不動点（数学）

数学において、固定点（不変点とも呼ばれる）とは、与えられた変換の下で変化しない値のことである。具体的には、関数においては、固定点とは関数自身に写像される要素のことである。変換における固定点の集合は、不変集合とも呼ばれる。

形式的には、c が関数 fの定義域と値域の両方に属し、f ( c ) = cである場合、 c は関数 f の不動点である。特に、定義域が値域と互いに素である場合、 fは不動点を持たない。fが実数上で定義されている場合、図式的にはユークリッド平面上の曲線に対応し、各不動点c は曲線と直線y = xとの交点に対応する（図を参照）。

例えば、f が実数上で次のよう に定義されている場合${\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+4,}$すると、 f (2) = 2なので、 2 はf の不動点になります。

すべての関数が不動点を持つわけではありません。たとえば、f ( x ) = x + 1は、 x + 1が任意の実数xと等しくなることはないため、不動点を持ちません。

数値解析において、不動点反復法は関数の不動点を計算する方法である。具体的には、関数が与えられた場合、${\displaystyle f}$同じ定義域と値域を持つ点${\displaystyle x_{0}}$の領域において${\displaystyle f}$固定点反復は

$${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\,n=0,1,2,\dots }$$

これにより、次のシーケンスが生成される。${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots }$反復関数の適用${\displaystyle x_{0},f(x_{0}),f(f(x_{0})),\dots }$これは一点に収束することが期待される${\displaystyle x}$。 もし${\displaystyle f}$が連続であれば、得られた${\displaystyle x}$は固定点である${\displaystyle f}$。

不動点反復法において、吸引不動点、反発不動点、周期点といった概念が定義される。

不動点定理とは、ある一般的な条件下で少なくとも1つの不動点が存在することを示す結果である。^{[ 1 ]}

例えば、バナッハの不動点定理（1922年）は、それが満たされれば、不動点反復法が必ず不動点に収束することを保証する一般的な基準を与えている。

ブロウワーの不動点定理（1911年）は、n次元ユークリッド空間の閉じた単位球からそれ自身への任意の連続関数は不動点を持つと述べているが、不動点を見つける方法については説明していない。

代数トポロジーにおけるレフシェッツの不動点定理（およびニールセンの不動点定理）は、不動点の数を数える方法を提供する。

代数学において、集合Xに群作用で作用する群Gについて${\displaystyle \cdot }$、Xのxがgの不動点であるとは、${\displaystyle g\cdot x=x}$。

不動点部分群${\displaystyle G^{f}}$群Gの自己同型fのGの部分群は: $${\displaystyle G^{f}=\{g\in G\mid f(g)=g\}.}$$

同様に、固定点部分環${\displaystyle R^{f}}$環Rの自己同型fの自己同型は、 fの固定点の部分環である。すなわち、 $${\displaystyle R^{f}=\{r\in R\mid f(r)=r\}.}$$

ガロア理論において、ある体の自己同型写像​​の集合の不動点の集合を、その自己同型写像​​の集合の不動体と呼ぶ。

位相空間${\displaystyle X}$任意の連続関数に対して、不動点性質（FPP）を持つと言われる。

${\displaystyle f\colon X\to X}$

存在する${\displaystyle x\in X}$そのため${\displaystyle f(x)=x}$。

FPPは位相不変量であり、すなわち、任意の同相写像によって保存される。FPPは任意のリトラクションによっても保存される。

ブロワーの不動点定理によれば、ユークリッド空間のすべてのコンパクトかつ凸な部分集合はFPPを持つ。コンパクト性だけではFPPは意味せず、凸性は位相的性質ですらないので、FPPを位相的にどのように特徴付けるかを問うことは理にかなっている。1932年、ボルスクはコンパクト性と可縮性がFPPが成り立つための必要十分条件になり得るかどうかを問うた。この問題は、木下がFPPを持たないコンパクト可縮空間の例を見つけ、この予想を否定するまで20年間未解決であった。^{[ 2 ]}

領域理論では、不動点の概念と用語は半順序に一般化されます。 ≤ を集合X上の半順序とし、f : X → X をX上の関数とします。このとき、fの接頭点( pre-fixed pointとも綴られ、prefixpointまたはpre-fixpointと略されることもあります)は、 f ( p ) ≤ pとなる任意のpです。同様に、f の接後点とは、 p ≤ f ( p )となる任意のpです。^{[ 3 ]} 反対の用法が時折見られます。^{[ 4 ]}マルキスは、ここで提示された定義を次のように正当化しています。「fは項f ( x ) ≤ xの不等号の前にあるため、そのようなxは接頭点と呼ばれます。」^{[ 5 ]}不動点とは、接頭点と接後点の両方である点です。接頭点と接後点は、理論計算機科学に応用されています。^{[ 6 ]}

コンピュータサイエンスにおける組み合わせ論理では、固定点コンビネータは高階関数である。${\displaystyle {\mathsf {fix}}}$引数関数の不動点が存在する場合、それを返します。正式には、関数fが 1 つ以上の不動点を持つ場合、

${\displaystyle \operatorname {\mathsf {fix}} f=f(\operatorname {\mathsf {fix}} f).}$

数理論理学において、不動点論理は古典述語論理の拡張であり、再帰を表現するために導入された。その発展は、記述的複雑性理論と、データベースクエリ言語、特にDatalogとの関連性によって促されてきた。

多くの分野において、平衡状態や安定性は、不動点を用いて記述できる基本的な概念である。以下にいくつかの例を示す。

• 射影幾何学では、射影の固定点は二重点と呼ばれている。^{[ 8 ] [ 9 ]}
• 経済学において、ゲームのナッシュ均衡とは、そのゲームにおける最適反応対応の不動点のことである。ジョン・ナッシュは、ノーベル経済学賞を受賞した彼の画期的な論文において、カクタニの不動点定理を活用した。
• 物理学、より正確には相転移の理論において、不安定な固定点の 近傍での線形化は、ウィルソンのノーベル賞受賞研究である繰り込み群の発明と、「臨界現象」という用語の数学的説明につながった。^{[ 10 ] [ 11 ]}
• プログラミング言語コンパイラは、プログラム解析、例えばコード最適化によく必要とされるデータフロー解析において、固定小数点演算を使用します。また、固定小数点演算は、汎用プログラム解析手法である抽象解釈で使用される中核概念でもあります。^{[ 12 ]}
• 型理論において、不動点コンビネータは、型なしラムダ計算における再帰関数の定義を可能にする。
• すべてのウェブページのPageRank値のベクトルは、ワールドワイドウェブのリンク構造から導出された線形変換の不動点である。
• マルコフ連鎖の定常分布は、1ステップ遷移確率関数の不動点である。
• 不動点は、反復関数の公式を求めるために使用されます。

• 西山豊（2012）「不動点を描くためのエレガントな解法」（PDF） International Journal of Pure and Applied Mathematics.78（3）：363–377。