集中要素モデル

集中定数モデル（集中定数モデル、集中成分モデルとも呼ばれる）は、すべてのコンポーネントが一点に集中しており、その動作は理想的な数学モデルで記述できると仮定した物理システムまたは回路の簡略化された表現である。集中定数モデルは、システムまたは回路の動作記述をトポロジーに簡略化する。これは、電気システム（電子機器を含む）、機械多体系、熱伝達、音響などで有用である。これは、動作が空間的に分散しており、個別のエンティティに局所化されているとは考えられない 分散定数システムまたはモデルとは対照的である。

簡略化により、システムの状態空間が有限 次元に縮小され、物理システムの連続（無限次元）時間と空間モデルの偏微分方程式（PDE）が有限個のパラメータを持つ常微分方程式（ODE）に縮小されます。

集中定数分野は、電気工学において課せられた一連の仮定であり、ネットワーク解析で使用される集中定数回路の抽象化の基礎を提供します。^[1]自己課せられた制約は次のとおりです。

1. 導体の外側の磁束の時間変化はゼロです。$${\displaystyle {\frac {\partial \Phi _{B}}{\partial t}}=0}$$
2. 導電要素内の電荷の時間変化はゼロです。$${\displaystyle {\frac {\partial q}{\partial t}}=0}$$
3. 対象となる信号の時間スケールは、集中要素を介した電磁波の伝播遅延よりもはるかに大きくなります。

最初の 2 つの仮定は、マクスウェル方程式に適用するとキルヒホッフの回路法則となり、回路が定常状態にある場合にのみ適用できます。3 番目の仮定は、ネットワーク解析で使用される集中要素モデルの基礎となります。それほど厳密でない仮定は、分散要素モデルとなりますが、それでも完全なマクスウェル方程式を直接適用する必要はありません。

電子回路の集中素子モデルは、回路の属性である抵抗、静電容量、インダクタンス、ゲインが、抵抗器、コンデンサ、インダクタなどの理想的な電気部品に集中し、完全に導電性のある配線のネットワークで結合されているという単純化された仮定に基づいています。

集中定数モデルは、 の場合に有効です。ここで、 は回路の特性長さ、 は回路の動作波長を表します。そうでない場合、回路の長さが波長のオーダーであるときは、動的動作がマクスウェル方程式で記述される分布定数モデル(伝送線路を含む) などのより一般的なモデルを考慮する必要があります。集中定数モデルの有効性を見る別の方法は、このモデルでは信号が回路を伝搬するのにかかる有限の時間を無視していることに注目することです。この伝搬時間がアプリケーションにとって重要でない場合は、集中定数モデルを使用できます。これは、伝搬時間が関連する信号の周期よりもはるかに短い場合です。ただし、伝搬時間が長くなると、信号の想定位相と実際の位相の間の誤差が増加し、その結果、信号の想定振幅に誤差が生じます。集中定数モデルが使用できなくなる正確なポイントは、特定のアプリケーションで信号をどの程度正確に知る必要があるかによってある程度異なります。 ${\displaystyle L_{c}\ll \lambda }$${\displaystyle L_{c}}$${\displaystyle \lambda}$

現実世界のコンポーネントは、実際には分散要素である非理想的な特性を示しますが、集中要素によって一次近似で表現されることがよくあります。たとえば、コンデンサの漏れを考慮する場合、漏れが実際には誘電体全体に分散しているにもかかわらず、非理想的なコンデンサを並列に接続された大きな集中抵抗器としてモデル化できます。同様に、巻き線抵抗器には、長さに沿って分散された抵抗だけでなく大きなインダクタンスがありますが、これを理想的な抵抗器と直列に 接続された集中インダクタとしてモデル化できます。

集中容量モデルは集中系解析とも呼ばれ、^[2]熱システムをいくつかの離散的な「塊」に縮小し、各塊内の温度差は無視できると仮定します。この近似は、複雑な微分熱方程式を簡素化するのに役立ちます。これは電気容量の数学的類似物として開発されましたが、電気抵抗の熱的類似物も含まれています。

集中容量モデルは、過渡伝導における一般的な近似であり、物体内の熱伝導が物体の境界を越えた熱伝達よりもはるかに速い場合に使用できます。この近似方法は、過渡伝導システムの 1 つの側面 (物体内の空間温度変化) を、より数学的に扱いやすい形式に適切に縮小します (つまり、物体内の温度は空間的に完全に均一であると想定されますが、この空間的に均一な温度値は時間の経過とともに変化します)。物体またはシステムの一部内で上昇する均一な温度は、時間の経過とともに安定した熱状態に達するまで (その後は温度が変化しません)、熱を吸収する容量性リザーバーのように扱うことができます。

このような物理的な単純化により数学的に単純な動作を示す集中容量システムの初期の発見例として、ニュートンの冷却の法則に従うシステムがあります。この法則は、単に、熱い（または冷たい）物体の温度が、その環境の温度に向かって単純な指数関数的に上昇することを述べています。物体がこの法則に厳密に従うのは、物体内部の熱伝導率が、物体に出入りする熱の流入または流出よりもはるかに大きい場合のみです。このような場合、任意の時点で単一の「物体温度」について話すことは理にかなっています（物体内部に空間的な温度変化がないため）。また、物体内部の温度が均一であるため、物体の熱エネルギーの過剰または不足は、その表面温度に比例して変化するため、ニュートンの冷却の法則の要件である、温度低下率が物体と環境の差に比例するという要件が成立します。これにより、単純な指数関数的な加熱または冷却動作が実現します（詳細は下記）。

塊の数を決定するには、システムの無次元パラメータであるビオ数(Bi) が使用されます。Bi は、物体内の伝導熱抵抗と、物体の境界と異なる温度の均一な浴を横切る対流熱伝達抵抗の比として定義されます。物体に伝達される熱に対する熱抵抗が、物体内で完全に拡散される熱に対する抵抗よりも大きい場合、ビオ数は 1 未満になります。この場合、特にビオ数がさらに小さい場合は、物体内に伝達された熱が均一に分散する時間があると推定できるため、物体内の空間的に均一な温度の近似値を使用できます。これは、物体に入る熱に対する抵抗と比較して、そうすることに対する抵抗が低いためです。

固体のビオ数が 0.1 未満の場合、物質全体の温度はほぼ同じになり、温度差は表面で顕著になります。これは「熱的に薄い」とみなすことができます。ビオ数は、一般的に、有用な精度の近似値と熱伝達解析のためには 0.1 未満である必要があります。集中系近似に対する数学的解は、ニュートンの冷却の法則となります。

ビオ数が 0.1 より大きい場合 (「熱的に厚い」物質)、この仮定は実行できないことを示し、物質体内の時間的に変化する非空間的に均一な温度場を記述するには、「過渡熱伝導」に関するより複雑な 熱伝達方程式が必要になります。

単一静電容量アプローチは、各塊の Bi < 0.1 である多くの抵抗要素と容量要素を含むように拡張できます。ビオ数はシステムの特性長さに基づいて計算されるため、多くの場合、システムは十分な数のセクションまたは塊に分割され、ビオ数が許容できるほど小さくなります。

熱システムの特徴的な長さは次のとおりです。

• プレート：厚さ
• フィン：厚さ/2
• ロングシリンダー：直径/4
• 球：直径/6

任意の形状の場合、特性長さを体積 / 表面積として考えると便利な場合があります。

定常熱伝導の条件に達した後、熱伝達アプリケーションで使用される便利な概念は、熱回路として知られるものによる熱伝達の表現です。熱回路は、回路の各要素における熱の流れに対する抵抗を、あたかも電気抵抗器のように表現したものです。伝達される熱は電流に類似しており、熱抵抗は電気抵抗器に類似しています。次に、異なる熱伝達モードの熱抵抗の値が、開発された方程式の分母として計算されます。異なる熱伝達モードの熱抵抗は、複合的な熱伝達モードの解析に使用されます。次の純粋に抵抗的な例に「容量性」要素がないため、回路のどの部分もエネルギーを吸収したり、温度分布が変化したりすることはありません。これは、定常熱伝導 (または放射の場合の伝達) の状態がすでに確立されていることを要求することと同じです。

前述したように、定常状態における 3 つの熱伝達モードとそれらの熱抵抗を表す式は、次の表にまとめられています。

異なる媒体を介して熱が伝達される場合（たとえば、複合材料を介して）、等価抵抗は複合材料を構成するコンポーネントの抵抗の合計です。同様に、異なる熱伝達モードがある場合、合計抵抗は異なるモードの抵抗の合計です。熱回路の概念を使用すると、任意の媒体を介して伝達される熱量は、温度変化と媒体の合計熱抵抗の商です。

例として、断面積 の複合壁を考えてみましょう。この複合壁は、熱係数 の長いセメント石膏と、熱係数 の長い紙張りのグラスファイバーでできています。壁の左側の表面は で、対流係数 の空気にさらされています。壁の右側の表面は で、対流係数 の空気にさらされています。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle k_{2}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle h_{i}}$${\displaystyle T_{o}}$${\displaystyle h_{o}}$

熱抵抗の概念を用いると、複合材を通る熱の流れは次のようになります。 ここ で、、、、および$${\displaystyle {\dot {Q}}={\frac {T_{i}-T_{o}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}+R_{o}}}={\frac {T_{i}-T_{1}}{R_{i}}}={\frac {T_{i}-T_{2}}{R_{i}+R_{1}}}={\frac {T_{i}-T_{3}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{R_{1}}}={\frac {T_{3}-T_{o}}{R_{0}}}}$$${\displaystyle R_{i}={\frac {1}{h_{i}A}}}$${\displaystyle R_{o}={\frac {1}{h_{o}A}}}$${\displaystyle R_{1}={\frac {L_{1}}{k_{1}A}}}$${\displaystyle R_{2}={\frac {L_{2}}{k_{2}A}}}$

ニュートンの冷却の法則は、イギリスの物理学者アイザック・ニュートン卿(1642-1727)が提唱した経験的関係です。この法則を数学的でない形で表現すると次のようになります。

物体の熱損失率は、物体とその周囲の温度差に比例します。

または、記号を使用して: $${\displaystyle {\text{Rate of cooling}}\sim \Delta T}$$

周囲と異なる温度にある物体は、最終的には周囲と同じ温度になります。比較的熱い物体は周囲を温めると冷え、冷たい物体は周囲によって温められます。物体がどれだけ早く（またはゆっくり）冷えるかを考える場合、冷却速度、つまり単位時間あたりに温度が何度変化するかを考えます。

物体の冷却速度は、物体が周囲よりどれだけ熱いかによって決まります。熱いアップルパイの 1 分あたりの温度変化は、台所のテーブルに置いたときよりも、冷たい冷凍庫に入れたときの方が大きくなります。冷凍庫でパイが冷えると、パイとその周囲の温度差が大きくなります。寒い日、暖かい家でも、室内と屋外の温度差が大きいと、外部への熱の漏出率が高くなります。したがって、寒い日に家の内部を高温に保つことは、低温に保つことよりもコストがかかります。温度差を小さく保つと、冷却速度もそれに応じて低くなります。

ニュートンの冷却の法則によれば、物体の冷却速度は、伝導、対流、放射のいずれによるものであっても、温度差 Δ Tにほぼ比例します。冷凍食品は、冷たい部屋よりも暖かい部屋の方が早く温まります。寒い日に感じる冷却速度は、風の対流効果によって増加することに注意してください。これは風冷えと呼ばれます。たとえば、風冷えが -20 °C の場合、風がない場合の温度が -20 °C の場合と同じ速度で熱が失われていることを意味します。

この法則は、物体の熱容量と伝導率が大きく、熱伝導率が比較的低い均一な浴槽に突然浸される多くの状況について説明しています。これは、抵抗要素と容量要素が 1 つずつある熱回路の例です。この法則が正しいためには、物体内部のすべての点の温度が、その表面の温度を含め、各時点でほぼ同じでなければなりません。したがって、物体と周囲の温度差は、物体のすべての部分が実質的に同じ温度であるため、物体のどの部分を選択するかには依存しません。これらの状況では、物体の素材は、物体の他の部分を熱の流れから「絶縁」する働きをせず、状況における熱の流れの速度を制御する重要な絶縁 (または「熱抵抗」) はすべて、物体とその周囲の接触領域にあります。この境界を越えると、温度値は不連続に急上昇します。

このような状況では、物体の内部に対して境界が比較的伝導性が低い限り、対流、伝導、または拡散によって、断熱境界を越えて物体の外部から内部に熱を伝達することができます。境界を越えて熱を伝達するプロセスが、物体内部（または上記の「塊」である対象領域内部）の伝導による熱伝達に比べて「遅い」限り、物理的な絶縁体の存在は必要ありません。

このような状況では、物体は「容量性」回路要素として機能し、境界での熱接触の抵抗は (単一の) 熱抵抗器として機能します。電気回路では、このような組み合わせは、時間の単純な指数法則に従って、入力電圧に向かって充電または放電します。熱回路では、この構成により、温度に関して同じ動作、つまり物体の温度が浴槽の温度に指数的に近づきます。

ニュートンの法則は、数学的には単純な一階微分方程式で表されます。 ここで $${\displaystyle {\frac {dQ}{dt}}=-h\cdot A(T(t)-T_{\text{env}})=-h\cdot A\Delta T(t)}$$

• Qはジュール単位の熱エネルギーです
• hは表面と流体間の熱伝達係数である。
• Aは伝わる熱の表面積である
• Tは物体の表面と内部の温度です（この近似ではこれらは同じであるため）
• T _envは環境の温度です
• Δ T ( t ) = T ( t ) − T _{env は}環境と物体間の時間依存の温度勾配である。

熱伝達をこの形式に当てはめることは、システム内の熱伝導率の比率によっては、あまり良い近似値にならない場合があります。差が大きくない場合、システム内の熱伝達を正確に定式化するには、不均質な媒体または伝導率の低い媒体における (過渡的) 熱伝達方程式に基づく熱流の解析が必要になる場合があります。

物体全体を集中容量の熱貯蔵庫として扱い、総熱量が単純総熱容量 に比例し、物体の温度となる場合、システムでは物体の温度が時間の経過とともに 指数関数的に減少することが予想されます。${\displaystyle C}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Q=CT}$

熱容量の定義から、関係式 が導かれます。この式を時間で微分すると、恒等式 が得られます (物体内の温度が任意の時点で均一である限り有効です)。 この表現は、このセクションの冒頭にある最初の式でを置き換えるために使用できます。次に、 が時間 におけるそのような物体の温度、 が物体の周囲の環境の温度である場合、 はシステム特有の正の定数で、単位は でなければなりません。したがって、次のように表される特有の時定数で表されることがあります。したがって、熱システムでは、です。(システムの総熱容量は、さらにその質量- 比熱容量にその質量を乗じて表すことができるため、時定数も で表されます)。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle C=dQ/dT}$${\displaystyle dQ/dt=C(dT/dt)}$${\displaystyle dQ/dt}$${\displaystyle T(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle T_{\text{env}}}$$${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}=-r(T(t)-T_{\text{env}})=-r\Delta T(t)}$$${\displaystyle r=hA/C}$${\displaystyle s^{-1}}$ ${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{0}=1/r=-\Delta T(t)/(dT(t)/dt)}$${\displaystyle t_{0}=C/hA}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c_{p}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle mc_{p}/hA}$

この微分方程式を標準的な積分法と境界条件の置換法で解くと次のようになります。 $${\displaystyle T(t)=T_{\mathrm {env} }+(T(0)-T_{\mathrm {env} })\ e^{-rt}.}$$

もし：

${\displaystyle \Delta T(t)\quad }$は次のように定義されます。ここで、は時刻0における初期温度差です。${\displaystyle T(t)-T_{\mathrm {env} }\ ,\quad }$${\displaystyle \Delta T(0)\quad }$

ニュートン力学の解は次のように記述されます。 $${\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T(0)\ e^{-rt}=\Delta T(0)\ e^{-t/t_{0}}.}$$

この同じ解は、最初の微分方程式が、解くべき単一の関数として で書かれていれば、ほぼすぐに明らかになります。 ${\displaystyle \Delta T(t)}$$${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}={\frac {d\Delta T(t)}{dt}}=-{\frac {1}{t_{0}}}\Delta T(t)}$$

この分析方法は、法医学において人間の死亡時刻を分析するために応用されている。また、 HVAC（暖房、換気、空調、いわゆる「建物の気候制御」）にも応用でき、快適レベル設定の変更による影響をより瞬時に確認することができる。^[3]

このドメインにおける単純化された仮定は次のとおりです。

• すべての物体は剛体である。
• 剛体間のすべての相互作用は、運動学的対偶（ジョイント）、スプリング、ダンパーを介して行われます。

この文脈では、集中コンポーネント モデルは、近似の対象となる音響理論の分散概念を拡張します。音響集中コンポーネント モデルでは、音響特性を持つ特定の物理コンポーネントは、標準的な電子コンポーネントまたはコンポーネントの単純な組み合わせと同様に動作すると近似できます。

• 空気（または同様の圧縮性流体）を含む剛壁の空洞は、値が空洞の容積に比例するコンデンサとして近似できます。この近似の妥当性は、対象となる最短波長が空洞の最長寸法よりも大幅に（はるかに）大きいことに依存します。
• リフレックス ポートは、その値がポートの有効長をその断面積で割った値に比例するインダクタとして近似できます。有効長は、実際の長さに端部補正を加えたものです。この近似は、対象となる最短波長がポートの最長寸法よりも大幅に大きいことに基づいています。
• 特定の種類の減衰材料は、抵抗器として近似できます。値は材料の特性と寸法によって異なります。近似は、波長が十分に長いことと、材料自体の特性に依存します。
• スピーカー駆動ユニット（通常はウーファーまたはサブウーファー駆動ユニット）は、ゼロインピーダンス 電圧源、抵抗器、コンデンサ、インダクタの直列接続として近似できます。値は、ユニットの仕様と対象の波長によって異なります。

この領域における単純化された仮定は、すべての熱伝達メカニズムが線形であり、放射と対流が各問題に対して線形化されることを意味します。

建物の集中要素モデルを生成する方法を説明した出版物はいくつかあります。ほとんどの場合、建物は単一の熱ゾーンとみなされ、この場合、多層の壁を集中要素に変換することは、モデル作成における最も複雑な作業の 1 つになる可能性があります。支配層法は、シンプルでかなり正確な方法の 1 つです。^[4]この方法では、構造全体の支配層として層の 1 つが選択され、この層は問題の最も関連性の高い周波数を考慮して選択されます。^[5]

建物の集中要素モデルは、さまざまな将来の気象シナリオの下で多くのシミュレーションを実行することにより、家庭用エネルギーシステムの効率を評価するためにも使用されています。^[6]

流体システムは、圧力を表す電圧と流れを表す電流を使用して、集中要素心血管モデルによって記述できます。これらの2つの変数を置き換えた後、電気回路表現からの同一の方程式が有効になります。このようなアプリケーションでは、たとえば、心室補助装置の移植に対する人間の心血管系の反応を研究できます。^[7]

• システム同型性
• モデル次数削減

• 磁気部品の高度なモデリングおよびシミュレーション技術
• IMTEK Mathematica Supplement (IMS)、集中モデリング用のオープンソース IMTEK Mathematica Supplement (IMS)