サイン・ゴードン方程式

サイン・ゴードン方程式は、通常 とで表される 2 つの変数に依存する関数に対する2 次非線形偏微分方程式であり、波動演算子とのサインを含みます。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \varphi}$

この方程式はもともと、エドモン・ブール（1862年）が、 3次元空間における一定のガウス曲率−1の曲面に対するガウス・コダッツィ方程式として、一定の負の曲率を持つ曲面 の研究の過程で導入した。^{[1]この方程式は、フレンケルとコントロバ（1939年）が}結晶転位の研究で再発見し、フレンケル・コントロバ・モデルとして知られるようになった。^[2]

この方程式は、ソリトン解の存在により1970年代に大きな注目を集め^{[3] 、}積分可能な偏微分方程式の一例です。よく知られている積分可能な偏微分方程式の中で、サインゴードン方程式はローレンツ不変性により唯一の相対論的システムです。

これは、Bour (1862) による方程式の最初の導出です。

サイン・ゴードン方程式には2つの同等な形式がある。（実）時空座標（ ）では、方程式は次のようになる。^[4]${\displaystyle (x,t)}$

${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\sin \varphi =0,}$

ここで偏微分は添え字で表されます。光円錐座標( u ,  v ) に移ると、漸近座標に似たものとなり、

${\displaystyle u={\frac {x+t}{2}},\quad v={\frac {xt}{2}},}$

^{この式は[5]の}形をとる。

${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .}$

これは、擬球面とも呼ばれる一定のガウス曲率K  = −1の表面の研究の過程で 19 世紀に考えられた、サイン ゴードン方程式の元の形です。

任意の擬似球面を考えてみましょう。表面上のすべての点には、2 つの漸近曲線があります。これにより、このような表面の明確な座標系を構築できます。この座標系では、u  = 定数、v  = 定数が漸近線で、座標は表面上の円弧の長さによって増加します。表面上のすべての点において、漸近線間の角度を とします。 ${\displaystyle \varphi}$

表面の 最初の基本的な形は

${\displaystyle ds^{2}=du^{2}+2\cos \varphi \,du\,dv+dv^{2},}$

2 番目の基本形式は であり、ガウス- コダッツィ方程式は です。したがって、任意の擬似球面は、サイン ゴードン方程式の解を生じますが、いくつかの注意点があります。表面が完全な場合は、ヒルベルト埋め込み定理により、必然的に特異になります。最も単純なケースでは、擬似球(トラクトロイドとも呼ばれます) は静的な 1 ソリトンに対応しますが、トラクトロイドは赤道上に特異なカスプを持ちます。 $${\displaystyle L=N=0,M=\sin \varphi }$$$${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .}$$

逆に、サイン ゴードン方程式の解から始めて、剛体変換を除いて一意に擬球を得ることができます。表面の基本定理と呼ばれることもある定理があり、行列値双線形形式のペアがガウス-コダッツィ方程式を満たす場合、それらは 3 次元空間に埋め込まれた表面の 1 番目と 2 番目の基本形式になります。 サイン ゴードン方程式の解は、上で得られた形式を使用してそのような行列を作成するために使用できます。

19世紀にビアンキとバックルンドがこの方程式とそれに関連する擬球面変換を研究した結果、バックルンド変換が発見された。擬球面の別の変換は1879年にソフス・リーが導入したリー変換で、これは正弦ゴルドン方程式の解に対するローレンツブーストに相当する。 ^[6]

新しい解を構築するより簡単な方法もいくつかありますが、新しい表面は得られません。サイン ゴードン方程式は奇数なので、任意の解の負の値は別の解になります。ただし、符号の変更は表面の法線の方向の選択に帰着するため、これでは新しい表面は得られません。新しい解は解を変換することで見つけることができます。が解であれば、整数 の場合も解になります。${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi +2n\pi }$${\displaystyle n}$

一定の重力のもとで、直線上にぶら下がっている振り子の線を考えてみましょう。振り子の重りを一定の張力で紐でつなぎます。位置 での振り子の角度を とすると、図式的に、振り子の線の動きはニュートンの第 2 法則に従います。これは、時間と距離を適切にスケーリングした後のサイン ゴードン方程式です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi}$$${\displaystyle \underbrace {m\varphi _{tt}} _{\text{加速度の質量倍}}=\underbrace {T\varphi _{xx}} _{\text{張力}}-\underbrace {mg\ sin \varphi } _{\text{重力}}}$$

これは厳密には正しくないことに注意してください。なぜなら、張力による振り子の正味の力は厳密には ではなく、より正確には だからです。しかし、これはサイン・ゴードン方程式の直感的な図式を与えてくれます。より複雑な方法によって、サイン・ゴードン方程式の正確な機械的実現を生み出すことができます。^[7]${\displaystyle T\varphi_{xx}}$${\displaystyle T\varphi_{xx}(1+\varphi_{x}^{2})^{-3/2}}$

「サイン・ゴードン方程式」という名前は物理学でよく知られているクライン・ゴードン方程式をもじったものである。^[4]

${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\varphi =0.}$

サイン・ゴードン方程式は、ラグランジアン密度が次のように与えられる 場のオイラー・ラグランジュ方程式である。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x }^{2})-1+\cos \varphi .}$

ラグランジアンにおける コサインのテイラー展開を用いると、

${\displaystyle \cos(\varphi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}},}$

これはクライン・ゴードン・ラグランジアンに高次の項を加えたもの として書き直すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )&={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2 }-\varphi _{x}^{2})-{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}\\&={\mathcal {L}}_{\text{KG}}(\varphi )+\sum _{ n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$

サイン・ゴードン方程式の興味深い特徴は、ソリトン解とマルチソリトン解の存在です。

サイン・ゴードン方程式には次の 1ソリトン解があります。

${\displaystyle \varphi _{\text{ソリトン}}(x,t):=4\arctan \left(e^{m\gamma (x-vt)+\delta }\right),}$

どこ

${\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}}},}$

そして、方程式のもう少し一般的な形式が想定されます。

${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+m^{2}\sin \varphi =0.}$

の正の根を選択した 1 ソリトン解はキンクと呼ばれ、システムを 1 つの定数解から隣接する定数解へと導く変数のねじれを表します。これらの状態は、ゼロエネルギーの定数解であるため、真空状態と呼ばれます。 の負の根を選択した 1 ソリトン解は反キンクと呼ばれます。1 ソリトン解の形は、 Bäcklund 変換を自明な (真空) 解に適用し、結果として得られる 1 階微分を積分する ことで得られます。${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi =0}$${\displaystyle \varphi =2\pi }$${\displaystyle \varphi \cong 2\pi n}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \varphi '_{u}=\varphi _{u}+2\beta \sin {\frac {\varphi '+\varphi }{2}},}$

${\displaystyle \varphi '_{v}=-\varphi _{v}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\frac {\varphi '-\varphi }{2}}{\text{ with }}\varphi =\varphi _{0}=0}$

いつまでも。

1ソリトン解は、1970年にジュリオ・ルビンシュタインが導入した弾性リボンのサインゴードンモデルを使って視覚化することができます。 ^[8]ここでは、弾性リボンの時計回り（左手）のねじれを、トポロジカルチャージを持つキンクとします。トポロジカルチャージを持つ反時計回り（右手）のねじれは、反キンクになります。 ${\displaystyle \theta _{\text{K}}=-1}$${\displaystyle \theta _{\text{AK}}=+1}$

多重ソリトン解は、変換された結果を関連付けるビアンキ格子によって規定されるように、1ソリトン解にバックランド変換を継続的に適用することによって得ることができる。 ^[10]サインゴードン方程式の2ソリトン解は、ソリトンの特徴的な特徴のいくつかを示す。移動するサインゴードンキンクおよび/または反キンクは、完全に透過性であるかのように互いを通過し、観測される唯一の効果は位相シフトである。衝突したソリトンは速度と形状を回復するため、このような相互作用は弾性衝突と呼ばれる。

キンクキンク解は次のように与えられる。 $${\displaystyle \varphi _{K/K}(x,t)=4\arctan \left({\frac {v\sinh {\frac {x}{\sqrt {1-v^{2}}}}}{\cosh {\frac {vt}{\sqrt {1-v^{2}}}}}}\right)}$$

一方、キンク-反キンク解は次のように与えられる。 $${\displaystyle \varphi _{K/AK}(x,t)=4\arctan \left({\frac {v\cosh {\frac {x}{\sqrt {1-v^{2}}}}}{\sinh {\frac {vt}{\sqrt {1-v^{2}}}}}}\right)}$$

もう一つの興味深い2ソリトン解は、キンク-反キンクの結合した挙動、いわゆるブリーザーの可能性から生じます。ブリーザーには、定在ブリーザー、移動大振幅ブリーザー、移動小振幅ブリーザーの3種類が知られています。^[11]

スタンディングブリーザーソリューションは次のように与えられる。 $${\displaystyle \varphi (x,t)=4\arctan \left({\frac {{\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;\cos(\omega t)}{\omega \;\cosh({\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;x)}}\right).}$$

移動するキンクと静止したブリーザー、または移動する反キンクと静止したブリーザーの3ソリトン衝突は静止したブリーザーの位相シフトをもたらす。移動するキンクと静止したブリーザーの衝突の過程で、ブリーザーのシフトは次のように表される。 ${\displaystyle \Delta _{\text{B}}}$

${\displaystyle \Delta _{\text{B}}={\frac {2\operatorname {artanh} {\sqrt {(1-\omega ^{2})(1-v_{\text{K}}^{2})}}}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}},}$

ここで はキンクの速度、 はブリーザーの周波数です。^[11]立っているブリーザーの古い位置が の場合、衝突後の新しい位置は になります。 ${\displaystyle v_{\text{K}}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}+\Delta _{\text{B}}}$

がサイン・ゴードン方程式の解であると 仮定する。${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .\,}$

そしてシステムは

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{u}&=\varphi _{u}+2a\sin {\Bigl (}{\frac {\psi +\varphi }{2}}{\Bigr )}\\\psi _{v}&=-\varphi _{v}+{\frac {2}{a}}\sin {\Bigl (}{\frac {\psi -\varphi }{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!}$

ここで、a は任意のパラメータであり、正弦ゴルドン方程式も満たす関数に対して解くことができます。これは、とが同じ方程式、つまり正弦ゴルドン方程式の解である ため、自動 Bäcklund 変換の例です。${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$

行列システムを使用することで、サイン・ゴードン方程式の解の線形バックランド変換を見つけることも可能です。

たとえば、 が自明な解 である場合、 はソリトンに適用されたブーストに関連する 1 ソリトン解 です。${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi \equiv 0}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle a}$

解の位相電荷または巻数は、解の エネルギーは 、ポテンシャルが非負になるように一定のエネルギー密度が加えられた場所です 。これにより、命名セクションで述べたように、ポテンシャルのテイラー展開の最初の 2 つの項は質量のあるスカラー場のポテンシャルと一致します。より高次の項は相互作用と考えることができます。 ${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle N={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }d\varphi ={\frac {1}{2\pi }}\left[\varphi (x=\infty ,t)-\varphi (x=-\infty ,t)\right].}$$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle E=\int _{\mathbb {R} }dx\left({\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}+\varphi _{x}^{2})+m^{2}(1-\cos \varphi )\right)}$$

エネルギーが有限であれば、トポロジカル電荷は保存されます。トポロジカル電荷は、ローレンツブーストに至るまで、解を決定しません。自明な解とソリトン-反ソリトン対の解はどちらも です。 ${\displaystyle N=0}$

サイン・ゴードン方程式は、特定の-接続の曲率がゼロになることに等しい。[ ^12]${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

明示的には、上の座標で、接続成分はで与えられ 、 はパウリ行列です。すると、ゼロ曲率方程式 ${\displaystyle (u,v)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle A_{\mu }}$$${\displaystyle A_{u}={\begin{pmatrix}i\lambda &{\frac {i}{2}}\varphi _{u}\\{\frac {i}{2}}\varphi _{u}&-i\lambda \end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\varphi _{u}i\sigma _{1}+\lambda i\sigma _{3},}$$ $${\displaystyle A_{v}={\begin{pmatrix}-{\frac {i}{4\lambda }}\cos \varphi &-{\frac {1}{4\lambda }}\sin \varphi \\{\frac {1}{4\lambda }}\sin \varphi &{\frac {i}{4\lambda }}\cos \varphi \end{pmatrix}}=-{\frac {1}{4\lambda }}i\sin \varphi \sigma _{2}-{\frac {1}{4\lambda }}i\cos \varphi \sigma _{3},}$$${\displaystyle \sigma _{i}}$$${\displaystyle \partial _{v}A_{u}-\partial _{u}A_{v}+[A_{u},A_{v}]=0}$$

は、サイン・ゴードン方程式 と同等です。ゼロ曲率方程式は、 と定義されている場合に曲率がゼロになることに対応するため、このように呼ばれています。 ${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi }$${\displaystyle F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]}$

行列のペアと は、ラックス方程式を満たすのではなく、ゼロ曲率方程式が偏微分方程式を回復するという意味において、サイン・ゴードン方程式の ラックスペアとしても知られています。${\displaystyle A_{u}}$${\displaystyle A_{v}}$

のシンゴルドン方程式^は[13]で与えられる

${\displaystyle \varphi _{xx}-\varphi _{tt}=\sinh \varphi .}$

これはラグランジアンのオイラー・ラグランジュ方程式である。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-\cosh \varphi .}$

もう一つの密接に関連する方程式は、楕円正弦ゴードン方程式またはユークリッド正弦ゴードン方程式であり、次式で与えられる。

${\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=\sin \varphi ,}$

ここで、は変数xとyの関数です。 これはもはやソリトン方程式ではありませんが、解析接続(またはウィック回転) y  = i tによってサインゴードン方程式に関連付けられているため、多くの類似した特性を持ちます。 ${\displaystyle \varphi }$

楕円 sinh-Gordon 方程式も同様の方法で定義できます。

もう一つの類似した方程式は、リウヴィル場理論のオイラー・ラグランジュ方程式から得られる。

$${\displaystyle \varphi _{xx}-\varphi _{tt}=2e^{2\varphi }.}$$

一般化は戸田場の理論によって与えられる。^[14]より正確には、リウヴィル場の理論は有限カッツ-ムーディ代数に対する戸田場の理論であり、sin(h)-ゴードンは アフィンカッツ-ムーディ代数に対する戸田場の理論である。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {sl}}}_{2}}$

サイン・ゴードンモデルは円上、^[15]、線分上、または半直線上^[16]でも考えることができます。モデルの積分可能性を維持する境界条件を見つけることが可能です。^[16]半直線上では、スペクトルにはソリトンとブリーザーに加えて境界束縛状態が含まれます。 ^[16]

量子場理論では、サイン・ゴードン模型にはプランク定数と同一視できるパラメータが含まれる。粒子スペクトルはソリトン、反ソリトン、有限個（ゼロの場合もある）のブリーザーで構成される。^{[17] [18] [19]}ブリーザーの数はパラメータの値に依存する。多粒子生成は質量殻上でキャンセルされる。

サインゴードン模型の半古典的量子化はルートヴィヒ・ファデーエフとウラジミール・コレピンによって行われた。^[20]正確な量子散乱行列はアレクサンダー・ザモロドチコフによって発見された。^[21] このモデルは、コールマンによって発見されたサーリング模型のS双対である。 ^[22]これはコールマン対応と呼ばれることもあり、相互作用する場合のボソン-フェルミオン対応の例となる。この論文では、モデルに現れる定数が繰り込みの下でうまく振舞うことも示された。3つのパラメータとがある。コールマンは、 は乗法補正のみを受け取り、は加算補正のみを受け取り、 は繰り込みされないことを示した。さらに、臨界の非ゼロ値 に対して、理論は実際には自由質量ディラック場理論の双対である。 ${\displaystyle \alpha _{0},\beta }$${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta ={\sqrt {4\pi }}}$

量子サインゴードン方程式は指数関数が頂点演算子になるように修正する必要がある

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{QsG}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi +{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}-\alpha (V_{\beta }+V_{-\beta })}$

であり、セミコロンは通常の順序付けを表します。可能な質量項が含まれます。 ${\displaystyle V_{\beta }=:e^{i\beta \varphi }:}$

パラメータの値が異なると、サイン・ゴードン理論の再正規化特性は変化する。 ^[23]これらの領域の同定はJürg Fröhlichによるものである。 ${\displaystyle \beta ^{2}}$

有限領域はであり、理論を適切に設定するために反対項は必要ありません。超繰り込み可能領域は であり、理論を適切に設定するために有限個の反対項が必要です。しきい値を通過するたびに、より多くの反対項が必要になります。 ^[24]の場合、理論は定義不能になります (Coleman 1975)。境界値はと であり、それぞれ自由フェルミオン点 (理論はコールマン対応を介して自由フェルミオンと双対であるため) と自己双対点 (頂点演算子がアフィンsl ₂部分代数を形成し、理論は厳密に繰り込み可能 (繰り込み可能だが超繰り込み可能ではない) になる) です。 ${\displaystyle \beta ^{2}<4\pi }$${\displaystyle 4\pi <\beta ^{2}<8\pi }$${\displaystyle {\frac {n}{n+1}}8\pi }$${\displaystyle \beta ^{2}>8\pi }$${\displaystyle \beta ^{2}=4\pi }$${\displaystyle \beta ^{2}=8\pi }$

確率的または動的サインゴードンモデルはマーティン・ヘアラーとハオ・シェン ^[25]によって研究されており、 量子サインゴードン理論から得られる経験的結果を統計的な設定で証明することが可能となっている。

方程式は、 は実数値定数、 は時空ホワイトノイズです。空間次元は 2 に固定されています。解の存在証明では、しきい値が特定の項の収束を決定する役割を果たします。 $${\displaystyle \partial _{t}u={\frac {1}{2}}\Delta u+c\sin(\beta u+\theta )+\xi ,}$$${\displaystyle c,\beta ,\theta }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \beta ^{2}={\frac {n}{n+1}}8\pi }$

サイン・ゴードン模型の超対称拡張も存在する。^[26]この拡張に対しても積分可能性を保つ境界条件が見つかる。^[26]

サイン・ゴードン・モデルは、結晶転位をモデル化するフレンケル・コントロバ・モデルの連続体極限として生じます。

長いジョセフソン接合のダイナミクスはサイン・ゴードン方程式によってよく記述され、逆にサイン・ゴードンモデルを研究するための有用な実験システムを提供します。^[27]

サイン・ゴードン模型は、磁性のモデルである連続古典XY模型における渦と反渦のクーロン気体に対する有効作用と同じ普遍性クラスに属します。 ^{[28] [29]}渦のコステルリッツ・サウレス転移は、したがってサイン・ゴードン場の理論の繰り込み群解析から導くことができます。 ^{[30] [31]}

サイン・ゴードン方程式は、異なる磁性モデルである量子ハイゼンベルクモデル、特にXXZモデルの形式的な連続体極限としても現れる。^[32]

• ジョセフソン効果
• フラクソン
• 波を形作る

• EqWorld: 数学方程式の世界におけるサイン・ゴードン方程式。
• EqWorld の Sinh-Gordon 方程式: 数式の世界。
• サイン・ゴードン方程式は、非線形方程式百科事典 NEQwiki のWayback Machineに 2012-03-16 にアーカイブされています。