グループの順位

数学の群論において、群 Gのランクはrank( G )と表記され、 Gの生成集合の最小の濃度を指す。つまり、

${\displaystyle \operatorname {rank} (G)=\min\{|X|:X\subseteq G,\langle X\rangle =G\}.}$

G が有限生成群である場合、 Gの階数は非負の整数です。 群の階数の概念は、ベクトル空間の次元の概念の群論的類似物です。 実際、p群の場合、群Pの階数はベクトル空間P /Φ( P )の次元です。ここで、 Φ( P ) はフラッティーニ部分群です。

群のランクは、サブグループのランクが群全体より小さいか等しいことを保証するような方法で定義されることもよくあります。これはベクトル空間の次元の場合は自動的に当てはまりますが、アフィン群などの群の場合は当てはまりません。これらの異なる定義を区別するために、このランクをサブグループランクと呼ぶことがあります。明示的には、群Gのサブグループランクは、そのサブグループのランクの最大値です。

${\displaystyle \operatorname {sr} (G)=\max _{H\leq G}\min\{|X|:X\subseteq H,\langle X\rangle =H\}.}$

場合によっては、部分群のランクがアーベル部分群に制限されることがあります。

• 非自明な群Gについては、Gが巡回群である場合に限り、 rank( G ) = 1 となります。 自明な群T は、Tの最小生成集合が空集合であるため、rank( T ) = 0となります。
• 自由アーベル群 については、${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle {\rm {rank}}(\mathbb {Z} ^{n})=n.}$
• X が集合であり、G = F ( X ) が自由基底X を持つ自由群である場合、rank( G ) = | X | となります。
• 群H が群Gの準同型像（または商群）である場合、rank( H ) ≤ rank( G ) です。
• G が有限非可換単純群（例えば、G = A _n、交代群、n  > 4）の場合、rank( G ) = 2 です。この事実は有限単純群の分類の結果です。
• Gが有限生成群であり、Φ( G ) ≤GがGのフラッティーニ部分群（これは常にGにおいて正規なので商群G /Φ( G )が定義される）である場合、rank( G ) = rank( G /Φ( G ))である。^[1]
• Gが閉じた（つまりコンパクトで境界のない）連結な3次元多様体Mの基本群である場合、rank( G ) ≤g ( M )である。ここでg ( M )はMのHeegaard種数である。^[2]
• H , K ≤ F ( X )が自由群F ( X )の有限生成部分群であり、その交差が非自明である場合、 Lは有限生成であり、 ${\displaystyle L=H\cap K}$

ランク( L )−1≤2(ランク( K )−1)(ランク( H )−1)。

この結果はハンナ・ノイマンによるものです。^{[3] [4]}ハンナ・ノイマン予想は、実際には常にrank( L )−1≤(rank( K )−1)(rank( H )−1)が成り立つというものです。ハンナ・ノイマン予想は最近イゴール・ミネエフによって解決され^[5]、ジョエル・フリードマンによって独立に発表されました。^[6]

• 古典的なグルシコの定理によれば、ランクは自由積に関して加法的に振る舞う。つまり、任意のグループAとBに対して、

ランク( A B ) = ランク( A ) + ランク( B )。${\displaystyle \ast}$

• が1関係子群でrが自由群F ( x1 _, ..., xn ₎の原始元で_はない場合、つまりrがF ( x1 ,..., xn )の自由基底に属さない場合、rank( G ) =  _nとなる。^{[7] [8]}${\displaystyle G=\langle x_{1},\dots ,x_{n}|r=1\rangle }$
• 対称群のランクは、群の作用を受けるオブジェクト（分子、結晶構造）の複雑さと密接に関係しています。Gが結晶学的な点群である場合、ランク( G )は最大3です。^[9] G が壁紙群である場合、ランク( G ) = 2〜4です。ランク4の壁紙群タイプはp 2 mmのみです。^[10] Gが3次元空間群である場合、ランク( G ) = 2〜6です。ランク6の空間群タイプはPmmmのみです。^[11]

群論で研究されるアルゴリズム問題に、ランク問題と呼ばれるものがあります。この問題は、有限に提示された群の特定のクラスについて、そのクラスのグループの有限の提示が与えられたときに、そのグループのランクを計算するアルゴリズムが存在するかどうかを尋ねます。ランク問題は、群論で研究されるアルゴリズム問題の中でも難しいものの 1 つであり、それについてはあまり知られていません。既知の結果には次のものがあります。

• ランク問題は、すべての有限提示群のクラスに対してアルゴリズム的に決定不可能である。実際、アディアン・ラビンの古典的な結果によれば、有限提示群が自明であるかどうかを判断するアルゴリズムは存在しないため、有限提示群に対してはrank( G )=0かどうかという問題さえ決定不可能である。^{[12] [13]}
• ランク問題は有限群と有限生成アーベル群に対して決定可能である。
• ランク問題は有限生成冪零群に対して決定可能である。その理由は、そのような群Gに対して、Gのフラッティーニ部分群はGの交換子部分群を含み、したがってGのランクはGのアーベル化のランクに等しいからである。^[14]
• 単語双曲群のランク問題は決定不可能である。^[15]
• ランク問題は、捩れのないクライン群に対して決定可能である。^[16]
• ランク問題は、有限生成の仮想アーベル群（有限指数のアーベル部分群を含む）、仮想自由群、および3 次元多様体群に対して未解決です。

有限生成群 Gの階数は、集合Xの最小の濃度で、上向き準同型 F ( X ) → Gが存在するものとして定義できます。ここで、F ( X ) は自由基底Xを持つ自由群です。有限生成群Gの共階数の双対概念は、上向き準同型G → F ( X )が存在するようなXの最大濃度として定義されます。階数とは異なり、共階数は有限に提示された群に対して常にアルゴリズム的に計算可能であり、^[17]自由群における方程式系を解くためのMakaninとRazborovのアルゴリズムを使用します。 ^{[18] [19]共階数の概念は、} 3 次元多様体のカット数 の概念に関連しています。^[20]

pが素数である場合、Gのpランクは基本アーベルp部分群の最大ランクです。[21]セクションp^ランク は基本アーベルpセクション（部分群の商） の最大ランクです。

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