アブラハム・ローレンツ力

電磁気学において、アブラハム・ローレンツ力（ローレンツ・アブラハム力 とも呼ばれる）は、加速する荷電粒子が自己相互作用によって電磁放射を放出することによって生じる反作用の力である。放射反作用力、放射減衰力、^[1] または自己力とも呼ばれる。^{[2]物理学者の}マックス・アブラハムとヘンドリック・ローレンツにちなんで名付けられました。

この式は特殊相対性理論より古いものであるが、当初は非相対論的速度近似値に対して計算され、マックス・エイブラハムによって任意の速度に拡張され、ジョージ・アドルフ・ショットによって物理的に矛盾しないことが示された。非相対論的形式はローレンツ自己力と呼ばれ、相対論的バージョンはローレンツ・ディラック力、または総称してエイブラハム・ローレンツ・ディラック力と呼ばれる。^[3]この式は量子物理学ではなく古典物理学の領域にあるため、コンプトン波長程度の距離やそれ以下の距離では有効でない可能性がある。^[4]ただし、この式には完全に量子的かつ相対論的な類似式が 2 つある。1 つは「エイブラハム・ローレンツ・ディラック・ランジュバン方程式」と呼ばれ、^[5]もう 1 つは動く鏡の自己力である。^[6]

力は、物体の電荷の二乗に、物体が経験している加速度を乗じた値に比例します。(加速度は加速度の変化率です。) 力は加速度の方向を向きます。たとえば、加速度が速度と反対を向いているサイクロトロンでは、放射反応は粒子の速度と反対の方向に向かい、ブレーキ作用を生み出します。アブラハム・ローレンツ力は、電波を放射する無線アンテナの放射抵抗の原因です。

アブラハム・ローレンツ・ディラック方程式には、力を加える前に粒子が加速するという異常な解、いわゆる事前加速解が存在する。これは原因の前に起こる効果（逆因果性）を表すため、一部の理論では、この方程式は信号を時間的に逆方向に移動させ、因果性の物理的原理に反するのではないかと推測されている。この問題の解決策の 1 つは、アーサー・D・ヤジアン^[7]によって議論され、フリッツ・ローリッヒ^[4]とロドリゴ・メディナ^[8]によってさらに議論された。さらに、一部の著者は、放射反作用力は不要であり、ミンコフスキー空間やその他の適切な時空でエネルギーと運動量を自然に保存する対応する応力エネルギーテンソルを導入すると主張している。^[9]

非相対論的速度近似に対して導出されるローレンツ自己力は、 SI単位では次のように表されます。 または、ガウス単位では次のように表されます。 ここで、 は力、は加速度の微分、または変位の3次微分（ジャークとも呼ばれます） 、μ ₀は磁気定数、ε ₀は電気定数、cは自由空間における光の速度、qは粒子の 電荷です。${\displaystyle v\ll c}$$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pic}}\mathbf {\dot {a}} = {\frac {q^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} ={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} }$$$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={2 \over 3}{\frac {q^{2}}{c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} 。}$$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }}$${\displaystyle \mathbf {\dot {a}} }$

物理的には、加速する電荷は放射線を放出し（ラーモアの公式による）、その放射線が電荷から運動量を運び去ります。運動量は保存されるため、電荷は放出された放射線の方向と反対の方向に押し出されます。実際、上記の放射力の公式は、以下に示すようにラーモアの公式から 導き出すことができます。

アブラハム・ローレンツ力は、任意の速度に対するローレンツ力の一般化であり、次のように表される。^{[10] [11]} $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pic}}\left(\gamma ^{2}{ \dot {a}}+{\frac {\gamma ^{4}v(v\cdot {\dot {a}})}{c^{2}}}+{\frac {3\gamma ^{4}a(v\cdot a)}{c^{2}}}+{\frac {3\gamma ^{6}v(v\cdot a)^{2}}{c^{4} }}\右）}$$

ここで、 は粒子の速度に関連付けられたローレンツ因子です。この式は特殊相対性理論と一致しており、低速度限界ではローレンツの自己力の式に簡約されます。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle v}$

ディラックによって導かれた、任意の形状の素電荷に対する放射反応の共変形は、次のようになる。^{[12] [13]} $${\displaystyle F_{\mu }^{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}\left[{\frac {d^{2}p_{\mu }}{d\tau ^{2}}}-{\frac {p_{\mu }}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {dp_{\nu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\nu }}{d\tau }}\right)\right]}$$

電流による電磁放射エネルギーの最初の計算は、1883年にジョージ・フランシス・フィッツジェラルドによって行われ、その中で放射抵抗が登場しています。 ^{[14]しかし、}ハインリッヒ・ヘルツによるダイポールアンテナの実験の方が大きな影響を与え、ポアンカレによる放射の放出による振動子の減衰または減衰についてのコメントを集めました。 ^{[15] [16] [17]}加速する電荷によって放出される放射の減衰効果をめぐる定性的な議論は、 1891年にヘンリー・ポアンカレによって始まりました。^{[18] [19]} 1892年、ヘンドリック・ローレンツは低速での電荷の自己相互作用力を導き出しましたが、それを放射損失と関連付けませんでした。^{[20]放射エネルギー損失と自己力の関係を示唆したのは、}マックス・プランクによって初めてでした。^[21]プランクの減衰力の概念は、荷電粒子に対して特定の形状を想定していなかったが、1898年にマックス・アブラハムによってアンテナの放射抵抗を求めるために応用され、これはこの現象の最も実用的な応用例である。^[22]

1900年代初頭、アブラハムはローレンツの自己力を任意の速度に一般化する方法を定式化し、その物理的な一貫性は後にジョージ・アドルフ・ショットによって示された。^{[10] [23] [24]}ショットはアブラハム方程式を導き出し、「加速エネルギー」が電磁放射のエネルギー源であるとした。この論文はもともと1908年のアダムズ賞に提出されたもので、彼はコンテストで優勝し、1912年に本として出版された。自己力と放射反応の関係はこの時点で確立された。^[25] ヴォルフガング・パウリは放射反応の共変形式を初めて得て^{[26] [27]}、1938年にポール・ディラックは荷電粒子の運動方程式が粒子の形状を仮定せずに、アブラハムの公式を妥当な近似値で含むことを発見した。ディラックが導出した方程式は古典理論の範囲内で正確であると考えられている。^[12]

古典電気力学では、問題は通常 2 つのクラスに分類されます。

1. 場の電荷と電流源を指定して場を計算する問題、および
2. 逆の状況、つまり、場を指定して粒子の動きを計算する問題。

プラズマ物理学や輸送係数 (伝導率、拡散率など)の計算など、物理学の一部の分野では、ソースによって生成されるフィールドとソースの動きが自己矛盾なく解決されます。ただし、このような場合、選択されたソースの動きは、他のすべてのソースによって生成されるフィールドに応じて計算されます。同じ粒子によって生成されるフィールドによる粒子 (ソース) の動きが計算されることはほとんどありません。これには 2 つの理由があります。

1. 「自己フィールド」を無視すると、多くのアプリケーションで十分に正確な答えが得られる。
2. 自己場を含めると、物理学において、物質とエネルギーの本質に関係する、再正規化などの問題が生じます。その一部は未だに解決されていません。

自己分野によって生み出されるこれらの概念上の問題は、標準的な大学院のテキストで強調されています。[ジャクソン]

この問題がもたらす困難は、物理学の最も基本的な側面の 1 つである素粒子の性質に関係しています。限られた領域内で実行可能な部分的な解決法は提示できますが、基本的な問題は未解決のままです。古典的処理から量子力学的処理への移行によって困難が解消されることを期待できます。最終的にはそうなる可能性はまだありますが、現在の量子力学的議論は古典的なものよりもさらに複雑な問題に悩まされています。比較的近年 (1948 ～ 1950 年頃) の勝利の 1 つは、ローレンツ共変性とゲージ不変性の概念を巧みに利用して量子電気力学のこれらの困難を回避し、実験と完全に一致する非常に小さな放射効果を極めて高精度で計算できるようになったことです。しかし、基本的な観点からは、困難は残っています。

アブラハム・ローレンツ力は、自己生成場の効果の最も基本的な計算の結果です。これは、加速する電荷が放射線を放出するという観察から生じます。アブラハム・ローレンツ力は、加速する荷電粒子が放射線の放出からの反動で感じる平均的な力です。量子効果の導入により、量子電気力学が生まれました。量子電気力学の自己場は、計算で有限個の無限大を生成しますが、これは、くりこみのプロセスによって除去できます。これにより、人類がこれまでに作成した中で最も正確な予測を行うことができる理論が生まれました。( QED の精密テストを参照してください。) ただし、くりこみのプロセスは、重力に適用すると失敗します。その場合の無限大の数は無限であり、くりこみの失敗を引き起こします。したがって、一般相対性理論には未解決の自己場問題があります。弦理論とループ量子重力は、正式には放射反応の問題または自己力の問題と呼ばれるこの問題を解決するための現在の試みです。

周期運動における自己力の最も簡単な導出は、光速よりもはるかに遅い速度で移動する点電荷から放射される電力の ラーモアの公式から得られます。$${\displaystyle P={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {a} ^{2}.}$$

荷電粒子の運動が周期的であると仮定すると、アブラハム・ローレンツ力によって粒子に行われる平均仕事は、からまでの1周期にわたって積分されたラーモア力の負の値になります。 ${\displaystyle \tau_{1}}$${\displaystyle \tau_{2}}$$${\displaystyle \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=\int _{\タウ _{1}}^{\タウ _{2}}-Pdt=-\int _{\タウ _{1}}^{\タウ_{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {a} ^{2}dt=-\int _{\tau _{1} }^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pic}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}dt.}$$

上記の式は部分積分することができます。周期運動があると仮定すると、部分積分における境界項は消えます。 $${\displaystyle \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=-{\frac { \mu _{0}q^{2}}{6\pic}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} {\bigg |}_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pic}}{\frac {d^{2}\mathbf {v} }{dt^{2}}}\cdot \mathbf {v} dt=-0+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pic}}\mathbf {\dot {a}} \cdot \mathbf {v} dt.}$$

明らかに、低速で移動する粒子に適用できるローレンツ自己力方程式は次のように特定できます。 周期運動を必要としないより厳密な導出は、有効場理論の定式化を使用して発見されました。^{[28] [29]}$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pic}}\mathbf {{\dot {a}} 。} }$$

任意の速度に対する一般化された方程式はマックス・アブラハムによって定式化され、特殊相対性理論と一致することがわかった。当時確立されていた相対性理論を利用した別の導出は、荷電粒子の形状を仮定することなくディラックによって発見された。 ^[3]

以下は、古典的な分析がどのようにして驚くべき結果につながるかを示したものです。古典的な理論は因果関係の標準的な見方に異議を唱えるものとみなされ、理論の崩壊または拡張の必要性を示唆しています。この場合、拡張は量子力学と、その相対論的対応物である量子場理論への拡張です。序文の「物理理論の有効性限界に従うことの重要性」に関する ローリッヒ^[4]の引用を参照してください。

外力を受ける粒子の 場合 、 ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }}$$${\displaystyle m{\dot {\mathbf {v} }}=\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }=mt_{0}{\ddot {\mathbf {v} }}+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }.}$$$${\displaystyle t_{0}={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}.}$$

この式を1回積分すると、 $${\displaystyle m{\dot {\mathbf {v} }}={1 \over t_{0}}\int _{t}^{\infty }\exp \left(-{t'-t \over t_{0}}\right)\,\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }(t')\,dt'.}$$

積分は現在から無限に遠い未来まで広がります。したがって、力の将来の値は、現在における粒子の加速に影響します。将来の値は、 未来 よりも長い時間で急速に減少する係数によって重み付けされます。したがって、ほぼ未来の間隔からの信号は、 現在における加速に影響します。電子の場合、この時間は約 sec で、これは光波が電子の「サイズ」、つまり古典的な電子半径を横切るのにかかる時間です。この「サイズ」を定義する 1 つの方法は、次のとおりです。これは、一定の係数を除いて、一定の距離を置いて静止した 2 つの電子が離れて飛ぶと、光速の半分に達するのに十分なエネルギーを持つ距離です。言い換えると、これは、電子のように軽いものが完全に相対論的になる長さ (または時間、またはエネルギー) スケールを形成します。この式にはプランク定数がまったく含まれていないことに注意してください。したがって、この長さスケールで何かが間違っていることを示していますが、量子不確定性や光子の周波数とエネルギーの関係に直接関係しているわけではありません。量子力学では「古典的限界」として扱うのが一般的ですが、プランク定数がどのように固定されるかに関係なく、古典理論でさえも繰り込みが必要であると推測する人も ^います。$${\displaystyle \exp \left(-{t'-t \over t_{0}}\right)}$$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle 10^{-24}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \hbar \to 0}$

相対論的な一般化を見つけるために、ディラックは1938年に運動方程式の質量をアブラハム・ローレンツ力で正規化した。この正規化された運動方程式はアブラハム・ローレンツ・ディラックの運動方程式と呼ばれる。^{[12] [30]}

ディラックによって導かれた式は、符号(− + + +)で^{[12] [13]によって与えられる。} $${\displaystyle F_{\mu }^{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}\left[{\frac {d^{2}p_{\mu }}{d\tau ^{2}}}-{\frac {p_{\mu }}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {dp_{\nu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\nu }}{d\tau }}\right)\right].}$$

リエナールによるラーモアの公式の共動フレームにおける相対論的一般化により、 パワー の時間平均方程式を操作することで、これが有効な力であることを示すことができます。 $${\displaystyle P={\frac {\mu _{0}q^{2}a^{2}\gamma ^{6}}{6\pi c}},}$$$${\displaystyle {\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{t}Pdt={\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{t}{\textbf {F}}\cdot {\textbf {v}}\,dt.}$$

非相対論的ケースと同様に、アブラハム・ローレンツ・ディラック方程式を用いた病的な解法があり、これは外力の変化を予測し、力の適用前に粒子が加速するという、いわゆる前加速解法である。この問題の1つの解決策はYaghjian ^[7]によって議論され、Rohrlich ^{[4]とMedina [8]}によってさらに議論されている。

暴走解は、物体にかかる力が時間の経過とともに指数関数的に増加することを示唆する ALD 方程式の解です。これは非物理的な解であると考えられます。

ALD 方程式は、ミンコフスキー時空図における一定の加速度または双曲運動に対してはゼロになることが知られています。そのような状況で電磁放射が存在するかどうかという問題は、フリッツ・ローリッヒが双曲的に移動する電荷は放射を放出することを示すことで問題を解決するまで議論の対象でした。その後、この問題はエネルギー保存と等価原理の文脈で議論され、これは「加速エネルギー」またはショットエネルギーを考慮することで古典的に解決されます。

しかし、アブラハム・ローレンツ力から生じる反減衰機構は、遅延リエナール・ヴィーヒャルトポテンシャルの展開では無視されることが多い他の非線形項によって補償される。^[4]

アブラハム・ローレンツ・ディラック力は、いくつかの病的な解を導きます。これを避けるために、レフ・ランダウとエフゲニー・リフシッツは、放射減衰力の次の式を考案しました。これは、放射減衰力がローレンツ力と比較して小さい場合（存在すると仮定した場合）に有効です。^[31]

${\displaystyle g^{i}={\frac {2e^{3}}{3mc^{3}}}\left\{{\frac {\partial F^{ik}}{\partial x^{l}}}u_{k}u^{l}-{\frac {e}{mc^{2}}}\left[F^{il}F_{kl}u^{k}-(F_{kl}u^{l})(F^{km}u_{m})u^{i}\right]\right\}}$

したがって、外部場における電荷の運動方程式は次のように表される。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle F^{ik}}$

${\displaystyle mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {e}{c}}F^{ik}u_{k}+g^{i}.}$

ここでは粒子の4元速度、はローレンツ因子、 は3次元速度ベクトルです。3次元のランダウ・リフシッツ放射減衰力は次のように表すことができます。 ${\displaystyle u^{i}=(\gamma ,\gamma \mathbf {v} /c)}$${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {2e^{3}\gamma }{3mc^{3}}}\left\{{\frac {D\mathbf {E} }{Dt}}+{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \times {\frac {D\mathbf {H} }{Dt}}\right\}+{\frac {2e^{4}}{3m^{2}c^{4}}}\left[\mathbf {E} \times \mathbf {H} +{\frac {1}{c}}\mathbf {H} \times (\mathbf {H} \times \mathbf {v} )+{\frac {1}{c}}\mathbf {E} (\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} )\right]-{\frac {2e^{4}\gamma ^{2}\mathbf {v} }{3m^{2}c^{5}}}\left[\left(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} )^{2}\right]}$

ここで全導関数です。 ${\displaystyle D/Dt=\partial /\partial t+\mathbf {v} \cdot \nabla }$

アブラハム・ローレンツ力は多くの実験的考察ではほとんど無視されているが、大きな局所場増強のため、より大きなナノ粒子におけるプラズモン励起では重要になる。放射減衰は表面増強ラマン散乱におけるプラズモン励起の制限因子として作用する。^{[32]減衰力は}金ナノ粒子、ナノロッド、クラスターの表面プラズモン共鳴を広げることが示された。^{[33] [34] [35]}

核磁気共鳴に対する放射線減衰の影響はニコラス・ブルームベルゲンとロバート・パウンドによっても観測されており、彼らは特定のケースでは放射線減衰がスピン-スピン緩和機構やスピン-格子緩和機構よりも優位であると報告した。^[36]

アブラハム・ローレンツ力は、高強度レーザーによる相対論的電子ビームの散乱を伴う実験において、半古典的領域で観測されている。^{[37] [38]}実験では、超音速のヘリウムガスジェットが高強度（10 ¹⁸ –10 ²⁰  W/cm ²）レーザーによって捕捉される。レーザーはヘリウムガスをイオン化し、「レーザー航跡場」効果として知られる効果によって電子を加速する。次に、2 番目の高強度レーザービームが、この加速された電子ビームと反対方向に伝播する。少数のケースでは、光子と電子ビームの間で逆コンプトン散乱が発生し、散乱された電子と光子のスペクトルが測定される。次に、光子スペクトルを、QED または古典的な LL 運動方程式を使用するモンテカルロシミュレーションから計算されたスペクトルと比較する。

放射反応の影響は、単粒子動力学の枠組みで考察されることが多い。しかし、プラズマのような強い電磁場にさらされた荷電粒子の集団では、興味深い現象が発生する。このようなシナリオでは、プラズマの集団的挙動は、放射反応の影響によりその特性を大幅に変化させる可能性がある。理論的研究によると、パルサーやマグネターの周囲に見られるような強い磁場のある環境では、放射反応冷却によりプラズマの集団的動力学が変化する可能性がある。この変化はプラズマ内の不安定性につながる可能性がある。^{[39] [40] [41]}具体的には、これらの天体特有の高磁場では、粒子の運動量分布が束になって放射反応力により異方性になり、プラズマの不安定性を引き起こし、プラズマ全体の挙動に影響を与える可能性がある。これらの不安定性のうち、異方性圧力によりファイアホース不安定性^[39]が発生し、リング内の反転分布により電子サイクロトロンメーザーが発生する可能性がある。^[42]

• ローレンツ力
• サイクロトロン放射
  • シンクロトロン放射
• 電磁質量
• 放射線耐性
• 放射減衰
• ウィーラー・ファインマン吸収体理論
• 磁気放射反力

• グリフィス、デイビッド J. (1998)。『電気力学入門（第 3 版）』。プレンティス ホール。ISBN 978-0-13-805326-0。セクション11.2.2および11.2.3を参照
• ジャクソン、ジョン D. (1998)。古典電気力学(第 3 版) 。Wiley。ISBN 978-0-471-30932-1。
• ドナルド・H・メンゼル（1960）『物理学の基本公式』、ドーバー出版、ISBN 0-486-60595-7、第1巻、345ページ。 
• Stephen Parrott (1987) 『相対論的電磁力学と微分幾何学』、§ 4.3「放射反応とローレンツ–ディラック方程式」、136–45 ページ、および § 5.5「ローレンツ–ディラック方程式の特異解」、195–204 ページ、Springer-Verlag ISBN 0-387-96435-5。 

• MathPages – 均一に加速する電荷は放射しますか?
• ファインマン: 量子電気力学の空間時間観の発展
• EC. デルリオ: 加速電荷の放射