと直交座標の間には一意の可逆的な対応関係がある。

${\displaystyle x=a{\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}\cos \varphi }$

${\displaystyle y=a{\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}\sin \varphi }$

${\displaystyle z=a\ \sigma \ \tau }$

代替楕円座標のスケール係数は ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\varphi )}$

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}$

一方、方位角スケール係数は

${\displaystyle h_{\varphi }=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}$

したがって、微小体積要素は

${\displaystyle dV=a^{3}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi }$

そしてラプラシアンは

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {1}{a^{2}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}-1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[(1-\tau ^{2}){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}\\&{}+{\frac {1}{a^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}\end{aligned}}}$

や などの他の微分演算子は 、スケール係数を直交座標の一般式に代入することによって座標で表すことができます。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

球面座標の場合と同様に、ラプラス方程式は変数分離法によって解かれ、長楕円体調和関数の形で解を得ることができます。これは、一定の長楕円体座標を持つ表面上で境界条件が定義されている場合に便利です (Smythe、1968 を参照)。

• Morse PM, Feshbach H (1953).理論物理学の方法、第1部. ニューヨーク: McGraw-Hill. p. 661.ξ ₁ = a cosh μ、 ξ ₂ = sin ν、およびξ ₃ = cos φ を使用します。
• Zwillinger D (1992)。統合ハンドブック。ボストン、マサチューセッツ州：Jones and Bartlett。p. 114。ISBN 0-86720-293-9。 Morse & Feshbach (1953)と同じですが、ξ _kをu _kに置き換えます。
• スマイス、WR (1968)。『静電気と動電気』（第3版）。ニューヨーク：マグロウヒル。
• ザウアー R、ザボー I (1967)。Ingenieurs の数学。ニューヨーク: Springer Verlag。 p. 97.LCCN 67025285  。 座標ξ = cosh μ、 η = sin ν、およびφを使用します。

• Korn GA, Korn TM (1961).科学者とエンジニアのための数学ハンドブック. ニューヨーク: McGraw-Hill. p. 177. LCCN  59014456. Korn と Korn は (μ、ν、φ) 座標を使用しますが、縮退した (σ、τ、φ) 座標も導入します。
• Margenau H, Murphy GM (1956).物理と化学の数学. ニューヨーク: D. van Nostrand. pp. 180–182. LCCN  55010911. Korn と Korn (1961) に似ていますが、緯度νの代わりに余緯度θ = 90° - ν を使用します。
• Moon PH、Spencer DE (1988)。「長球状座標 (η、θ、ψ)」。座標系、微分方程式、およびその解を含む場の理論ハンドブック(訂正第 2 版、第 3 刷)。ニューヨーク: Springer Verlag。pp. 28–30 (表 1.06) 。ISBN 0-387-02732-7。 ムーンとスペンサーは余緯度規則θ = 90° − νを使用し、φ をψに名前変更します。

• Landau LD、Lifshitz EM、Pitaevskii LP (1984)。連続媒体の電気力学（理論物理学コース第8巻）（第2版）。ニューヨーク：Pergamon Press。pp.  19– 29。ISBN 978-0-7506-2634-7。長球座標を一般楕円座標 の極限ケースとして扱います。距離の単位が 2 乗である (ξ, η, ζ) 座標を使用します。

• MathWorld による長球座標の説明