反応拡散系

反応拡散系は、いくつかの物理現象に対応する数学モデルです。最も一般的なのは、1つまたは複数の化学物質の濃度が空間と時間の中で変化する現象です。これには、物質が互いに変化する局所的な化学反応と、物質が空間内の表面に拡散する現象が含まれます。

反応拡散方程式系は、化学において自然に応用される。しかし、この系は非化学的な動的過程も記述することができる。生物学、地質学、物理学（中性子拡散理論）、生態学などにその例が見られる。数学的には、反応拡散方程式系は半線形放物型偏微分方程式の形をとる。これらは一般的に次の形式で表すことができる。

${\displaystyle \partial _{t}\mathbf {q} ={\underline {\underline {\mathbf {D} }}}\,\nabla ^{2}\mathbf {q} +\mathbf {R} (\mathbf {q} ),}$

ここで、q ( x , t )は未知のベクトル関数を表し、Dは拡散係数の対角行列であり、R はすべての局所反応を表します。反応拡散方程式の解は、進行波や波状現象の形成、縞模様、六角形などの自己組織化パターン、散逸ソリトンなどのより複雑な構造など、幅広い挙動を示します。このようなパターンは「チューリングパターン」と呼ばれています。 ^{[ 1 ]}反応拡散微分方程式が成り立つ各関数は、実際には濃度変数を表します。

最も単純な反応拡散方程式は、平面幾何学における1次元空間で表され、

${\displaystyle \partial _{t}u=D\partial _{x}^{2}u+R(u),}$

これはコルモゴロフ・ペトロフスキー・ピスクノフ方程式とも呼ばれる。^{[ 2 ]}反応項がゼロの場合、この方程式は純粋な拡散過程を表す。対応する方程式はフィックの第2法則である。R ( u ) = u (1 − u )という選択は、もともと生物集団の拡散を記述するために使用されたフィッシャー方程式^{[ 3 ]}、レイリー・ベナール対流を記述するためのR ( u ) = u (1 − u ² )のニューウェル・ホワイトヘッド・セゲル方程式^{[ 4 ] [ 5 ]}、燃焼理論で発生するR ( u ) = u (1 − u )e ^{- β (1- u )}および0 < β < ∞ (ゼルドビッチ数) のより 一般的なゼルドビッチ・フランク・カメネツキー方程式^{[ 6 ]}、およびゼルドビッチ方程式とも呼ばれるR ( u ) = u ² − u ³の特殊な退化ケース^{[ 7 ]をもたらします。}

1成分系のダイナミクスは、進化方程式が変分形式でも記述できるため、一定の制約を受ける。

${\displaystyle \partial _{t}u=-{\frac {\delta {\mathfrak {L}}}{\delta u}}}$

したがって、「自由エネルギー」の永続的な減少を記述する${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$関数によって与えられる

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\tfrac {D}{2}}\left(\partial _{x}u\right)^{2}-V(u)\right]\,{\text{d}}x}$

電位V ( u )があり、 R ( u ) = ⁠ d V ( u ) / d u ⁠となる。

複数の定常同質解を持つシステムでは、典型的な解は同質状態を結ぶ進行波面によって与えられます。これらの解は形状を変えずに一定速度で移動し、u ( x , t ) = û ( ξ )の形をとります。ここでξ = x − ctであり、cは進行波の速度です。進行波は一般的に安定な構造ですが、すべての非単調定常解（例えば、前線と反前線のペアで構成される局所領域）は不安定であることに注意してください。c = 0の場合、この記述の簡単な証明があります。^{[ 8 ]} u ₀ ( x )が定常解で、u = u ₀ ( x ) + ũ ( x , t )が無限小摂動解である場合、線形安定性解析により次の式が得られます。

${\displaystyle \partial _{t}{\tilde {u}}=D\partial _{x}^{2}{\tilde {u}}-U(x){\tilde {u}},\qquad U(x)=-R^{\prime }(u){\Big |}_{u=u_{0}(x)}.}$

ũ = ψ ( x )exp(− λt )という仮定 を用いると、固有値問題にたどり着く。

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =\lambda \psi ,\qquad {\hat {H}}=-D\partial _{x}^{2}+U(x),}$

シュレーディンガー型であり、負の固有値は解の不安定性をもたらします。並進不変性により、ψ = ∂ _x u ₀ ( x )は固有値λ = 0を持つ中立固有関数であり、他のすべての固有関数は、対応する実固有値の大きさが零点の数とともに単調に増加する節点の数の増加に従ってソートできます。固有関数ψ = ∂ _x u ₀ ( x )は少なくとも 1 つの零点を持つ必要があり、非単調定常解の場合、対応する固有値λ = 0は最小値であってはならず、不安定性を意味します。

移動する前線の速度cを決定するには、移動座標系に移行して、静止解を調べることができます。

${\displaystyle D\partial _{\xi }^{2}{\hat {u}}(\xi )+c\partial _{\xi }{\hat {u}}(\xi )+R({\hat {u}}(\xi ))=0.}$

この方程式は、減衰係数 c を持つ力Rの下で、時間ξの間に位置ûにある質量Dの運動という、優れた力学的類似物を持っています。これにより、さまざまな種類の解の構築とcの決定へのかなり分かりやすいアクセスが可能になります。

空間次元が1次元から多次元になる場合でも、1次元システムからの多くの記述は依然として適用できます。平面または曲面の波面は典型的な構造であり、曲面の局所速度が局所曲率半径に依存するようになると新しい効果が生じます（これは極座標に移動することで確認できます）。この現象は、いわゆる曲率駆動不安定性につながります。^{[ 9 ]}

2成分系は、1成分系に比べてはるかに幅広い現象を生じさせる可能性がある。アラン・チューリングが最初に提唱した重要な考え方は、局所系で安定している状態が拡散の存在下では不安定になる可能性があるということである。^{[ 10 ]}

しかし、線形安定性解析によると、一般的な2成分システムを線形化すると、

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}u\\\partial _{t}v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\partial _{xx}u\\\partial _{xx}v\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}F(u,v)\\G(u,v)\end{pmatrix}}}$

平面波摂動

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {q} }}_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} ,t)={\begin{pmatrix}{\tilde {u}}(t)\\{\tilde {v}}(t)\end{pmatrix}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }}$

定常同相解の

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}{\tilde {u}}_{\mathbf {k} }(t)\\\partial _{t}{\tilde {v}}_{\mathbf {k} }(t)\end{pmatrix}}=-k^{2}{\begin{pmatrix}D_{u}{\tilde {u}}_{\mathbf {k} }(t)\\D_{v}{\tilde {v}}_{\mathbf {k} }(t)\end{pmatrix}}+\mathbf {R} ^{\prime }{\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{\mathbf {k} }(t)\\{\tilde {v}}_{\mathbf {k} }(t)\end{pmatrix}}.}$

チューリングのアイデアは、反応関数のヤコビ行列R ′の符号によって特徴付けられる4 つの同値類のシステムでのみ実現可能です。特に、有限波数ベクトルkが最も不安定であると仮定すると、ヤコビ行列は次の符号を持つ必要があります。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}+&-\\+&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}+&+\\-&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&+\\-&+\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&-\\+&+\end{pmatrix}}.}$

この種のシステムは、その最初の代表例にちなんで活性化因子-阻害因子システムと呼ばれています。基底状態に近い状態では、一方の成分が両方の成分の生成を促進し、もう一方の成分がそれらの成長を阻害します。その最も有名な代表例は、フィッツヒュー-ナグモ方程式です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u&=d_{u}^{2}\,\nabla ^{2}u+f(u)-\sigma v,\\\tau \partial _{t}v&=d_{v}^{2}\,\nabla ^{2}v+u-v\end{aligned}}}$

f ( u ) = λu − u ³ − κは、活動電位が神経を伝わる様子を表します。 ^{[ 11 ] [ 12 ]}ここで、d _u、d _v、τ、σおよびλは正の定数です。

活性化因子・阻害因子系においてパラメータが変化すると、均一な基底状態が安定な状態から、線形的に不安定な状態へと移行することがある。対応する分岐は、支配的な波数k = 0を持つ全体的に振動する均一状態へのホップ分岐、あるいは支配的な有限波数を持つ全体的にパターン化された状態へのチューリング分岐のいずれかである。後者は、2 次元空間において、一般的に縞模様または六角形のパターンを形成する。

• 亜臨界チューリング分岐：上記のフィッツヒュー・ナグモ型2成分反応拡散方程式系における、ノイズのある初期条件からの六角形パターンの形成。
• 
  t  = 0におけるノイズのある初期条件 。
• 
  t  = 10におけるシステムの状態 。
• 
  t  = 100でほぼ収束状態に達しました 。

フィッツヒュー・ナグモの例では、チューリング分岐とホップ分岐の線形安定領域の境界を示す中立安定性曲線は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{\text{n}}^{H}(k):&{}\quad {\frac {1}{\tau }}+\left(d_{u}^{2}+{\frac {1}{\tau }}d_{v}^{2}\right)k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}),\\[6pt]q_{\text{n}}^{T}(k):&{}\quad {\frac {\kappa }{1+d_{v}^{2}k^{2}}}+d_{u}^{2}k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}).\end{aligned}}}$

分岐が亜臨界の場合、パターンが基底状態と共存するヒステリシス領域では、局所的な構造（散逸ソリトン）がしばしば観測される。その他によく見られる構造としては、パルス列（周期進行波とも呼ばれる）、らせん波、ターゲットパターンなどがある。これら 3 つの解のタイプは、局所的なダイナミクスが安定なリミットサイクルを持つ 2 成分（またはそれ以上）の反応拡散方程式の一般的な特徴でもある^{[ 13 ]。}

• 上記フィッツヒュー・ナグモ型二成分反応拡散系に見られるその他のパタ​​ーン。
• 
  回転する螺旋。
• 
  ターゲットパターン。
• 
  定常的な局所パルス（散逸ソリトン）。

さまざまなシステムに対して、2 つ以上の成分を持つ反応拡散方程式が提案されている。例えば、ベロウソフ・ジャボチンスキー反応^{[ 14 ]}、血液凝固^{[ 15 ]}、核分裂波^{[ 16 ]} 、平面ガス放電システム^{[ 17 ]}などである。

構成要素が多いシステムでは、構成要素が 1 つまたは 2 つしかないシステムでは不可能なさまざまな現象 (たとえば、グローバル フィードバックなしで複数の空間次元で安定して動作するパルス) が可能になることが知られています。^{[ 18 ]}基礎となるシステムの特性に応じて起こりうる現象の概要と体系的な概観については、^{[ 19 ]に記載されています。}

近年、反応拡散方程式系はパターン形成のプロトタイプモデルとして大きな注目を集めている。^{[ 20 ]}上記のパターン（フロント、螺旋、ターゲット、六角形、縞模様、散逸ソリトン）は、局所反応項などの大きな相違にもかかわらず、さまざまなタイプの反応拡散方程式系で見ることができる。また、反応拡散過程は生物学における形態形成に関連する過程の基本的な基盤であると主張されており^{[ 21 ] [ 22 ]}、動物の毛皮や皮膚の色素沈着にも関連している可能性がある。^{[ 23 ] [ 24 ]}反応拡散方程式の他の応用例としては、生態系の侵入^{[ 25 ]}、伝染病の蔓延^{[ 26 ]}、腫瘍の成長^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}、分裂波のダイナミクス^{[ 30 ]} 、創傷治癒^{[ 31 ]}、視覚幻覚などがある。^{[ 32 ]}反応拡散方程式系への関心のもう一つの理由は、非線形偏微分方程式であるにもかかわらず、解析的処理の可能性があることが多いからである。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 20 ]}

化学反応拡散系における十分に制御可能な実験は、これまで3つの方法で実現されてきた。第一に、ゲル反応器^{[ 36 ]}または充填された毛細管^{[ 37 ]}を用いることができる。第二に、触媒表面上の温度パルスが研究されてきた。^{[ 38 ] [ 39 ]}第三に、神経パルスの伝播は反応拡散系を用いてモデル化されている。^{[ 11 ] [ 40 ]}

^{これらの一般的な例とは別に、適切な条件下では、プラズマ[ 41 ]}や半導体^{[ 42 ]}のような電気輸送システムも反応拡散アプローチで記述できることがわかっています。これらのシステムについては、パターン形成に関するさまざまな実験が行われています。

反応拡散方程式系は、数値数学の手法を用いて解くことができます。研究文献には、いくつかの数値的処理が存在します。^{[ 43 ] [ 20 ] [ 44 ]}複雑な形状に対する数値解法も提案されています。^{[ 45 ] [ 46 ]反応拡散方程式系は、可逆的な相互作用粒子反応ダイナミクスなどを採用した、SRSimやReaDDyなどの粒子ベースのシミュレーションツール[ 47 ]}によって、最も詳細に記述されます。^{[ 48 ]}

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