方程式を解く

{\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}

二次方程式 ax²

+

bx

+

c

=

0の解の公式、つまり記号

による

解法

数学において、方程式を解くとは、方程式の解を求めることです。方程式の解とは、一般的に等号で結ばれた2つの式からなる方程式によって示される条件を満たす値（数値、関数、集合など）のことです。解を求める際には、1つ以上の変数が未知数として指定されます。解とは、方程式の等式を真にするような未知数への値の割り当てです。言い換えれば、解とは、未知数に代入すると方程式が等式になるような値、または値の集合（未知数ごとに1つ）のことです。方程式の解は、特に多項式方程式の場合によく、方程式の根と呼ばれることがあります。方程式のすべての解の集合は、その方程式の解集合です。

方程式は、数値的に解くか、記号的に解くかのいずれかの方法で解くことができます。数値的に解くとは、解として数値のみを用いることを意味します。記号的に解くとは、解を表すために式を用いることを意味します。

例えば、方程式 $x + y = 2 x - 1$ は、未知数 $x$ について、式 $x = y + 1$ で解くことができます。これは、方程式の $x$ に $y + 1$ を代入すると、 $($ $y$ $+ 1) +$ $y$ $= 2($ $y$ $+ 1) - 1$ となり、これは正しい式だからです。また、変数 $y$ を未知数とすることもでき、その場合は方程式は $y$ $=$ $x$ $- 1$ で解かれます。あるいは、 $x$ と $y$ の両方を未知数として扱うこともでき、その場合は方程式には多くの解があります。記号解は $($ $x$ $,$ $y$ $) = ($ $a$ $+ 1,$ $a$ $)$ で、変数 $a は$ 任意の値をとることができます。記号解に具体的な数値を代入すると、数値解が得られます。例えば、 $a$ $= 0 の$ 場合は $($ $x$ $,$ $y$ $) = (1, 0)$ (つまり、 $x$ $= 1,$ $y$ $= 0$ ) となり、 $a$ $= 1 の場合は$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = (2, 1)$ となります。

既知変数と未知変数の区別は、一般的に問題文の中で「 $x$ と $y$ の式」や「 $x$ と $y$ を解く」といった表現によって示され、これらの表現は未知数（ここでは $x$ と $y）$ を表します。しかし、 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 、…を未知数を表すために用い、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、…を既知変数（しばしばパラメータと呼ばれる）を表すために用いるのが一般的です。これは、二次方程式などの多項式方程式を考える場合によく見られます。ただし、問題によっては、すべての変数がどちらの役割も担う場合があります。

文脈によっては、方程式を解くということは、任意の解（単一の解を見つけるだけで十分）、すべての解、または特定の区間に属するなどの追加の特性を満たす解を見つけることである場合があります。何らかの基準の下で最良の解を見つけることが課題である場合、これは最適化問題です。最適化問題を解くことは、一般的に「方程式を解く」とは呼ばれません。なぜなら、一般的に、解法は特定の解から始めてより良い解を見つけ、最終的に最良の解が見つかるまでそのプロセスを繰り返していくからです。

概要

方程式の一般的な形式は

f\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)=c,

ここで、 $f$ は関数、 $x 1, ..., x n$ は未知数、 $c$ は定数です。その解は、逆像（ファイバー）の要素です。

f^{-1}(c)={\bigl \{}(a_{1},\dots ,a_{n})\in D\mid f\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)=c{\bigr \}},

ここで、 $D$ は関数 $fの定義$ 域です。解の集合は、空集合（解がない）、単集合（解がちょうど 1 つある）、有限集合、または無限集合（解が無限に存在する）のいずれかになります。

例えば、次のような方程式

3x+2y=21z,

未知数 $x 、 y$ 、 $z$ を含む式は、方程式の両辺から $21z を$ 引くことで上記の形式に変換でき、

3x+2y-21z=0

この場合、解は1つだけではなく、無限の解の集合が存在し、集合構成記法を用いて次のように記述できます。

{\bigl \{}(x,y,z)\mid 3x+2y-21z=0{\bigr \}}.

特定の解の 1 つは $x = 0, y = 0, z = 0$ です。他の 2 つの解は $x = 3, y = 6, z = 1$ と $x = 8, y = 9, z = 2です。これらの$ 座標を持つ 3 つの点を通る平面が 3 次元空間に一意に存在し、この平面は、座標が方程式の解となるすべての点の集合です。

解答例

与えられた方程式または不等式の解集合とは、そのすべての解の集合であり、解とは、未知数ごとに1つずつ値を取り、すべての方程式または不等式を満たす値の組のことです。解集合が空集合である場合、すべての方程式および不等式を同時に満たす未知数の値は存在しません。

簡単な例として、次の式を考えてみましょう。

x^{2}=2.

この方程式はディオファントス方程式、つまり整数解のみを求める方程式と見なすことができます。この場合、 2は整数の平方ではないため、解集合は空集合になります。しかし、実数解を求めると、√2と-√2の2つの解が存在します $。$ つまり $、$ $解$ $集合$ $は$ { $\sqrt2$ $,$ $-\sqrt2$ $}$ $と$ $なり$ $ます$ 。

方程式に未知数が複数含まれている場合、また方程式の数よりも未知数の数が多い方程式が複数ある場合、解集合はしばしば無限になります。この場合、解を列挙することはできません。解を表現するには、未知数または補助変数を用いて解を表すパラメーター化がしばしば有効です。これは、すべての方程式が線形である場合に常に可能です。

このような無限の解集合は、直線、曲線（図参照）、平面、そしてより一般的には代数多様体や多様体といった幾何学的形状として自然に解釈できる。特に、代数幾何学は代数方程式の解集合の研究と見なすことができる。

解決方法

方程式を解く方法は、一般的に方程式の種類、つまり方程式に含まれる式の種類と未知数に取りうる値の種類によって異なります。方程式の種類は非常に多岐にわたり、それに対応する解法も多種多様です。以下では、いくつかの具体的な種類のみを取り上げます。

一般的に、ある種類の方程式に対して、確実に機能する既知の体系的な方法（アルゴリズム）が存在しない場合がある。これは数学的知識の不足に起因する可能性があり、中には数世紀にわたる努力の末にようやく解決された問題もある。しかし、これはまた、一般的にそのような方法は存在し得ないことを示している。ヒルベルトの第10問題のように、アルゴリズムでは解決不可能であることが知られている問題もあり、これは1970年に解決不可能であることが証明された。

いくつかの種類の方程式については、それを解くためのアルゴリズムが発見されており、その一部はコンピュータ代数システムに実装・組み込まれているが、多くの場合、鉛筆と紙以上の高度な技術は必要としない。また、他のいくつかのケースでは、しばしば成功するものの、必ずしも成功を保証するものではないヒューリスティックな手法が知られている。

力ずく、試行錯誤、ひらめきによる推測

方程式の解集合が有限集合に限定されている場合（例えば、モジュラー算術の方程式の場合）、または可能性が有限個に限定できる場合（ディオファントス方程式の一部の場合）は、総当たり法、つまり可能な値（候補解）をそれぞれテストすることによって解集合を見つけることができます。ただし、考慮すべき可能性の数が有限であっても、非常に膨大であるため、網羅的な探索が実際には実行不可能な場合もあります。これは、強力な暗号化方式の要件でもあります。

あらゆる問題解決と同様に、試行錯誤によって解決策が見つかる場合もあります。特に、方程式の形式や、既知の解を持つ別の方程式との類似性から、ひらめきによる推測が生まれることがあります。もし推測が検証の結果、解として機能しない場合は、その失敗の理由を検討することで、修正された推測につながる可能性があります。

初等代数

単一の実数値未知数 $x$ の線形関数または単純な有理関数を含む方程式、例えば、

8x+7=4x+35\quad {\text{または}}\quad {\frac {4x+9}{3x+4}}=2\,,

初等代数の方法を用いて解くことができる。

線形方程式系

より小規模な連立一次方程式は、初等代数の手法を用いて同様に解くことができます。より大規模な連立方程式を解くには、線形代数に基づいたアルゴリズムが使用されます。ガウス消去法および線形連立方程式の数値解法を参照してください。

多項式方程式

4次までの多項式方程式は、代数的方法を用いて厳密に解くことができ、その最も簡単な例が二次方程式の解の公式です。5次以上の多項式方程式は、一般に数値的方法（下記参照）またはBring radicalsなどの特殊関数を必要としますが、特定のケースでは代数的に解ける場合もあります。例えば、

4x^{5}-x^{3}-3=0

（有理根定理を用いて）

x^{6}-5x^{3}+6=0\,,

(置換 $x = z 1 ⁄ 3$ を使用することで、これは $z$ に関する二次方程式に簡略化されます)。

ディオファントス方程式

ディオファントス方程式では、解は整数である必要があります。場合によっては、前述のように総当たり法を用いることができます。また、方程式が未知数を1つしか含まない場合など、他のケースでは、有理数の未知数について方程式を解き（有理根定理を参照）、解集合を整数値の解に限定することでディオファントス方程式の解を求めることができます。例えば、多項式方程式

2x^{5}-5x^{4}-x^{3}-7x^{2}+2x+3=0\,

有理解として $x = - ⁠ 1 / 2 ⁠$ と $x = 3$ があり、したがって、ディオファントス方程式として見ると、唯一の解は $x = 3$ です。

しかしながら、一般的に、ディオファントス方程式は最も解くのが難しい方程式の一つである。

逆関数

1つの変数の関数、例えば $h (x)の単純な場合、$ $h$ の逆関数として知られるものを考慮することで、 $h (x) = c$ の形の方程式を定数 $c$ に対して解くことができます。

関数 $h : A \to B$ が与えられたとき、逆関数 $h -1は$ $h -1 : B \to A$ と定義され、次の関数である。

h^{-1}{\bigl (}h(x){\bigr )}=h{\bigl (}h^{-1}(x){\bigr )}=x\,.

$ここで、 h (x) = c$ の両辺に逆関数を適用すると、 $c は$ $B$ の定数であるが、次の式が得られる。

{\begin{aligned}h^{-1}{\bigl (}h(x){\bigr )}&=h^{-1}(c)\\x&=h^{-1}(c)\\\end{aligned}}

そして、方程式の解を見つけました。しかし、関数によっては、逆関数を定義するのが難しい場合や、集合 $B$ 全体に対して関数として存在せず(一部の部分集合に対してのみ)、ある時点で多くの値をとる場合があります。

解が1つだけで十分な場合は、完全な解セットではなく、関数の恒等式だけで十分です。

h\left(h^{-1}(x)\right)=x

が成り立つ。例えば、 $π$ $1$ $($ $x$ $,$ $y$ $) =$ $x$ で定義される射影 $π 1 : R 2 \to R$ には後逆元はないが、 $π$ $-1$ $1$ $($ $x$ $) = ($ $x$ $, 0)$ で定義される前逆元 $π$ $-1$ $1$ がある。実際、方程式 $π$ $1$ $($ $x$ $,$ $y$ $) =$ $c$ は次のように解かれる。

(x,y)=\pi _{1}^{-1}(c)=(c,0).

逆関数の例としては、 $n$ 乗根( $x n$ の逆関数)、対数( $a x$ の逆関数)、逆三角関数、ランベルトの $W$ 関数( $xe x$ の逆関数) などがあります。

因数分解

$方程式P = 0$ の左辺の式が $P$ $=$ $QR$ と因数分解できる場合、元の解の解集合は、2 つの方程式 $Q$ $= 0$ と $R$ $= 0$ の解集合の和集合から構成されます。たとえば、方程式

\tan x+\cot x=2

$tan x cot x = 1$ の恒等式を用いて、次のように書き換えることができる。

{\frac {\tan ^{2}x-2\tan x+1}{\tan x}}=0,

これは以下のように因数分解できます

\displaystyle {\frac {\left(\tan x-1\right)^{2}}{\tan x}}=0.}

したがって、解は方程式 $tan x = 1$ の解であり、したがって集合は次のようになる。

x={\tfrac {\pi }{4}}+k\pi ,\quad k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots .

数値計算法

実数または複素数を用いたより複雑な方程式の場合、単純な解法では解けないことがあります。多くの場合、ニュートン・ラフソン法のような根探索アルゴリズムを用いて方程式の数値解を求めることができ、場合によってはそれで問題解決に十分となることもあります。線形方程式系に対する数値解法も存在します。

行列方程式

実数の行列やベクトルを含む方程式は、線形代数の手法を用いて解くことができる場合が多い。

微分方程式

様々な種類の微分方程式を数値的にも解析的にも解くための膨大な数の方法が存在する。ここに属することができる特定の種類の問題は積分であり、この種の問題を解くための解析的方法は現在、記号積分と呼ばれている。微分方程式の解は陰解法または陽解法で表すことができる。^[¹^]

参考文献

↑デニス・G・ジル（2012年3月15日）。『微分方程式入門：モデリング応用編』。Cengage Learning。ISBN 978-1-285-40110-2。

[Zill2012-1] デニス・G・ジル（2012年3月15日）。『微分方程式入門：モデリング応用編』。Cengage Learning。ISBN 978-1-285-40110-2。

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