十角数

数学において、十角数は、三角形と正方形の数の概念を十角形（10 辺の多角形）に拡張した図形数です。ただし、三角形と正方形の数とは異なり、十角数の構成に含まれるパターンは回転対称ではありません。具体的には、 n番目の十角数は、すべて共通の角を共有するn個のネストされた十角形のパターン内の点の数です。パターン内のi番目の十角形は、互いに 1 単位間隔で配置されたi個の点で構成された辺を持ちます。n 番目の十角数は、次の式で与えられます。

${\displaystyle d_{n}=4n^{2}-3n}$。

最初のいくつかの十角数は次のとおりです。

0、1、10、27、52、85、126、175、232、297、370、451、540、637、742、855、976、1105、1242、1387、1540、1701​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 、 1870、2047、2232、2425、2626、2835、3052、3277、3510、3751、4000、4257、4522、4795、5076、5365、5662、5967、6280 、 6601、 6930、7267、7612、7965、8326（OEISの配列A001107）。

n番目の十角数は、 nの2乗に( n −1)番目のプロニック数の3倍を加えることで計算することもできます。代数的に言えば、

${\displaystyle D_{n}=n^{2}+3\left(n^{2}-n\right)}$。

• 十角数は一貫して偶奇性が交互に現れます。
• ${\displaystyle D_{n}}$8 を法として 1 に一致する最初の自然数の合計です。${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle D_{n}}$は の約数の個数です。${\displaystyle 48^{n-1}}$
• 十角数のうち平方数は 0 と 1 のみです。
• 十角数は次の再帰関係に従います。

${\displaystyle D_{n}=D_{n-1}+8n-7,D_{0}=0}$

${\displaystyle D_{n}=2D_{n-1}-D_{n-2}+8,D_{0}=0,D_{1}=1}$

${\displaystyle D_{n}=3D_{n-1}-3D_{n-2}+D_{n-3},D_{0}=0,D_{1}=1,D_{2}=10}$