インピーダンスパラメータ

インピーダンスパラメータまたはZパラメータ（インピーダンス行列またはZ行列の要素）は、電気工学、電子工学、通信システム工学で線形 電気ネットワークの電気的動作を記述するために使用される特性です。また、非線形ネットワークの小信号（線形化）応答を記述するためにも使用されます。これらは、電子工学で使用される同様のパラメータのファミリーのメンバーであり、他の例としては、Sパラメータ、^[1]、 Yパラメータ、^[2]、 Hパラメータ、Tパラメータ、またはABCDパラメータがあります。^{[3] [4]}

Z パラメータは、開回路条件下で計算されるため、開回路インピーダンス パラメータとも呼ばれます。つまり、I _x =0 で、x=1,2 はそれぞれポート (この場合は2 ポート ネットワーク) を流れる入力電流と出力電流を表します。

Z パラメータ マトリックスは、多数のポートを備えたブラック ボックスと見なすことができる線形電気ネットワークの動作を記述します。この場合のポートは、ネットワークに出入りする等しく反対の電流を運ぶ一対の電気端子であり、その間に特定の電圧があります。Z マトリックスは、任意のポートの電流がこのようにバランスしていない場合 (これが可能である場合) のネットワークの動作に関する情報を提供しません。また、同じポートに属さない端子間の電圧に関する情報も提供しません。通常、ネットワークへの各外部接続は 1 つのポートの端子間のみであることが意図されているため、これらの制限は適切です。

一般的なマルチポート ネットワーク定義では、各ポートに1 からNまでの整数nが割り当てられていると想定されます( Nはポートの総数)。ポートnの場合、関連する Z パラメータ定義は、それぞれポート電流とポート電圧で表されます。 ${\displaystyle I_{n}\,}$${\displaystyle V_{n}\,}$

すべてのポートについて、電圧は Z パラメータ マトリックスで定義され、電流は次のマトリックス方程式で定義されます。

${\displaystyle V=ZI\,}$

ここで、Z はN × N行列であり、その要素は従来の行列表記法を使用してインデックス付けできます。一般に、Z パラメータ行列の要素は複素数と周波数の関数です。1 ポート ネットワークの場合、Z 行列は 1 つの要素に縮小され、2 つの端子間で測定された通常のインピーダンスになります。Z パラメータは、1 つのポートに電流を流し、駆動されていないポートをオープン サーキットに終端してすべてのポートで生じる電圧を決定することによって測定または計算されるため、オープン サーキット パラメータとも呼ばれます。

2 ポート ネットワークの Z パラメータ マトリックスは、おそらく最も一般的です。この場合、ポート電流、ポート電圧、および Z パラメータ マトリックスの関係は次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}}$。

どこ

${\displaystyle Z_{11}={V_{1} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{12}={V_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}}$

${\displaystyle Z_{21}={V_{2} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{22}={V_{2} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}}$

Nポートネットワークの一般的なケースでは、

${\displaystyle Z_{nm}={V_{n} \over I_{m}}{\bigg |}_{I_{k}=0{\text{ for }}k\neq m}}$

2 ポート ネットワークの入力インピーダンスは次のように表されます。

${\displaystyle Z_{\text{in}}=Z_{11}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{22}+Z_{L}}}}$

ここで、Z _{L は}ポート 2 に接続された負荷のインピーダンスです。

同様に、出力インピーダンスは次のように表されます。

${\displaystyle Z_{\text{out}}=Z_{22}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{11}+Z_{S}}}}$

ここで、Z _{S は}ポート 1 に接続されたソースのインピーダンスです。

ネットワークのZパラメータはSパラメータと次のように関係している^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}Z&={\sqrt {z}}(1_{\!N}+S)(1_{\!N}-S)^{-1}{\sqrt {z}}\\&={\sqrt {z}}(1_{\!N}-S)^{-1}(1_{\!N}+S){\sqrt {z}}\\\end{aligned}}}$ 

そして^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})({\sqrt {y}}Z{\sqrt { y}}\,+1_{\!N})^{-1}\\&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,+1_{\!N})^{-1}({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})\\\end{整列しました}}}$ 

ここで、は単位行列であり、は各ポートの特性インピーダンスの平方根を非ゼロ要素として 持つ対角行列である。${\displaystyle 1_{\!N}}$${\displaystyle {\sqrt {z}}}$

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {z_{01}}}&\\&{\sqrt {z_{02}}}\\&&\ddots \\&&&{ \sqrt {z_{0N}}}\end{pmatrix}}}$

は特性アドミタンスの平方根の対応する対角行列である。これらの表現では、括弧内の因子によって表される行列は交換可能であり、したがって、上記のように、どちらの順序で記述してもよい。^{[5] [注 1]}${\displaystyle {\sqrt {y}}=({\sqrt {z}})^{-1}}$

各ポートの特性インピーダンスが同じである2ポートネットワークの特殊なケースでは、上記の式は次のように簡略化されます。 ${\displaystyle z_{01}=z_{02}=Z_{0}}$

${\displaystyle Z_{11}={((1+S_{11})(1-S_{22})+S_{12}S_{21}) \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

${\displaystyle Z_{12}={2S_{12} \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

${\displaystyle Z_{21}={2S_{21} \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

${\displaystyle Z_{22}={((1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21}) \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

どこ

${\displaystyle \Delta _{S}=(1-S_{11})(1-S_{22})-S_{12}S_{21}\,}$

2ポートSパラメータは、等価な2ポートZパラメータから次の式で得られる^[6]。

${\displaystyle S_{11}={(Z_{11}-Z_{0})(Z_{22}+Z_{0})-Z_{12}Z_{21} \over \Delta }}$

${\displaystyle S_{12}={2Z_{0}Z_{12} \over \Delta }\,}$

${\displaystyle S_{21}={2Z_{0}Z_{21} \over \Delta }\,}$

${\displaystyle S_{22}={(Z_{11}+Z_{0})(Z_{22}-Z_{0})-Z_{12}Z_{21} \over \Delta }}$

どこ

${\displaystyle \Delta =(Z_{11}+Z_{0})(Z_{22}+Z_{0})-Z_{12}Z_{21}\,}$

上記の式では、一般におよび に複素数を使用します。 の値はの特定の値に対して 0 になる可能性があるため、の計算でで割ると0 で割る結果になる可能性があることに注意してください。 ${\displaystyle S_{ij}\,}$${\displaystyle Z_{ij}\,}$${\displaystyle \Delta \,}$${\displaystyle Z_{ij}\,}$${\displaystyle \Delta \,}$${\displaystyle S_{ij}\,}$

Y パラメータから Z パラメータへの変換は、Z パラメータ マトリックスがY パラメータ マトリックスの逆行列にすぎないため、はるかに簡単です。2 ポートの場合:

${\displaystyle Z_{11}={Y_{22} \over \Delta _{Y}}\,}$

${\displaystyle Z_{12}={-Y_{12} \over \Delta _{Y}}\,}$

${\displaystyle Z_{21}={-Y_{21} \over \Delta _{Y}}\,}$

${\displaystyle Z_{22}={Y_{11} \over \Delta _{Y}}\,}$

どこ

${\displaystyle \Delta _{Y}=Y_{11}Y_{22}-Y_{12}Y_{21}\,}$

Yパラメータ行列の 行列式です。

• David M. Pozar (2004-02-05).マイクロ波エンジニアリング. Wiley. ISBN 978-0-471-44878-5。
• Simon Ramo、John R. Whinnery、Theodore Van Duzer (1994-02-09)。通信エレクトロニクスにおける場と波。Wiley。ISBN 978-0-471-58551-0。

• 散乱パラメータ
• アドミタンスパラメータ
• 2ポートネットワーク