散乱パラメータ

散乱パラメータまたはS パラメータ(散乱行列またはS 行列の要素) は、電気信号によるさまざまな定常状態の刺激を受けたときの線形 電気ネットワークの電気的動作を表します。

これらのパラメータは、電子工学、通信システム設計、特にマイクロ波工学を含む電気工学のさまざまな分野に役立ちます。

Sパラメータは類似のパラメータ群に属し、他の例としてはYパラメータ^[1] 、Zパラメータ^[2] 、Hパラメータ、Tパラメータ、ABCDパラメータ[ ^3]などがあります。^[4] Sパラメータはこれらとは異なり、Sパラメータは線形電気ネットワークの特性を表すために開放または短絡条件を使用せず、代わりに整合負荷を使用します。これらの終端は、開放回路終端や短絡回路終端よりも高信号周波数での使用がはるかに簡単です。一般に信じられているのとは異なり、これらの量は電力で測定されることはありません（現在は廃止された6ポートのネットワーク アナライザを除く）。最新のベクトル ネットワーク アナライザは、デジタル変調された無線信号の復調に使用されるものと基本的に同じ回路を使用して、電圧進行波位相器の振幅と位相を測定します。

コンポーネントのネットワーク (インダクタ、コンデンサ、抵抗器) の多くの電気的特性 (ゲイン、リターンロス、電圧定在波比(VSWR)、反射係数、アンプの安定性など) は、S パラメータを使用して表現できます。「散乱」という用語は、RF エンジニアリングよりも光エンジニアリングで一般的であり、平面電磁波が障害物に当たったとき、または異なる誘電体媒体を通過するときに観察される効果を指します。S パラメータのコンテキストでは、散乱とは、伝送ラインにネットワークを挿入することによって生じる不連続性に遭遇したときに、伝送ライン内を移動する電流と電圧が影響を受ける方法を指します。これは、波がラインの特性インピーダンスとは異なるインピーダンスに遭遇することと同等です。

Sパラメータはどの周波数でも適用可能ですが、主に無線周波数（RF）およびマイクロ波周波数で動作するネットワークで使用されます。一般的に使用されるSパラメータ（従来のSパラメータ）は線形量です（以下で説明する黒川兼行による「電力波」アプローチのような電力量ではありません）。S パラメータは測定周波数によって変化するため、記載されているSパラメータ測定では、特性インピーダンスまたはシステムインピーダンスに加えて、周波数を指定する必要があります。

S パラメータは行列形式で簡単に表現でき、行列代数の規則に従います。

Sパラメータに関する最初の発表された記述は、 1945年のヴィトールド・ベレヴィッチの論文であった。^[5]ベレヴィッチが使用した名前は再分割行列であり、集中定数ネットワークの考慮に限定されていた。散乱行列という用語は、戦時中のレーダー研究中に独自にこのアイデアを開発した物理学者で技術者のロバート・ヘンリー・ディッケによって1947年に使用された。 ^{[6] [7]これらのSパラメータと散乱行列では、散乱波}はいわゆる進行波である。異なる種類のSパラメータが1960年代に導入された。^[8]後者は黒川兼行 [ja]によって普及され、^[9]彼は新しい散乱波を「電力波」と呼んだ。2種類のSパラメータは非常に異なる特性を持っているため、混同してはならない。^[10]黒川は彼の独創的な論文^[11]で、電力波Sパラメータと従来の進行波Sパラメータを明確に区別しています。後者の変形は疑似進行波Sパラメータです。^[12]

S パラメータ アプローチでは、電気ネットワークは、抵抗器、コンデンサ、インダクタ、トランジスタなどのさまざまな相互接続された基本的な電気回路コンポーネントまたは集中素子を含む「ブラック ボックス」と見なされ、ポートを介して他の回路と相互作用します。ネットワークは、 S パラメータ マトリックスと呼ばれる複素数の正方行列によって特徴付けられ、ポートに適用された信号に対する応答を計算するために使用できます。

S パラメータの定義では、ネットワーク全体が入射する小信号に対して線形に動作する限り、ネットワークには任意のコンポーネントを含めることができると理解されています。また、増幅器、減衰器、フィルタ、カプラ、イコライザなどの多くの一般的な通信システム コンポーネントまたは「ブロック」も、線形かつ定義された条件下で動作している限り、 含めることができます。

Sパラメータで記述される電気ネットワークには、任意の数のポートがあります。ポートは、電気信号がネットワークに出入りするポイントです。ポートは通常、一方の端子に流入する電流がもう一方の端子から流出する電流と等しいという要件を持つ端子のペアです。^{[13] [14] Sパラメータは、ポートが}同軸または導波管接続 であることが多い周波数で使用されます。

Nポート ネットワークを記述するS パラメータマトリックスは次元Nの平方であるため、要素が含まれます。テスト周波数では、各要素または S パラメータは、大きさと角度、つまり振幅と位相を表す単位のない複素数で表されます。複素数は、直交形式または、より一般的には極形式のいずれかで表されます。S パラメータの大きさは、線形形式または対数形式で表されます。対数形式で表される場合、大きさは「無次元単位」であるデシベルを持ちます。S パラメータの角度は、ほとんどの場合度で表されますが、ラジアンで表される場合もあります。S パラメータは、1 つの周波数の場合はドット、周波数範囲の場合は軌跡によって極図にグラフィカルに表示できます。1 つのポートのみに適用される場合 (形式)、システム インピーダンスに正規化されたインピーダンス スミス チャートまたはアドミタンススミス チャートに表示できます。スミス チャートを使用すると、電圧反射係数に相当するパラメータと、そのポートで「見られる」関連する（正規化された）インピーダンス（またはアドミタンス）との間の簡単な変換が可能になります。 ${\displaystyle N^{2}\,}$${\displaystyle S_{nn}\,}$${\displaystyle S_{nn}\,}$

S パラメータのセットを指定するときは、次の情報を定義する必要があります。

1. 頻度
2. 公称特性インピーダンス（多くの場合50Ω）
3. ポート番号の割り当て
4. 該当する場合、温度、制御電圧、バイアス電流など、ネットワークに影響を及ぼす可能性のある条件。

一般的なマルチポート ネットワークの場合、ポートには 1 からNまでの番号が付けられます( Nはポートの総数)。ポートiの場合、関連する S パラメータ定義は、それぞれ入射および反射の「電力波」とで表されます。 ${\displaystyle a_{i}\,}$${\displaystyle b_{i}\,}$

黒川^[15]は各ポートの入射電力波を次のように定義している。

${\displaystyle a_{i}={\frac {1}{2}}\,k_{i}(V_{i}+Z_{i}I_{i})\,}$

各ポートの反射波は次のように定義されます。

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{2}}\,k_{i}(V_{i}-Z_{i}^{*}I_{i})\,}$

ここで、 はポートiのインピーダンス、は の複素共役、はそれぞれポートiの電圧と電流の複素振幅、 ${\displaystyle Z_{i}\,}$${\displaystyle Z_{i}^{*}\,}$${\displaystyle Z_{i}\,}$${\displaystyle V_{i}\,}$${\displaystyle I_{i}\,}$

${\displaystyle k_{i}=\left({\sqrt {\left|\Re \{Z_{i}\}}\right|}}\right)^{-1}\,}$

基準インピーダンスがすべてのポートで同じであると仮定すると便利な場合があり、その場合、入射波と反射波の定義は次のように簡略化される。

${\displaystyle a_{i}={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V_{i}+Z_{0}I_{i})}{\sqrt {\left|\Re \{Z_{0}\right|}}}\,}$

そして

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V_{i}-Z_{0}^{*}I_{i})}{\sqrt {\left|\Re \{Z_{0}\}}\right|}}}\,}$

なお、黒川氏自身が指摘したように、上記のおよびの定義は一意的なものではないことに留意してください。 ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$

i番目の成分がそれぞれ電力波とであるベクトルaとbの関係は、S パラメータ行列Sを使用して表すことができます。 ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {S} \mathbf {a} \,}$

または明示的なコンポーネントを使用します:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&\dots &S_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\S_{n1}&\dots &S_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}}$

ネットワークが受動的で、伝送信号に影響を与える相反材料のみを含む場合、そのネットワークは相反ネットワークになります。たとえば、減衰器、ケーブル、スプリッター、コンバイナーはすべて相反ネットワークであり、いずれの場合も、または S パラメータ マトリックスはその転置に等しくなります。磁気的に偏向したフェライトコンポーネントを含むネットワークなど、伝送媒体に非相反材料を含むネットワークは非相反ネットワークになります。増幅器は非相反ネットワークの別の例です。 ${\displaystyle S_{mn}=S_{nm}\,}$

しかし、3ポートネットワークの特性として、相互性、損失なし、完全整合を同時に実現することはできない。^[16]

ロスレス ネットワークとは、電力をまったく消費しないネットワーク、つまり です。すべてのポートにおける入射電力の合計は、すべてのポートにおける出力電力 (つまり「反射」電力) の合計に等しくなります。これは、S パラメータ マトリックスがユニタリ であることを意味します。つまり、 はの共役転置であり、 は単位行列です。 ${\displaystyle \Sigma \left|a_{n}\right|^{2}=\Sigma \left|b_{n}\right|^{2}\,}$${\displaystyle (S)^{H}(S)=(I)\,}$${\displaystyle (S)^{H}\,}$${\displaystyle (S)\,}$${\displaystyle (I)\,}$

損失のある受動ネットワークとは、すべてのポートにおける入射電力の合計が、すべてのポートにおける出力（たとえば「反射」）電力の合計よりも大きいネットワークです。したがって、電力は次のように消費されます。したがって、およびは正定値です。^[17]${\displaystyle \Sigma \left|a_{n}\right|^{2}\neq \Sigma \left|b_{n}\right|^{2}\,}$${\displaystyle \Sigma \left|a_{n}\right|^{2}>\Sigma \left|b_{n}\right|^{2}\,}$${\displaystyle (I)-(S)^{H}(S)\,}$

2ポートネットワークのSパラメータ行列はおそらく最も一般的に使用され、より大きなネットワークの高次行列を生成するための基本的な構成要素として機能します。^[18]この場合、出力（「反射」）波と入射波とSパラメータ行列の関係は次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}\,}$。

行列を方程式に展開すると次のようになります。

${\displaystyle b_{1}=S_{11}a_{1}+S_{12}a_{2}\,}$

そして

${\displaystyle b_{2}=S_{21}a_{1}+S_{22}a_{2}\,}$。

各式は、ネットワークの個々の S パラメータ、、、およびに関して、ネットワーク ポート 1 および 2 のそれぞれにおける出力波 (反射波など) と入射波の関係を示します。ポート 1 ( ) での入射波を考えると、ポート1 自体 ( ) またはポート 2 ( )のいずれかから出力される波が生じる可能性があります。ただし、S パラメータの定義に従って、ポート 2 がシステム インピーダンス ( ) と同じ負荷で終端されている場合、最大電力伝送定理により、は完全に吸収されて 0 になります。したがって、入射電圧波を、出力波/反射波を 、 と定義すると、 ${\displaystyle S_{11}\,}$${\displaystyle S_{12}\,}$${\displaystyle S_{21}\,}$${\displaystyle S_{22}\,}$${\displaystyle a_{1}\,}$${\displaystyle b_{1}\,}$${\displaystyle b_{2}\,}$${\displaystyle Z_{0}\,}$${\displaystyle b_{2}\,}$${\displaystyle a_{2}\,}$${\displaystyle a_{1}=V_{1}^{+}}$${\displaystyle a_{2}=V_{2}^{+}}$${\displaystyle b_{1}=V_{1}^{-}}$${\displaystyle b_{2}=V_{2}^{-}}$

${\displaystyle S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}}$そして。${\displaystyle S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,}$

同様に、ポート1がシステムで終端されている場合、インピーダンスはゼロになり、 ${\displaystyle a_{1}\,}$

${\displaystyle S_{12}={\frac {b_{1}}{a_{2}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$そして${\displaystyle S_{22}={\frac {b_{2}}{a_{2}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$

2 ポート S パラメータには、次のような一般的な説明があります。

${\displaystyle S_{11}\,}$入力ポート電圧反射係数

${\displaystyle S_{12}\,}$逆電圧利得

${\displaystyle S_{21}\,}$順方向電圧利得

${\displaystyle S_{22}\,}$出力ポートの電圧反射係数です。

各ポートに対する電圧波の方向を定義する代わりに、電圧波の絶対方向を順方向波と逆方向波として定義すると、およびとなります。S パラメータは、順方向電圧ゲインが順方向電圧の比によって定義されるなど、より直感的な意味を持ちます。 ${\displaystyle V^{+}}$${\displaystyle V^{-}}$${\displaystyle b_{2}=V_{2}^{+}}$${\displaystyle a_{1}=V_{1}^{+}}$${\displaystyle S_{21}=V_{2}^{-}/V_{1}^{+}}$

これを使用すると、上記のマトリックスをより実用的な方法で拡張することができます。

${\displaystyle V_{1}^{-}=S_{11}V_{1}^{+}+S_{12}V_{2}^{+}\,}$

${\displaystyle V_{2}^{-}=S_{21}V_{1}^{+}+S_{22}V_{2}^{+}\,}$

線形 (小信号) 条件下で動作するアンプは非相反ネットワークの好例であり、整合減衰器は相反ネットワークの例です。次のケースでは、入力と出力の接続がそれぞれポート 1 と 2 であると仮定します。これは最も一般的な慣例です。公称システム インピーダンス、周波数、および温度など、デバイスに影響を与える可能性のあるその他の要因も指定する必要があります。

複素線形ゲインGは次のように表される。

${\displaystyle G=S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}\,}$。

これは、出力反射電力波を入力入射電力波で割った線形比であり、すべての値は複素数として表されます。損失ネットワークの場合はサブユニタリですが、アクティブネットワークの場合はサブユニタリです。デバイスの入力インピーダンスと出力インピーダンスが等しい場合にのみ、電圧ゲインと等しくなります。 ${\displaystyle |G|>1}$

スカラー線形ゲイン（または線形ゲインの大きさ）は次のように表される。

${\displaystyle \left|G\right|=\left|S_{21}\right|\,}$。

これはゲインの大きさ (絶対値)、つまり出力電力波と入力電力波の比率を表し、電力ゲインの平方根に等しくなります。これは実数値 (またはスカラー) の量であり、位相情報は省略されます。

ゲイン (g) のスカラー対数 (デシベルまたは dB) 式は次のとおりです。

${\displaystyle g=20\log _{10}\left|S_{21}\right|\,}$デシベル。

これはスカラー線形ゲインよりも一般的に使用されており、正の量は通常は単に「ゲイン」として理解され、負の量は「負のゲイン」（「損失」）であり、dB での大きさに相当します。たとえば、100 MHz では、10 m の長さのケーブルのゲインは -1 dB で、損失は 1 dB になります。

2つの測定ポートが同じ基準インピーダンスを使用する場合、挿入損失（IL）はデシベルで表された伝送係数| S ₂₁ |の大きさの逆数です。したがって、次のように表されます。^[19]

${\displaystyle IL=10\log _{10}\left|{\frac {1}{S_{21}^{2}}}\right|=-20\log _{10}\left|S_{21}\right|\,}$デシベル。

これは、測定の 2 つの基準面の間にテスト対象デバイス(DUT)を導入することによって生じる追加損失です。追加損失は、DUT の固有損失や不一致が原因である可能性があります。追加損失の場合、挿入損失は正と定義されます。デシベルで表された挿入損失の負の値は挿入ゲインとして定義され、スカラー対数ゲインに等しくなります (上記の定義を参照)。

入力リターンロス（RL _in）は、ネットワークの実際の入力インピーダンスが公称システムインピーダンス値にどれだけ近いかを示す尺度と考えることができます。デシベルで表される入力リターンロスは、次のように表されます 。

${\displaystyle RL_{\mathrm {in} }=10\log _{10}\left|{\frac {1}{S_{11}^{2}}}\right|=-20\log _{10}\left|S_{11}\right|\,}$デシベル。

パッシブ2ポートネットワークにおいて| S11 |≤1の場合、リターンロスは非負の量、_すなわちRLin≥0となること_に注意されたい。また、やや紛らわしいことに、リターンロスは上記で定義した 量の負数として使われることがあるが、この用法は厳密に言えば、損失の定義に基づくと誤りである。^[20]

出力リターンロス（RL _out）は入力リターンロスと似た定義を持ちますが、入力ポートではなく出力ポート（ポート2）に適用されます。

${\displaystyle RL_{\mathrm {out} }=-20\log _{10}\left|S_{22}\right|\,}$デシベル。

逆ゲイン（）のスカラー対数（デシベルまたはdB）式は次のとおりです。 ${\displaystyle g_{\mathrm {rev} }\,}$

${\displaystyle g_{\mathrm {rev} }=20\log _{10}\left|S_{12}\right|\,}$デシベル。

多くの場合、これは逆分離（ ）として表現されます。その場合、 の大きさに等しい正の量となり、式は次のようになります。 ${\displaystyle I_{\mathrm {rev} }\,}$${\displaystyle g_{\mathrm {rev} }\,}$

${\displaystyle I_{\mathrm {rev} }=\left|g_{\mathrm {rev} }\right|=\left|20\log _{10}\left|S_{12}\right|\right|\,}$デシベル。

入力ポート（ ）または出力ポート（ ）における反射係数はそれぞれおよびと等価なので、 ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }\,}$${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }\,}$${\displaystyle S_{11}\,}$${\displaystyle S_{22}\,}$

${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}\,}$そして。${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }=S_{22}\,}$

およびは複素数なので、 およびも同様です。 ${\displaystyle S_{11}\,}$${\displaystyle S_{22}\,}$${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }\,}$${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }\,}$

反射係数は複素量であり、極座標図やスミスチャートでグラフ化することができる。

反射係数の記事も参照してください。

ポートの電圧定在波比 (VSWR) は小文字の「s」で表され、ポートの一致とリターン ロスの同様の測定ですが、定在波の最大電圧と定在波の最小電圧の比であるスカラー線形量です。したがって、これは電圧反射係数の大きさに関連し、したがって入力ポートまたは出力ポートの大きさに関連します。 ${\displaystyle S_{11}\,}$${\displaystyle S_{22}\,}$

入力ポートにおけるVSWR（）は次のように表される。 ${\displaystyle s_{\mathrm {in} }\,}$

${\displaystyle s_{\mathrm {in} }={\frac {1+\left|S_{11}\right|}{1-\left|S_{11}\right|}}\,}$

出力ポートにおけるVSWR（）は次のように表される。 ${\displaystyle s_{\mathrm {out} }\,}$

${\displaystyle s_{\mathrm {out} }={\frac {1+\left|S_{22}\right|}{1-\left|S_{22}\right|}}\,}$

これは、反射係数の大きさが 1 以下である場合に正しい式であり、通常はこれに該当します。トンネル ダイオード アンプなど、反射係数の大きさが 1 より大きい場合は、この式は負の値になります。ただし、VSWR は定義により常に正です。マルチポートのポートkのより正確な式は次のようになります。

${\displaystyle s_{k}={\frac {1+\left|S_{kk}\right|}{|1-\left|S_{kk}\right||}}\,}$

4 ポート S パラメータは、4 ポート ネットワークの特性を表すために使用されます。ネットワークの 4 つのポート間の反射電力波と入射電力波に関する情報が含まれます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}\\S_{21}&S_{22}&S_{23}&S_{24}\\S_{31}&S_{32}&S_{33}&S_{34}\\S_{41}&S_{42}&S_{43}&S_{44}\end{pmatrix}}}$

これらは通常、2 つの別々のシングルエンド信号によって駆動される場合、結合された伝送ラインのペアを分析して、それらの間のクロストークの量、またはそれらを介して駆動される差動信号の反射電力と入射電力を決定するために使用されます。高速差動信号の多くの仕様では、10 ギガビット アタッチメント ユニット インターフェイス (XAUI)、SATA、PCI-X、および InfiniBand システムなど、4 ポート S パラメータに基づいて通信チャネルが定義されています。

4 ポート混合モード S パラメータは、共通モードおよび差動刺激信号に対するネットワークの応答の観点から 4 ポート ネットワークを特徴付けます。次の表は、4 ポート混合モード S パラメータを示しています。

パラメータ表記 SXYab の形式に注意してください。ここで、「S」は散乱パラメータまたは S パラメータ、「X」は応答モード (差動または共通)、「Y」は刺激モード (差動または共通)、「a」は応答 (出力) ポート、b は刺激 (入力) ポートです。これは散乱パラメータの一般的な命名法です。

最初の象限は、テスト対象デバイスの差動刺激および差動応答特性を表す左上の 4 つのパラメータとして定義されます。これは、ほとんどの高速差動相互接続の実際の動作モードであり、最も注目される象限です。これには、入力差動リターン損失 (SDD11)、入力差動挿入損失 (SDD21)、出力差動リターン損失 (SDD22)、および出力差動挿入損失 (SDD12) が含まれます。差動信号処理の利点は次のとおりです。

• 電磁干渉に対する感受性の低減
• 平衡差動回路からの電磁放射の低減
• 偶数次の差動歪み積をコモンモード信号に変換
• シングルエンドに比べて電圧レベルが2倍に増加
• コモンモード電源とグランドノイズを差動信号にエンコードするのを拒否

第 2 象限と第 3 象限は、それぞれ右上と左下の 4 つのパラメータです。これらはクロスモード象限とも呼ばれます。これは、共通から差動への SDCab 変換 (意図された差動信号 SDD 伝送アプリケーションの EMI 感受性) または差動から共通への SCDab 変換 (差動アプリケーションの EMI 放射) のいずれであっても、テスト対象デバイスで発生するモード変換を完全に特徴付けるためです。ギガビット データ スループットの相互接続の設計を最適化する場合、モード変換を理解することは非常に役立ちます。

第 4 象限は右下の 4 つのパラメータで、テスト対象デバイスを伝搬するコモンモード信号 SCCab のパフォーマンス特性を表します。適切に設計された SDDab 差動デバイスの場合、コモンモード出力 SCCab は最小限に抑えられます。ただし、第 4 象限のコモンモード応答データは、コモンモード伝送応答の尺度であり、差動伝送応答との比率でネットワーク コモンモード除去を決定するために使用されます。このコモンモード除去は、差動信号処理の重要な利点であり、一部の差動回路実装では 1 つに減らすことができます。^{[21] [22]}

逆アイソレーションパラメータは、アンプの出力から入力へのフィードバックのレベルを決定し、したがって順方向ゲインとともにアンプの安定性（発振を控える傾向）に影響を与えます。入力ポートと出力ポートが互いに完全に分離されたアンプは、無限のスカラー対数振幅のアイソレーションを持つか、 の線形振幅がゼロになります。このようなアンプは、ユニラテラルと呼ばれます。ただし、ほとんどの実用的なアンプは、ある程度の有限のアイソレーションを持ち、入力で「見られる」反射係数が、出力に接続された負荷によってある程度影響を受けるようにします。 の値が可能な限り小さくなるように意図的に設計されたアンプは、多くの場合、バッファアンプと呼ばれます。 ${\displaystyle S_{12}\,}$${\displaystyle S_{21}\,}$${\displaystyle S_{12}\,}$${\displaystyle \left|S_{12}\right|\,}$

実際の（片側または両側ではない）増幅器の出力ポートが反射係数を持つ任意の負荷に接続されていると仮定します。入力ポートで「見られる」実際の反射係数は^[23]で与えられます。${\displaystyle \Gamma _{L}\,}$${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }\,}$

${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{L}}{1-S_{22}\Gamma _{L}}}\,}$。

アンプが片側のみの場合、言い換えれば、出力負荷は入力に影響を与えません。 ${\displaystyle S_{12}=0\,}$${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}\,}$

同様の特性が反対方向にも存在します。この場合、 は出力ポートで見られる反射係数であり、 は入力ポートに接続されたソースの反射係数です。 ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }\,}$${\displaystyle \Gamma _{s}\,}$

${\displaystyle \Gamma _{out}=S_{22}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{s}}{1-S_{11}\Gamma _{s}}}\,}$

アンプが無条件に安定しているのは、どんな反射係数の負荷またはソースでも不安定性を引き起こさずに接続できる場合です。この条件は、ソース、負荷、アンプの入力ポートおよび出力ポートでの反射係数の大きさが同時に 1 未満である場合に発生します。見落とされがちな重要な要件は、アンプが右半平面に極のない線形ネットワークであることです。^[24]不安定性は、アンプのゲイン周波数応答に深刻な歪みを引き起こしたり、極端な場合には発振を引き起こしたりする可能性があります。対象周波数で無条件に安定するには、アンプは次の 4 つの式を同時に満たす必要があります。^[25]

${\displaystyle \left|\Gamma _{s}\right|<1\,}$

${\displaystyle \left|\Gamma _{L}\right|<1\,}$

${\displaystyle \left|\Gamma _{\mathrm {in} }\right|<1\,}$

${\displaystyle \left|\Gamma _{\mathrm {out} }\right|<1\,}$

これらの各値が 1 に等しい場合の境界条件は、極座標図に描かれた円で表すことができます。この円は (複素) 反射係数を表し、1 つは入力ポート用、もう 1 つは出力ポート用です。多くの場合、これらはスミス チャートとしてスケーリングされます。いずれの場合も、円の中心の座標と関連する半径は、次の式で与えられます。

半径${\displaystyle r_{L}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}\right|.}$

中心${\displaystyle c_{L}={\frac {(S_{22}-\Delta S_{11}^{*})^{*}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}.}$

半径${\displaystyle r_{s}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{|S_{11}|^{2}-|\Delta |^{2}}}\right|.}$

中心${\displaystyle c_{s}={\frac {(S_{11}-\Delta S_{22}^{*})^{*}}{|S_{11}|^{2}-|\Delta |^{2}}}.}$

どちらの場合も

${\displaystyle \Delta =S_{11}S_{22}-S_{12}S_{21},}$

上付きの星印(*)は複素共役を表します。

円は反射係数の複素単位であるため、システムインピーダンスに正規化されたインピーダンスまたはアドミタンスベースのスミスチャートに描くことができます。これにより、予測される無条件安定性の正規化されたインピーダンス（またはアドミタンス）の領域を簡単に示すことができます。無条件安定性を示すもう1つの方法は、次のように定義されるロレット安定係数（ ） を使用することです。${\displaystyle K}$

${\displaystyle K={\frac {1-|S_{11}|^{2}-|S_{22}|^{2}+|\Delta |^{2}}{2|S_{12}S_{21}|}}.}$

無条件の安定の条件は、${\displaystyle K>1}$${\displaystyle |\Delta |<1.}$

2 ポート ネットワークの散乱伝達パラメータまたは T パラメータは、T パラメータ マトリックスによって表され、対応する S パラメータ マトリックスと密接に関連しています。ただし、S パラメータとは異なり、システム内の T パラメータ (Youla 波と呼ばれることもあります) を測定するための単純な物理的手段はありません。T パラメータ マトリックスは、各ポートでの入射波と反射波の正規化波と次のように関連しています。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}\,}$

ただし、次のように異なる定義も可能です。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{2}\\a_{2}\end{pmatrix}}\,}$

MATLAB の RF Toolbox アドオン^[26]やいくつかの書籍 (たとえば「ネットワーク散乱パラメータ」^[27] ) では、この最後の定義が使用されているため、注意が必要です。この記事の「S から T へ」および「T から S へ」の段落は、最初の定義に基づいています。2 番目の定義への適応は簡単です (T 11を T 22に、T 12 をT 21に置き換えます)。S パラメータと比較した T パラメータの利点は、基準インピーダンスが純粋に実数または複素共役である場合、関連する個々の T パラメータ行列を単純に乗算することで、2 つ以上の 2 ポート ネットワークをカスケード接続した場合の効果を簡単に判断できることです。たとえば、3 つの異なる 2 ポート ネットワーク 1、2、3 の T パラメータがそれぞれ、およびである場合、3つのネットワークすべて ( ) を直列にカスケード接続した場合の T パラメータ行列は、次のように表されます。 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}\,}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}\,}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}\,}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}\,}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}\,}$

行列の乗算は可換ではないため、順序が重要であることに注意してください。Sパラメータと同様に、Tパラメータは複素数値であり、2つのタイプ間で直接変換できます。カスケードTパラメータは個々のTパラメータの単純な行列乗算ですが、各ネットワークのSパラメータを対応するTパラメータに変換し、カスケードTパラメータを同等のカスケードSパラメータに戻す変換は、通常必要であり、簡単ではありません。ただし、操作が完了すると、両方向のすべてのポート間の複雑な全波相互作用が考慮されます。次の式は、2ポートネットワークのSパラメータとTパラメータ間の変換を提供します。^[28]

SからTへ:

${\displaystyle T_{11}={\frac {-\det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}}{S_{21}}}\,}$

${\displaystyle T_{12}={\frac {S_{11}}{S_{21}}}\,}$

${\displaystyle T_{21}={\frac {-S_{22}}{S_{21}}}\,}$

${\displaystyle T_{22}={\frac {1}{S_{21}}}\,}$

ここで、は行列の行列式を示します。 ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}\,}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}\ =S_{11}\cdot S_{22}-S_{12}\cdot S_{21}}$。

TからSへ

${\displaystyle S_{11}={\frac {T_{12}}{T_{22}}}\,}$

${\displaystyle S_{12}={\frac {\det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}}{T_{22}}}\,}$

${\displaystyle S_{21}={\frac {1}{T_{22}}}\,}$

${\displaystyle S_{22}={\frac {-T_{21}}{T_{22}}}\,}$

ここで、 は行列の行列式を示します。 ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}\,}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}\,}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}\ =T_{11}.T_{22}-T_{12}.T_{21},}$

1 ポート ネットワークの S パラメータは、次の形式の単純な 1 × 1 行列で表されます。ここで、n は割り当てられたポート番号です。S パラメータの線形性の定義に従うには、通常、何らかのタイプの受動負荷が必要になります。アンテナは一般的な 1 ポート ネットワークであり、の値が小さいと、アンテナが電力を放射するか、消散/蓄積するかを示します。 ${\displaystyle (s_{nn})\,}$${\displaystyle s_{11}}$

異なるポートのペア ( )の高次 S パラメータは、 2 ポート ネットワークの場合と同様に、ポートのペアを順に検討することで推定できます。各ケースで、残りの (未使用の) ポートすべてがシステム インピーダンスと同じインピーダンスでロードされていることを確認します。このようにして、未使用のポートの入射電力波はゼロになり、2 ポートの場合に得られる式と同様の式が得られます。単一ポートのみに関連する S パラメータ ( ) では、残りのすべてのポートがシステム インピーダンスと同じインピーダンスでロードされる必要があるため、検討中のポートを除くすべての入射電力波がゼロになります。したがって、一般に次の式が得られます。 ${\displaystyle S_{mn}\,}$${\displaystyle m\neq \;n\,}$${\displaystyle S_{mm}\,}$

${\displaystyle S_{mn}={\frac {b_{m}}{a_{n}}}\,}$

そして

${\displaystyle S_{mm}={\frac {b_{m}}{a_{m}}}\,}$

例えば、2ウェイスプリッタなどの3ポートネットワークでは、Sパラメータの定義は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}\\S_{21}&S_{22}&S_{23}\\S_{31}&S_{32}&S_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\,}$

と

${\displaystyle S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,}$ ;  ;${\displaystyle S_{12}={\frac {b_{1}}{a_{2}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$${\displaystyle S_{13}={\frac {b_{1}}{a_{3}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{3}^{+}}}\,}$

${\displaystyle S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,}$ ;  ;${\displaystyle S_{22}={\frac {b_{2}}{a_{2}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$${\displaystyle S_{23}={\frac {b_{2}}{a_{3}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{3}^{+}}}\,}$

${\displaystyle S_{31}={\frac {b_{3}}{a_{1}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,}$ ;  ;${\displaystyle S_{32}={\frac {b_{3}}{a_{2}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$${\displaystyle S_{33}={\frac {b_{3}}{a_{3}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{3}^{+}}}\,}$

ここで、はポート n の入射波によって誘導されるポート m の出力波を指します。 ${\displaystyle S_{mn}}$

S パラメータは、ベクトル ネットワーク アナライザ(VNA) を使用して測定されるのが最も一般的です。

S パラメータ テスト データは、リスト、グラフィカル (スミス チャートまたは極座標図) など、さまざまな形式で提供できます。

リスト形式では、測定および補正された S パラメータが周波数に対して表形式で表示されます。最も一般的なリスト形式は Touchstone または S n P と呼ばれ、n はポートの数です。通常、この情報を含むテキスト ファイルのファイル名拡張子は '.s2p' になります。^{[説明が必要]}

2 ポート S パラメータはいずれも極座標を使用してスミス チャートに表示できますが、最も意味があるのは と です。これは、どちらもシステム インピーダンスに適した特性スミス チャートのインピーダンス (またはアドミタンス) スケーリングを使用して、同等の正規化インピーダンス (またはアドミタンス) に直接変換できるためです 。${\displaystyle S_{11}\,}$${\displaystyle S_{22}\,}$

任意の 2 ポート S パラメータは、極座標を使用して極図に表示できます。

どちらのグラフ形式でも、特定のテスト周波数における各 S パラメータはドットとして表示されます。測定が複数の周波数にわたるスイープである場合は、各周波数にドットが表示されます。

1 つのポートのみを持つネットワークの S パラメータ マトリックスには、形式 で表される 1 つの要素のみが含まれます。ここで、n はポートに割り当てられた番号です。ほとんどの VNA は、必要なのが 1 つのポート測定だけである場合に時間を節約するために、1 つのポート測定用のシンプルな 1 ポート キャリブレーション機能を備えています。 ${\displaystyle S_{nn}\,}$

2 つ以上のポートを持つネットワークの S パラメータを同時に測定するように設計された VNA は実現可能ですが、すぐに法外なほど複雑で高価になります。必要な測定値は、標準の 2 ポート校正済み VNA を使用して追加の測定を行い、得られた結果を正しく解釈することで取得できるため、通常、その購入は正当化されません。必要な S パラメータ マトリックスは、未使用のポートをシステム インピーダンスに等しい高品質の負荷で終端し、一度に 2 つのポートを段階的に連続して測定することで作成できます。この方法のリスクの 1 つは、負荷自体のリターン ロスまたは VSWR を、完全な 50 オーム、または公称システム インピーダンスに可能な限り近くなるように適切に指定する必要があることです。ポート数の多いネットワークの場合、コストを理由に、負荷の VSWR を不適切に指定する誘惑にかられる可能性があります。負荷の許容可能な最悪の VSWR を決定するには、何らかの分析が必要になります。

追加負荷が適切に指定されていると仮定すると、必要に応じて、2 つ以上の S パラメータの添え字が、VNA に関連するもの (上記のケースでは 1 と 2) からテスト対象ネットワークに関連するもの (N が DUT ポートの合計数である場合、1 ～ N) に変更されます。たとえば、DUT に 5 つのポートがあり、2 ポート VNA が VNA ポート 1 から DUT ポート 3 に、VNA ポート 2 から DUT ポート 5 に接続されている場合、DUT ポート 1、2、4 が適切な 50 オームの負荷 で終端されていると仮定すると、測定された VNA 結果 ( 、、)はそれぞれ、、に相当します。これにより、必要な 25 個の S パラメータのうち 4 個が提供されます。 ${\displaystyle S_{11}\,}$${\displaystyle S_{12}\,}$${\displaystyle S_{21}\,}$${\displaystyle S_{22}\,}$${\displaystyle S_{33}\,}$${\displaystyle S_{35}\,}$${\displaystyle S_{53}\,}$${\displaystyle S_{55}\,}$

• アドミタンスパラメータ
• インピーダンスパラメータ
• 2ポートネットワーク
• Xパラメータ、Sパラメータの非線形スーパーセット
• ベレヴィッチの定理

• Guillermo Gonzalez、「マイクロ波トランジスタアンプ、分析と設計、第 2 版」、Prentice Hall、ニュージャージー、ISBN 0-13-581646-7 
• David M. Pozar、「マイクロ波工学」、第 3 版、John Wiley & Sons Inc.、ISBN 0-471-17096-8 
• William Eisenstadt、Bob Stengel、Bruce Thompson、「Microwave Differential Circuit Design using Mixed-Mode S-Parameters」、Artech House、ISBN 1-58053-933-5、ISBN 978-1-58053-933-3  
• 「Sパラメータ設計」、アプリケーションノート AN 154、Keysight Technologies
• 「より高速でより正確なネットワーク設計のための S パラメータ テクニック」、アプリケーション ノート AN 95-1、Keysight Technologies、PDF スライドと QuickTime ビデオ、または Richard W. Anderson のオリジナル記事のスキャン
• AJ Baden Fuller、「マイクロ波理論と技術入門、第 2 版」、Pergammon International Library、ISBN 0-08-024227-8 
• ラモ、ウィナリー、ヴァン・デューザー、「通信エレクトロニクスにおけるフィールドと波」、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 0-471-70721-X 
• CW Davidson、「CAD プログラムとの通信のための伝送線路」、第 2 版、Macmillan Education Ltd.、ISBN 0-333-47398-1