最大電力伝送定理

電気工学において、最大電力伝送定理は、内部抵抗を持つ電源から最大の外部電力を得るには、負荷の抵抗が、出力端子から見た電源の抵抗と等しくなければならないことを述べている。モーリッツ・フォン・ヤコビは1840年頃に最大電力（伝送）定理を発表した。これは「ヤコビの法則」とも呼ばれる。 ^{[ 1 ]}

この定理は、電源から負荷への最大電力伝送をもたらしますが、消費された総電力から有効電力の最大効率をもたらすわけではありません。負荷抵抗を電源抵抗よりも大きくすると、効率は向上しますが（電源電力のより高い割合が負荷に伝達されるため）、負荷電力の大きさは減少します（回路全体の抵抗が増加するため）。 ^{[ 2 ]}負荷抵抗を電源抵抗よりも小さくすると、効率は低下します（電力の大部分が電源で消費されるため）。消費される総電力は増加しますが（全体の抵抗が低いため）、負荷で消費される量は減少します。

この定理は、電源抵抗が与えられた場合に、電力伝送を最大化するように負荷抵抗を選択する方法を述べています。この定理を逆のシナリオに適用するのはよくある誤解です。この定理は、与えられた負荷抵抗に対して電源抵抗を選択する方法を述べているわけではありません。実際、電圧源からの電力伝送を最大化する電源抵抗は、負荷抵抗の値に関係なく、常にゼロ（仮想的な理想的な電圧源）です。

この定理は、リアクタンスを含む交流回路にも拡張でき、負荷インピーダンスが電源インピーダンスの複素共役に等しいときに最大電力伝送が発生することを述べている。

この定理の数学は、次のような他の物理的相互作用にも適用されます。^{[ 2 ] [ 3 ]}

• 2つの物体間の機械的な衝突、
• 2つのコンデンサ間での電荷の共有、
• 2つのシリンダー間の液体の流れ、
• 2つの媒体の境界における光の透過と反射。

この定理は当初、（特にジュール^{[ 4 ]}によって）バッテリーで駆動される電気モーターで構成されるシステムの効率は50%を超えることはできないと誤解されていました。これは、インピーダンスが一致しているときにバッテリーで熱として消費される電力が常にモーターに供給される電力と等しくなるためです。

1880年、この仮説はエジソンか彼の同僚フランシス・ロビンズ・アプトンによって誤りであることが示され、彼らは最大効率と最大電力伝送は同じではないことに気づいた。

最大の効率を達成するには、電源（電池であれ発電機であれ）の抵抗を可能な限りゼロに近づける（あるいは近づけるべき）である。この新たな知見に基づき、彼らは約90%の効率を達成し、電気モーターが熱機関に代わる実用的な選択肢であることを証明した。

効率ηは、負荷抵抗R _Lで消費される電力と回路全体で消費される電力の比であり、回路全体では電圧源の抵抗R _SとR _Lの両方が消費される。

$${\displaystyle \eta ={\frac {P_{\mathrm {L} }}{P_{\mathrm {Total} }}}={\frac {I^{2}\cdot R_{\mathrm {L} }}{I^{2}\cdot (R_{\mathrm {L} }+R_{\mathrm {S} })}}={\frac {R_{\mathrm {L} }}{R_{\mathrm {L} }+R_{\mathrm {S} }}}={\frac {1}{1+R_{\mathrm {S} }/R_{\mathrm {L} }}}\,.}$$

3つの具体的なケースを考えてみましょう（電圧源には必ず抵抗があることに注意してください）。

• もし${\displaystyle R_{\mathrm {S} }/R_{\mathrm {L} }\to \infty }$、 それから${\displaystyle \eta \to 0.}$負荷抵抗がゼロに近づく（短絡状態）と、効率は0%に近づきます。これは、すべての電力が電源で消費され、短絡状態では電力が消費されないためです。
• もし${\displaystyle R_{\mathrm {S} }=R_{\mathrm {L} }}$、 それから${\displaystyle \eta ={\tfrac {1}{2}}.}$負荷抵抗が電源抵抗と等しい場合、つまり最大電力伝送条件が満たされる場合、効率はわずか50%となる。
• もし${\displaystyle R_{\mathrm {S} }/R_{\mathrm {L} }\to 0}$、 それから${\displaystyle \eta \to 1.}$負荷抵抗が無限大に近づくか、ソース抵抗がゼロに近づくと、効率は100%に近づきます。オーディオエンジニアリングでは、この条件は${\displaystyle R_{L}\gg R_{S}}$これはインピーダンスブリッジングと呼ばれます。

関連する概念として、無反射インピーダンス整合がある。

無線周波数伝送線路やその他の電子機器では、伝送線路での反射を避けるために、送信機側のソースインピーダンスをアンテナなどの負荷インピーダンスに整合させる必要がある場合が多い。

抵抗R _Lの負荷に電圧V _Sと電源抵抗R _Sを供給するという簡略化されたモデルでは、オームの法則により、結果として生じる電流I は、電源電圧を回路全体の抵抗で割った値になります。 $${\displaystyle I={\frac {V_{S}}{R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}.}$$

負荷で消費される電力P _Lは、電流の二乗に抵抗を掛けた値である。 $${\displaystyle P_{\mathrm {L} }=I^{2}R_{\mathrm {L} }=\left({\frac {V_{S}}{R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}\right)^{2}R_{\mathrm {L} }={\frac {V_{S}^{2}}{R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}.}$$

この式が最大となるR _Lの値は微分することで計算できますが、分母が次のようになる R _Lの値を計算する方が簡単です。$${\displaystyle R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}$$は最小値です。どちらの場合も結果は同じになります。分母をR _L で微分します。 $${\displaystyle {\frac {d}{dR_{\mathrm {L} }}}\left(R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }\right)=-R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }^{2}+1.}$$

最大値または最小値の場合、1階微分はゼロなので、 $${\displaystyle R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }^{2}=1}$$ または $${\displaystyle R_{\mathrm {L} }=\pm R_{\mathrm {S} }.}$$

実際の抵抗回路では、RSとRL_はどちらも正の値をとるため、上記の式における正の符号が正しい解となります_。

この解が最小値か最大値かを調べるために、分母の式を再度微分します。

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dR_{\mathrm {L} }^{2}}}\left({R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}\right)={2R_{\mathrm {S} }^{2}}/{R_{\mathrm {L} }^{3}}.}$$

これは常に、正の値に対しては正である。${\displaystyle R_{\mathrm {S} }}$そして${\displaystyle R_{\mathrm {L} }}$分母が最小値となり、したがって指数が最大値となるのは、次の場合です。 $${\displaystyle R_{\mathrm {S} }=R_{\mathrm {L} }.}$$

上記の証明は、電源抵抗が固定されていることを前提としている。${\displaystyle R_{\mathrm {S} }}$電源抵抗を変化させることができる場合、抵抗を減らすことで負荷に伝達される電力を増やすことができます。${\displaystyle R_{\textrm {S}}}$例えば、100ボルトの電源で${\displaystyle R_{\textrm {S}}}$の${\displaystyle 10\,\Omega }$250ワットの電力を供給します${\displaystyle 10\,\Omega }$負荷を軽減する。${\displaystyle R_{\textrm {S}}}$に${\displaystyle 0\,\Omega }$供給電力を1000ワットまで増加させます。

これは、最大電力伝送が、負荷電圧が電源のテブナン等価電圧の半分に等しいこととして解釈することもできることを示している。^{[ 5 ]}

電力伝送定理は、電源および／または負荷が純粋な抵抗性でない場合にも適用される。

最大電力定理の改良版によれば、電源と負荷の無効電力成分は、大きさが等しく符号が逆でなければならない。（導出については下記参照。）

• これは、電源インピーダンスと負荷インピーダンスが互いに複素共役である必要があることを意味する。
• 純粋な抵抗回路の場合、この2つの概念は同一である。

物理的に実現可能な電源と負荷は通常、純粋な抵抗ではなく、誘導性または容量性の成分を含んでいるため、実用的な共役インピーダンス整合は実際に存在する。

電源が完全に誘導性（容量性）である場合、抵抗損失がない状態では、完全に容量性（誘導性）の負荷は電源からエネルギーの100%を受け取りますが、1/4サイクル後にそれを送り返します。

結果として得られる回路は、エネルギーが繰り返し振動する共振LC回路に他ならない。この振動は無効電力と呼ばれる。

力率改善（誘導性リアクタンスを用いて容量性リアクタンスを「相殺」する）は、本質的には複素共役インピーダンス整合と同じ考え方だが、その目的は全く異なる。

固定リアクタンス電源の場合、最大電力定理は、負荷を電源に複素共役整合させることにより、負荷に供給される実電力（P）を最大化する。

固定された無効負荷の場合、力率改善は、送電線によって伝導される皮相電力（S）（および不要な電流）を最小限に抑えつつ、同じ量の有効電力伝送を維持します。

これは、負荷にリアクタンスを追加して負荷自身のリアクタンスを相殺し、リアクタンス負荷インピーダンスを抵抗負荷インピーダンスに変えることによって行われます。

証拠

この図では、交流電力が電源から伝送されており、電圧のフェーザ振幅は${\displaystyle |V_{\text{S}}|}$（正のピーク電圧）および固定ソースインピーダンス${\displaystyle Z_{\text{S}}}$（Sはソースを表す）インピーダンスを持つ負荷へ${\displaystyle Z_{\text{L}}}$（Lは荷重を表す）結果として（正の）大きさ${\displaystyle |I|}$電流フェーザの${\displaystyle I}$この規模${\displaystyle |I|}$電源電圧の大きさを回路全体のインピーダンスの大きさで割った結果： $${\displaystyle |I|={|V_{\text{S}}| \over |Z_{\text{S}}+Z_{\text{L}}|}.}$$

平均電力${\displaystyle P_{\text{L}}}$負荷で消費されるエネルギーは、電流の二乗に抵抗成分（実数部）を乗じた値である。${\displaystyle R_{\text{L}}}$負荷インピーダンスの${\displaystyle Z_{\text{L}}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{L}}&=I_{\text{rms}}^{2}R_{\text{L}}={1 \over 2}|I|^{2}R_{\text{L}}\\&={1 \over 2}\left({|V_{\text{S}}| \over |Z_{\text{S}}+Z_{\text{L}}|}\right)^{2}R_{\text{L}}={1 \over 2}{|V_{\text{S}}|^{2}R_{\text{L}} \over (R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}+(X_{\text{S}}+X_{\text{L}})^{2}},\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle R_{\text{S}}}$そして${\displaystyle R_{\text{L}}}$抵抗、すなわち実数部を表し、 ${\displaystyle X_{\text{S}}}$そして${\displaystyle X_{\text{L}}}$それぞれ電源インピーダンスと負荷インピーダンスのリアクタンス、すなわち虚数部を表す。${\displaystyle Z_{\text{S}}}$そして${\displaystyle Z_{\text{L}}}$。

特定の電源電圧に対して、${\displaystyle V_{\text{S}}}$インピーダンス${\displaystyle Z_{\text{S}},}$負荷インピーダンスの値${\displaystyle Z_{\text{L}},}$このべき乗の式が最大値を与えるのは、まず、各固定された正の値に対してである。${\displaystyle R_{\text{L}}}$反応項の値${\displaystyle X_{\text{L}}}$分母が次のようになる場合： $${\displaystyle (R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}+(X_{\text{S}}+X_{\text{L}})^{2}}$$ は最小値です。リアクタンスは負の値をとることもあるため、これは負荷リアクタンスを以下のように調整することで実現されます。 $${\displaystyle X_{\text{L}}=-X_{\text{S}}.}$$

これにより、上記の式は次のように簡略化されます。 $${\displaystyle P_{\text{L}}={\frac {1}{2}}{\frac {|V_{\text{S}}|^{2}R_{\text{L}}}{(R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}}}}$$ そして、その価値を見つける必要がある${\displaystyle R_{\text{L}}}$これはこの式を最大化する。この問題は純粋抵抗の場合と同じ形式であり、したがって最大化条件は次のようになる。${\displaystyle R_{\text{L}}=R_{\text{S}}.}$

2つの最大化条件：

• ${\displaystyle R_{\text{L}}=R_{\text{S}}}$
• ${\displaystyle X_{\text{L}}=-X_{\text{S}}}$

ソースインピーダンスの複素共役を記述します。${\displaystyle {}^{*},}$したがって、以下のように簡潔にまとめることができます。 $${\displaystyle Z_{\text{L}}=Z_{\text{S}}^{*}.}$$

• 最大電力点追従

• HW Jackson (1959) 電子回路入門、Prentice-Hall。

• 共役整合と無反射整合2017年5月16日にWayback Machineにアーカイブ済み（ PDF）電磁波とアンテナ2008年12月20日にWayback Machineにアーカイブ済み
• スパークトランスミッター。2. パワーの最大化、パート1。