クアシノム

線形代数、関数解析、および関連する数学の分野では、準正規分布はノルム公理を満たすという点でノルムに似ていますが、三角不等式が いくつかの点で置き換えられます 。$${\displaystyle \|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|)}$$${\displaystyle K>1.}$

あベクトル空間上の準半正規分布^[1]、以下の条件を満たす 実数値写像で${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

1. 非否定性:${\displaystyle p\geq 0;}$
2. 絶対的な同質性：すべてのスカラーに対して${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s;}$
3. 全ての​${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle p(x+y)\leq k[p(x)+p(y)]}$${\displaystyle x,y\in X.}$
   • の場合、この不等式は三角不等式に簡約されます。この意味で、この条件は通常の三角不等式を一般化します。${\displaystyle k=1}$

あquasinorm ^[1]は、次も満たす準半正規分布である:

4. 正定値/点分離：を満たす${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle p(x)=0,}$${\displaystyle x=0.}$

ベクトル空間とそれに関連する準半ノルムのペアは${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$準半ノルムベクトル空間。準半ノルムが準ノルムである場合、それはまた準半ノルムと呼ばれる。準ノルムベクトル空間。

乗数

条件（３）を満たすすべての値の最小値は${\displaystyle k}$の乗数 乗数 自体も条件(3)を満たすので、この条件を満たす唯一の最小の実数である。-準セミノルムという用語は、乗数が${\displaystyle p.}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k.}$

ノルム（または半ノルム）は、その乗数が である準ノルム（または準半ノルム）です。 したがって、すべての半ノルムは準セミノルムであり、すべてのノルムは準ノルム（および準セミノルム）です。 ${\displaystyle 1.}$

が上の準正則である場合、ベクトル位相を誘導し、その原点における近傍基底は、正の整数上の範囲 として、集合^[2]によって与えられる。このような位相を持つ位相ベクトル空間は、${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1/n\}}$$${\displaystyle n}$準ノルム位相ベクトル空間または単に準ノルム空間。

あらゆる準ノルム位相ベクトル空間は擬距離化可能である。

完全な準ノルム空間は準バナッハ空間。すべてのバナッハ空間は準バナッハ空間であるが、その逆は当てはまらない。

準ノルム空間は${\displaystyle (A,\|\,\cdot \,\|)}$準ノルム代数とは、ベクトル空間が代数であり、すべて の${\displaystyle A}$${\displaystyle K>0}$$${\displaystyle \|xy\|\leq K\|x\|\cdot \|y\|}$$${\displaystyle x,y\in A.}$

完全な準ノルム代数は準バナッハ代数。

位相ベクトル空間（TVS）は、原点の有界近傍を持つ場合にのみ準ノルム空間である。^[2]

すべてのノルムは準ノルムなので、すべてのノルム空間も準ノルム空間です。

${\displaystyle L^{p}}$スペース${\displaystyle 0<p<1}$

の空間は準ノルム空間（実際、 F空間でもある）であるが、一般にはノルム可能ではない（つまり、位相を定義するノルムが存在しない可能性がある）。 は、ルベーグ空間が完全な距離化可能なTVS（F空間）であり、局所的に凸ではない（実際、その凸開集合はそれ自体と空集合のみである）ため、 の唯一の連続線型関数は定数関数である（Rudin 1991、§1.47）。特に、 のとき、ハーン・バナッハの定理は成り立たない。${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle 0<p<1}$${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle L^{p}([0,1])}$${\displaystyle 0<p<1.}$

• 距離化可能な位相ベクトル空間 – 距離によって位相を定義できる位相ベクトル空間
• ノルム（数学）  – ベクトル空間における長さ
• セミノルム – 数学関数
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間

• Aull, Charles E.; Robert Lowen (2001).一般位相幾何学の歴史ハンドブック. Springer . ISBN 0-7923-6970-X。
• コンウェイ、ジョン B. (1990)。関数解析コース。シュプリンガー。ISBN 0-387-97245-5。
• Kalton, N. (1986). 「準バナッハ空間上の多元調和関数」(PDF) . Studia Mathematica . 84 (3). ポーランド科学アカデミー数学研究所: 297–324. doi :10.4064/sm-84-3-297-324. ISSN  0039-3223.
• Nikolʹskiĭ, Nikolaĭ Kapitonovich (1992)。関数解析 I: 線形関数解析。数学科学百科事典。第 19 巻。Springer。ISBN 3-540-50584-9。
• ルディン、ウォルター(1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• シュワルツ、チャールズ（1992）。関数解析入門。CRC Press。ISBN 0-8247-8643-2。
• ウィランスキー、アルバート(2013)。位相ベクトル空間における最新の手法。ニューヨーク州ミネオラ: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.