派生関数

数学では、特定の関数を導出して、元の関数に密接に関連する他の関数を取得することができます。この操作はかなり抽象的ですが、数学全体の多くの構成を統一します。

さまざまなまったく異なる設定において、短い完全シーケンスが「長い完全シーケンス」を生み出すことがしばしば 指摘されています。導出関数の概念は、これらの観察の多くを説明し、明確にします。

2 つのアーベル圏AとBの間の共変左完全関数 F  : A → Bが与えられているとします。 0 → A → B → C → 0 がAの短完全列である場合、Fを適用すると完全列 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) が得られ、この列を右に続けて長完全列を形成するにはどうすればよいかという疑問が生じる可能性があります。 厳密に言えば、この疑問は不適切です。なぜなら、与えられた完全列を右に続けるには常に無数の異なる方法があるからです。 しかし、( Aが十分に「適切」であれば) Fの右導出関数によって与えられる標準的な方法が 1 つあることがわかります。すべてのi ≥ 1に対して、関手R ⁱ F : A → Bが存在し、上記のシーケンスは次のように続きます: 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → R ¹ F ( A ) → R ¹ F ( B ) → R ¹ F ( C ) → R ² F ( A ) → R ² F ( B ) → ...。このことから、R 1 F = ⁰の場合のみ、Fが正確な関手であることがわかります。つまり、ある意味では、Fの右導出関手は、 Fが正確であることから 「どれだけ離れているか」を測定します。

上記の短い完全列内のオブジェクトAが単射である場合、列はを分割します。分割された列に任意の加法関数を適用すると分割された列が生成されるため、特にR ¹ F ( A ) = 0 となります。右導出関数 ( i>0の場合) は単射に対してはゼロです。これが、以下に示す構築の動機です。

アーベル圏Aについて必要な重要な仮定は、 A には十分な数の入射項があるということです。つまり、A内のすべてのオブジェクトAに対して、 A → Iという単射が存在し、 IはA内の入射オブジェクトであるということです。

共変左完全関手F  : A → Bの右導来関手は次のように定義される。 AのオブジェクトXから始める。十分な数の入射子があるので、次の形式の長完全列を構築できる。

${\displaystyle 0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots }$

ここで、I ^{i は}すべて単射である（これはXの単射分解として知られている）。この列に関数F を適用し、最初の項を切り落とすと、連鎖複素数が得られる。 

${\displaystyle 0\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots }$

注: これは一般には正確なシーケンスではなくなります。しかし、i番目のスポット ( F ( I ⁱ ) からF ( I ⁱ )への写像の像を法とする写像の核) でのコホモロジーを計算することができます。結果をR ⁱ F ( X )と呼びます。もちろん、さまざまなことを確認する必要があります。結果はXの与えられた単射分解に依存せず、任意の射X → Y は自然に射R ⁱ F ( X ) → R ⁱ F ( Y )を生成し、実際に関数を取得します。左正確性とは、 0 → F ( X ) → F ( I ⁰ ) → F ( I ^{1 ) が正確であることを意味することに注意してください。したがって、} R ⁰ F ( X ) = F ( X )であり、 i >0の場合にのみ興味深いものが得られます。

(技術的には、 Fの明確に定義された導関数を生成するには、 Aのすべてのオブジェクトに対して単射解析を固定する必要があります。この単射解析の選択により、関数R ⁱ Fが生成されます。解析の異なる選択により、自然に同型関数が生成されるため、最終的には選択はそれほど重要ではありません。)

短い完全列を長い完全列に変換するという前述の性質は、蛇の補題の結果です。これは、導出関数の集合がδ 関数であることを示しています。

X自体が単射である場合、単射解決 0 → X → X → 0を選択でき、すべてのi ≥ 1 に対してR ⁱ F ( X ) = 0 が得られます。実際には、この事実は、長完全列プロパティとともに、右導出関数の値を計算するためによく使用されます。

R ⁱ F ( X )を計算する同等の方法は次のとおりです。上記のようにXの単射分解を取り、K ^{i を}I ^{i -1} → I ⁱの写像( i =0 の場合、I ^{i -1 =0 と定義) とします。これは}I ⁱ → I ^{i +1}の核と同じです。 φ _i  :  I ^{i -1} → K ⁱを対応する全射写像とします。すると、R ⁱ F ( X ) はF (φ _i )のコカーネルになります。

共変右完全関手Gから始めて、カテゴリAに十分な射影が存在する場合（つまり、AのすべてのオブジェクトAに対して、射影オブジェクトP → Aが存在する場合）、同様に左導来関手L _i Gを定義できます。 AのオブジェクトXに対して、まず次の形式の射影解析を構築します。

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0}$

ここでP _{i は}射影的です。この数列にGを適用し、最後の項を切り落とし、ホモロジーを計算してL _i G ( X )を得ます。前と同様に、L ₀ G ( X ) = G ( X )です。

この場合、長い正確なシーケンスは右ではなく「左」に増加します。

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

に変換されます

${\displaystyle \cdots \to L_{2}G(C)\to L_{1}G(A)\to L_{1}G(B)\to L_{1}G(C)\to G(A)\to G(B)\to G(C)\to 0}$。

左導関数はすべての射影オブジェクト上でゼロになります。

反変左完全関数Fから始めることもできる。この場合、結果として得られる右導出関数も反変となる。短完全列

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

は、長完全列に変換される。

${\displaystyle 0\to F(C)\to F(B)\to F(A)\to R^{1}F(C)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(A)\to R^{2}F(C)\to \cdots }$

これらの左導関数は射影上ではゼロなので、射影解析によって計算されます。

• がアーベル圏であるならば、その射の圏もまたアーベルである。各射をその核に写す関数は左完全である。その右導来関数は${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\{\ast \to \ast \}}}$${\displaystyle \ker :A^{\{\ast \to \ast \}}\to A}$

${\displaystyle R^{i}(\ker )(f)={\begin{cases}\ker(f)&i=0\\\operatorname {coker} (f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}}$

双対的に、関数は右完全であり、その左導関数は ${\displaystyle \operatorname {コーカー} }$

${\displaystyle L_{i}(\operatorname {coker} )(f)={\begin{cases}\operatorname {coker} (f)&i=0\\\ker(f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}}$

これは、蛇の補題の現れです。

が位相空間である場合、上のアーベル群のすべての層のカテゴリは、十分な単射を持つアーベルカテゴリです。各そのような層に大域切断の群を割り当てる関数は左完全であり、右導来関数は層コホモロジー関数であり、通常 と記述されます。もう少し一般的に言えば、 が環空間である場合、 - 加群のすべての層のカテゴリは、十分な単射を持つアーベルカテゴリであり、再び、層コホモロジーを大域切断関数の右導来関数として構成できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Sh(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Gamma :Sh(X)\to Ab}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}}):={\mathcal {F}}(X)}$${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

この特別なケースとして、コホモロジーのさまざまな概念があります。

• ド・ラーム・コホモロジーとは、多様体上の局所定数 値関数の層の層コホモロジーである。ド・ラーム複体は、この層を、入射層ではなく、細層で解決したものである。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• エタールコホモロジーは、スキーム上の層の別のコホモロジー理論です。これは、エタールサイト上のアーベル層のグローバルセクションの右導来関手です。

が環である場合、すべての左 -加群のカテゴリは、十分な単射を持つアーベルカテゴリです。が固定された左- 加群である場合、関数 は左完全であり、その右導来関数 はExt 関数です。あるいは、右完全関数 の左導来関数 として取得することもできます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-):R{\text{-Mod}}\to {\mathfrak {Ab}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,-)}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(-,B)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(-,B):R{\text{-Mod}}\to {\mathfrak {Ab}}^{op}}$

コホモロジーのさまざまな概念は Ext 関数の特殊なケースであり、したがって導出関数でもあります。

• 群コホモロジーとは、不変量関数の右導来関数であり、(ここでは自明な- 加群)と同じであり。${\displaystyle (-)^{G}:k[G]{\text{-Mod}}\to k[G]{\text{-Mod}}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{k[G]}(k,-)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k[G]}$${\displaystyle H^{i}(G,M)=\operatorname {Ext} _{k[G]}^{i}(k,M)}$
• ある可換環上のリー代数 のリー代数コホモロジーとは、不変量関数の右導来関数であり（ここで は再び自明な- 加群であり、は の普遍包絡代数であると同じである。したがって。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (-)^{\mathfrak {g}}:{\mathfrak {g}}{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{U({\mathfrak {g}})}(k,-)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle H^{i}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U({\mathfrak {g}})}^{i}(k,M)}$
• ある-代数のホックシルトコホモロジーとは、双加群をその中心に写像する不変量の右導来関手であり、その不変量集合とも呼ばれ、（ここで はの包絡代数であり、通常の左右の乗算により -双加群とみなされる）と同じである、${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle (-)^{A}:(A,A){\text{-Bimod}}\to k{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{A}:=Z(M):=\{m\in M\mid \forall a\in A:am=ma\}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A^{e}}(A,M)}$${\displaystyle A^{e}:=A\otimes _{k}A^{op}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (A,A)}$${\displaystyle HH^{i}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A^{e}}^{i}(A,M)}$

左 - 加群のカテゴリにも十分な射影があります。 が固定された右- 加群である場合、とのテンソル積は右完全共変関手 を与えます。加群のカテゴリには十分な射影があるため、左導関数が常に存在します。テンソル関手の左導関数はTor 関手です。 は、の左導関数として対称的に定義できます。実際、両方の定義を組み合わせて をの左導関数 として定義できます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\to Ab}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,-)}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(-,B)}$${\displaystyle -\otimes B}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(-,-)}$${\displaystyle -\otimes -:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\to Ab}$

これには、特殊なケースとしてのホモロジーに関するいくつかの概念が含まれます。これは、多くの場合、Ext 関数とコホモロジーの状況を反映しています。

• 群ホモロジーとは、 と同じ共変量を取る の左導来関手です。${\displaystyle (-)_{G}:k[G]{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}}}$${\displaystyle k\otimes _{k[G]}-}$
• リー代数ホモロジーとは、と同じ共変量を取る の左導来関手です。${\displaystyle {\mathfrak {g}}{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}},M\mapsto M/[{\mathfrak {g}},M]}$${\displaystyle k\otimes _{U({\mathfrak {g}})}-}$
• ホッホシルトホモロジーとは、と同じ共変量を取る の左導来関手です。${\displaystyle (A,A){\text{-Bimod}}\to k{\text{-Mod}},M\mapsto M/[A,M]}$${\displaystyle A\otimes _{A^{e}}-}$

個々の左導関数を取る代わりに、テンソル関数の全導関数を取ることもできます。これにより、導関数テンソル積 が生成されます。ここで、は導関数カテゴリです。 ${\displaystyle -\otimes ^{L}-:D({\text{Mod-}}R)\times D(R{\text{-Mod}})\to D(Ab)}$${\displaystyle D}$

導関数と長完全列は、いくつかの技術的な意味で「自然」です。

まず、次の形式の 可換図式が与えられる。

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}0&\to &A_{1}&{\xrightarrow {f_{1}}}&B_{1}&{\xrightarrow {g_{1}}}&C_{1}&\to &0\\&&\alpha \downarrow \quad &&\beta \downarrow \quad &&\gamma \downarrow \quad &&\\0&\to &A_{2}&{\xrightarrow {f_{2}}}&B_{2}&{\xrightarrow {g_{2}}}&C_{2}&\to &0\end{array}}}$

(行が正確である場合)、結果として得られる 2 つの長い正確なシーケンスは、交換可能な平方によって関連付けられます。

次に、 η : F → G が左完全関数Fから左完全関数Gへの自然変換であると仮定する。すると、自然変換R ⁱ η : R ⁱ F → R ⁱ Gが誘導され、R ⁱは A からBへのすべての左完全関数の関数カテゴリからAからBへのすべての関数の完全関数カテゴリへの関数になる。さらに、この関数は、次の意味で長完全列と互換性がある。

${\displaystyle 0\to A{\xrightarrow {f}}B{\xrightarrow {g}}C\to 0}$

は短完全列であり、可換図式である。

誘発されます。

これら両方の自然性は、蛇の補題によって提供されるシーケンスの自然性から生じます。

逆に、導来関手の次の特徴付けが成り立ちます。上記を満たす、すなわち短完全列を長完全列に写像する関手族R ⁱ : A → Bが与えられ、 Aのすべての入射オブジェクトIに対して、すべての正のiに対してR ⁱ ( I )=0 である場合、これらの関手はR ⁰の右導来関手です。

導出関数に対するより現代的な（そしてより一般的な）アプローチでは、導出カテゴリの言語を使用します。

1968 年に Quillen はモデル カテゴリの理論を開発しました。これは、ファイブレーション、コファイブレーション、および弱同値性の抽象カテゴリ理論システムを提供します。通常、弱同値性に対して局所化することによって得られる基礎となるホモトピー カテゴリに関心があります。Quillenの随伴は、ホモトピー カテゴリ間の随伴につながるモデル カテゴリ間の随伴です。たとえば、位相空間のカテゴリと単体集合のカテゴリはどちらも Quillen モデル構造を許容し、その神経随伴と実現随伴によって、実際にはホモトピー カテゴリの同値性である Quillen の随伴が得られます。モデル構造内の特定のオブジェクトには、「ファイブラント」オブジェクトと「コファイブラント」オブジェクトという「優れた特性」（特定の射に対するリフトの存在に関する）があり、すべてのオブジェクトはファイブラント-コファイブラントの「解決」と弱同値です。

もともと位相空間のカテゴリを扱うために開発されたが、Quillen モデル構造は数学のさまざまな場所で登場する。特に、任意のアーベル カテゴリ (位相空間またはスキーム上のモジュール、モジュールの層など) からの連鎖複体のカテゴリは、ホモロジーを保存する連鎖複体間の射を弱同値とするモデル構造を許容する。多くの場合、2 つのそのようなモデル カテゴリ (たとえば、アーベル層の複体をアーベル群の明らかな複体に送るグローバル セクション ファンクタ) の間には、*「良い」(フィブラントまたはコフィブラント) オブジェクトのサブカテゴリ内で* 弱同値を保存するファンクタがあります。最初にオブジェクトのフィブラントまたはコフィブラント解決を取り、次にそのファンクタを適用することで、弱同値は常に保存されるように (したがって、ホモトピー カテゴリからファンクタに下降するように) カテゴリ全体に拡張することができました。これが「導来ファンクタ」です。たとえば、層コホモロジーの「導来関手」は、この導来関手の出力のホモロジーです。これを、ホモロジーに集中した複体として明白に解釈されるアーベル群の層に適用すると、グローバルセクション関手がそのような弱同値性を保存できないこと、つまり「正確性」が失われていることが測定されます。モデル構造の一般理論は、この構成の一意性 (フィブラントまたはコフィブラント解決の選択などに依存しないこと) を示しています。