位置エネルギー ある場所における重力ポテンシャル（V ）は、その場所における単位質量あたりの重力ポテンシャルエネルギー （U ）である。
V = U m 、 {\displaystyle V={\frac {U}{m}},}
ここで、m は物体の質量です。位置エネルギーは、重力場が物体を無限遠から所定の位置まで移動させる際に行う仕事と等しい（大きさは等しいが負の値）ものです。物体の質量が1キログラムの場合、その物体に割り当てられる位置エネルギーは重力ポテンシャルに等しくなります。したがって、ポテンシャルは、単位質量を無限遠から移動させる際に重力場が行う仕事の負の値として解釈できます。
場合によっては、位置に依存しない場を仮定することで方程式を簡略化できます。例えば、地球表面に近い領域では、重力加速度 g は一定とみなすことができます。この場合、ある高さから別の高さへの位置エネルギーの差は、近似的に高さの差に線形的に関係します。 Δ U ≈ m g Δ h 。 {\displaystyle \Delta U\approx mg\Delta h.}
質量Mの 点質量 から距離x にある点質量の重力ポテンシャル V は 、単位質量を無限遠からその点まで移動させるために外部の作用者が行う必要のある仕事Wとして定義できます。 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]
V （ x ） = W m = 1 m ∫ ∞ x F （ x ′ ） ⋅ d x ′ = 1 m ∫ ∞ x G m M x ′ 2 d x ′ = − G M x 、 {\displaystyle V(\mathbf {x} )={\frac {W}{m}}={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}\mathbf {F} \left(\mathbf {x} '\right)\cdot d\mathbf {x} '={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}{\frac {GmM}{x'^{2}}}dx'=-{\frac {GM}{x}},} G は重力定数 、F は重力です。積GMは 標準的な重力パラメータ であり、G やMを 個別に調べるよりも高い精度で知られていることが多いです。ポテンシャルの単位は質量あたりのエネルギー で、例えばMKS 単位系ではJ/kgです。慣例として、定義域では常に負の値を取り、xが 無限大に近づくにつれてゼロに近づきます。
重力場 、ひいては質量のある物体の周囲の空間における小物体の加速度は、重力ポテンシャルの負の勾配 である。したがって、負の勾配の負は、質量のある物体に向かう正の加速度を生み出す。ポテンシャルには角度成分がないため、その勾配は 1 = − G M x 3 x = − G M x 2 x ^ 、 {\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {GM}{x^{3}}}\mathbf {x} =-{\frac {GM}{x^{2}}}{\hat {\mathbf {x} }},} x は点質量から小物体に向かう長さx のベクトルであり、x ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}} は点質量から小物体に向かう単位ベクトル である。したがって、加速度の大きさは逆二乗法則 に従う。 ‖ 1 ‖ = G M x 2 。 {\displaystyle \|\mathbf {a} \|={\frac {GM}{x^{2}}}.}
質量分布 に関連するポテンシャルは、点質量のポテンシャルの重ね合わせです。質量分布が有限個の点質量の集合であり、点質量が点x 1 、 ...、x n に位置し、質量がm 1 、 ...、m n x における分布のポテンシャルは次のようになります。 V （ x ） = ∑ 私 = 1 n − G m 私 ‖ x − x 私 ‖ 。 {\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\|}}.}
点x とr において、r は分布質量 (灰色) に含まれ、点rには微分質量 dm ( r ) が存在する。 質量分布が3次元ユークリッド空間 R 3上の質量 測度 dm として与えられる場合、ポテンシャルは−G / | r | dm の畳み込み となる。良い場合、これは積分に等しくなる 。 V （ x ） = − ∫ R 3 G ‖ x − r ‖ d m （ r ） 、 {\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|}}\,dm(\mathbf {r} ),} 、| x − r | x とrの間の 距離 です。rにおける分布の密度を表す関数ρ ( r ) が存在し、dm ( r ) = ρ ( r ) dv ( r ) となる場合（ここでdv ( r ) はユークリッド体積要素 ）、重力ポテンシャルは体積積分です 。 V （ x ） = − ∫ R 3 G ‖ x − r ‖ ρ （ r ） d v （ r ） 。 {\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|}}\,\rho (\mathbf {r} )dv(\mathbf {r} ).}
V が連続質量分布 ρ ( r )から得られるポテンシャル関数である場合、ρ は ラプラス演算子 Δ を使用して復元できます。 ρ （ x ） = 1 4 π G Δ V （ x ） 。 {\displaystyle \rho (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi G}}\Delta V(\mathbf {x} ).} ρが 連続であり、有界集合の外側でゼロである場合に限り、点ごとに成り立ちます。一般に、ラプラス演算子を分布の意味で取れば、質量測度 dmも 同様の方法で復元できます。結果として、重力ポテンシャルはポアソン方程式 を満たします。3変数ラプラス方程式 とニュートンポテンシャル のグリーン関数も参照してください。
積分は、対称楕円体や退化楕円体を含むすべての楕円体形状について、既知の超越関数を用いて表現することができます。[ 6 ] 参照楕円体を 参照）と長球、1つの半軸が無限大である退化楕円体（楕円柱と円柱）、および2つの半軸が無限大である無限シートが含まれます。これらの形状はすべて、電磁気学への重力ポテンシャル積分（定数G を除く、ρは定数電荷密度 ）の応用で広く使用されています。
球対称 球対称な質量分布は、分布の外側にいる観測者から見ると、質量がすべて中心に集中しているかのように振る舞い、シェル定理 により実質的に点質量 として扱われます。地球の表面では、加速度は標準重力加速度 g で表され、約 9.8 m/s²ですが、この値は緯度と高度によってわずかに変化します。地球は 扁平な回転楕円体 であるため、加速度の大きさは赤道よりも極でわずかに大きくなります。
球対称な質量分布内では、ポアソン方程式を球座標で 解くことが可能です。半径R 、密度 ρ、質量m の一様な球体内では、球内部の重力g は中心からの距離 r に比例して変化し、球内部の重力ポテンシャルは次のようになります。[ 7 ] [ 8 ] V （ r ） = 2 3 π G ρ [ r 2 − 3 R 2 ] = G m 2 R 3 [ r 2 − 3 R 2 ] 、 r ≤ R 、 {\displaystyle V(r)={\frac {2}{3}}\pi G\rho \left[r^{2}-3R^{2}\right]={\frac {Gm}{2R^{3}}}\left[r^{2}-3R^{2}\right],\qquad r\leq R,}
一般相対性理論 一般相対性理論 では、重力ポテンシャルは計量テンソル に置き換えられます。重力場が弱く、光源が光速に比べて非常にゆっくりと移動している場合、一般相対性理論はニュートン重力に帰着し、計量テンソルは重力ポテンシャルで展開できます。[ 9 ]
多重極展開 点x V （ x ） = − ∫ R 3 G | x − r | d m （ r ） 。 {\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\ dm(\mathbf {r} ).}
質量分布（灰色）の図。質量中心はベクトルx とr の原点であり、ポテンシャルが計算される点はベクトルx の先端である。ポテンシャルはルジャンドル多項式 の級数で展開できます。点x とr を 重心 に対する位置ベクトル として表します。積分の分母は平方根の二乗として表され、次のようになります。 V （ x ） = − ∫ R 3 G | x | 2 − 2 x ⋅ r + | r | 2 d m （ r ） = − 1 | x | ∫ R 3 G 1 − 2 r | x | コス θ + （ r | x | ） 2 d m （ r ） {\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {|\mathbf {x} |^{2}-2\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} +|\mathbf {r} |^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {1}{|\mathbf {x} |}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {1-2{\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\右)^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}} r = | r | θは x とr の間の角度です。
（§ 数学形式を参照。）被積分関数は、係数を明示的に計算することにより、 Z = r / | x | テイラー級数 として展開できます。同じ結果を得るためのより簡単な方法は、一般化二項定理 を使用することです。[ 10 ] 母関数です。 （ 1 − 2 X Z + Z 2 ） − 1 2 = ∑ n = 0 ∞ Z n P n （ X ） {\displaystyle \left(1-2XZ+Z^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\ =\sum _{n=0}^{\infty }Z^{n}P_{n}(X)} | X | ≤ 1| Z | < 1P n は次数n のルジャンドル多項式です。したがって、被積分関数のテイラー係数はX = cos θ r < | x | x で収束する級数に展開できます。V （ x ） = − G | x | ∫ ∑ n = 0 ∞ （ r | x | ） n P n （ コス θ ） d m （ r ） = − G | x | ∫ （ 1 + （ r | x | ） コス θ + （ r | x | ） 2 3 コス 2 θ − 1 2 + ⋯ ） d m （ r ） {\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta )\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left(1+\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}+\cdots \right)\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}} ∫ r コス （ θ ） d m {\textstyle \int r\cos(\theta )\,dm} x x は重心から発しているので、これはゼロになります。したがって、積分を総和の符号の下に置くと、 次のようになります。V （ x ） = − G M | x | − G | x | ∫ （ r | x | ） 2 3 コス 2 θ − 1 2 d m （ r ） + ⋯ {\displaystyle V(\mathbf {x} )=-{\frac {GM}{|\mathbf {x} |}}-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}dm(\mathbf {r} )+\cdots }
これは、物体の伸長によって、球状の質量による電位と比較して、伸長方向の電位は低下し、垂直方向の電位は上昇することを示している（重心からの距離が同じ場合を比較した場合）。（表面からの距離が同じ場合を比較した場合は、 逆の結果となる。）
単位と数値 重力ポテンシャルのSI単位は平方メートル毎秒（m²/s²）または同等にジュール毎キログラム（J/kg）です。地球 、 太陽、 および天の川 の質量 に関するいくつ かの 場所での重力ポテンシャルの絶対値 は次の表に示されています。つまり、地球表面の物体が地球の重力場から「脱出」するには60 MJ/kg 、太陽の重力 場からも脱出するにはさらに900 MJ/kg、天の川の重力場からも脱出するには130 GJ/kg以上が必要です。ポテンシャルは脱出速度 の2乗の半分です。
これらの場所の重力 を比較してください。
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![{\displaystyle V(r)={\frac {2}{3}}\pi G\rho \left[r^{2}-3R^{2}\right]={\frac {Gm}{2R^{3}}}\left[r^{2}-3R^{2}\right],\qquad r\leq R,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9edacd57f6ef05612224090a38b674c9e164ccab)
