ZFK方程式

ZFK方程式は、ゼルドビッチ・フランク・カメネツキー方程式の略で、予混合火炎伝播をモデル化する反応拡散方程式です。この方程式は、1938年に方程式を導出したヤコフ・ゼルドビッチとデイビッド・A・フランク・カメネツキーにちなんで名付けられ、ナグモ方程式としても知られています。 ^{[1] [2]}この方程式は、反応項が指数関数的挙動を含み、進行波の伝播速度に関してKPP方程式とは根本的に異なることを除いて、 KPP方程式に類似しています。無次元形式では、方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial x^{2}}}+\omega (\theta )}$

の 典型的な形式は、${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle \omega ={\frac {\beta ^{2}}{2}}\theta (1-\theta )e^{-\beta (1-\theta )}}$

ここで、は無次元従属変数（通常は温度）であり、はゼルドビッチ数です。ZFK領域では、です。この式はに対するフィッシャーの式に簡約され、KPP 領域に対応します。ZFK 領域における進行波の最小伝播速度（通常は長時間漸近速度）は次のように与えられます。 ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta \gg 1}$${\displaystyle \beta \ll 1}$${\displaystyle \beta \ll 1}$${\displaystyle U_{min}}$

${\displaystyle U_{ZFK}\propto {\sqrt {2\int _{0}^{1}\omega (\theta )d\theta }}}$

一方、KPP体制では、

${\displaystyle U_{KPP}=2{\sqrt {\left.{\frac {d\omega }{d\theta }}\right|_{\theta =0}}}.}$

フィッシャー方程式と同様に、この問題には進行波解が存在します。波が右から左へ一定の速度で移動していると仮定すると、波に付随する座標、つまり では、問題は定常になります。ZFK方程式は次のように簡約されます。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle z=x+Ut}$

${\displaystyle U{\frac {d\theta }{dz}}={\frac {d^{2}\theta }{dz^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}}{ 2}}\theta (1-\theta )e^{-\beta (1-\theta )}}$

は境界条件およびを満たします。境界条件は十分に滑らかに満たされるため、導関数も として消えます。この方程式は 方向で並進不変なので、たとえば などの追加条件を使用して波の位置を固定できます。波の速度は解の一部として取得されるため、非線形固有値問題が構成されます。^[3]上記の方程式 の数値解、固有値、および対応する反応項は、 について計算された図に示されています。 ${\displaystyle \theta (-\infty )=0}$${\displaystyle \theta (+\infty )=1}$${\displaystyle d\theta /dz}$${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \theta (0)=1/2}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \beta =15}$

ZFK 状態は、活性化エネルギー漸近解析を用いて正式に解析されます。は大きいため、 項により反応項が実質的にゼロになりますが、 の場合はその項は無視できません。および の場合でも、反応項はゼロになります。したがって、右境界 に近い薄い層を除いて、どこでも が無視できることは明らかです。 したがって、問題は 3 つの領域、つまり内側の拡散反応領域とその両側の 2 つの外側の対流拡散領域に分割されます。 ${\displaystyle \beta \rightarrow \infty }$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle e^{-\beta (1-\theta )}}$${\displaystyle 1-\theta \sim 1/\beta }$${\displaystyle \theta =0}$${\displaystyle \theta =1}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \theta =1}$

外側の領域の問題は次のように与えられる。

${\displaystyle U{\frac {d\theta }{dz}}={\frac {d^{2}\theta }{dz^{2}}}.}$

条件を満たす解は である。この解は、（任意の選択）波の位置を領域内のどこかに固定するようにも作られている。なぜなら、問題は方向に並進不変だからである。 として、外部解は のように振る舞い、それは次のことを意味する。${\displaystyle \theta (-\infty )=0}$${\displaystyle \theta =e^{Uz}}$${\displaystyle \theta (0)=1}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z\rightarrow 0^{-}}$${\displaystyle \theta =1+Uz+\cdots }$${\displaystyle d\theta /dz=U+\cdots .}$

条件を満たす解は です。 であるため、外部解は のように動作し、したがって となります。 ${\displaystyle \theta (+\infty )=1}$${\displaystyle \theta =1}$${\displaystyle z\rightarrow 0^{+}}$${\displaystyle \theta =1}$${\displaystyle d\theta /dz=0}$

は では連続ですが、ではジャンプすることがわかります。導関数間の遷移は、内側の領域によって記述されます。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle d\theta /dz}$${\displaystyle z=0}$

となる内側の領域では、反応項はもはや無視できない。内側の層構造を調べるために、点 を囲む引き伸ばされた座標を導入する。なぜなら、点 は外側の解に従って が 1 に近づくからであり、引き伸ばされた従属変数 は に従って導入されるからである。これらの変数を支配方程式に代入し、主要な項のみを集めると、次式が得られる。 ${\displaystyle 1-\theta \sim 1/\beta }$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \eta =\beta z,\,\Theta =\beta (1-\theta ).}$

${\displaystyle 2{\frac {d^{2}\Theta }{d\eta ^{2}}}=\Theta e^{-\Theta }.}$

境界条件は、先に得られた外部解の局所的挙動から得られ、これを内部ゾーン座標で書くと、および となる。同様に、 として、 が見つかる。これらの境界条件を課した後の上記方程式の最初の積分は、 ${\displaystyle \eta \rightarrow -\infty }$${\displaystyle \Theta \rightarrow -U\eta =+\infty }$${\displaystyle d\Theta /d\eta =-U}$${\displaystyle \eta \rightarrow +\infty }$${\displaystyle \Theta =d\Theta /d\eta =0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.\left({\frac {d\Theta }{d\eta }}\right)^{2}\right|_{\Theta =\infty }-\left.\left({\frac {d\Theta }{d\eta }}\right)^{2}\right|_{\Theta =0}&=\int _{0}^{\infty }\Theta e^{-\Theta }d\Theta \\U^{2}&=1\end{aligned}}}$

これは を意味する。最初の積分から、波の速度の2乗はの積分値（ に関して）に比例することが明らかである（もちろん、大きな極限では、内側の領域のみがこの積分に寄与する）。 を代入した後の最初の積分は次のように与えられる 。${\displaystyle U=1}$${\displaystyle U^{2}}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle U=1}$

${\displaystyle {\frac {d\Theta }{d\eta }}=-{\sqrt {1-(\Theta +1)\exp(-\Theta )}}.}$

KPP領域では、ここで使用される反応項に対して、適用可能なKPP速度は^[5]で与えられる。${\displaystyle U_{min}=U_{KPP}.}$${\displaystyle \beta \ll 1}$

${\displaystyle U_{KPP}=2{\sqrt {\left.{\frac {d\omega }{d\theta }}\right|_{\theta =0}}}={\sqrt {2}}\beta e^{-\beta /2}}$

一方、ZFK モードで、上で見たように。 のさまざまな値に対する方程式の数値積分により、に対してのみとなる臨界値が存在することが示されました。の場合、はより大きくなります。 が近づくにつれて、ZFK モードに近づきます。KPP モードと ZFK モードの間の領域は、KPP-ZFK 遷移領域と呼ばれます。 ${\displaystyle U_{ZFK}=1}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta _{*}=1.64}$${\displaystyle \beta \leq \beta _{*}}$${\displaystyle U_{min}=U_{KPP}.}$${\displaystyle \beta \geq \beta _{*}}$${\displaystyle U_{min}}$${\displaystyle U_{KPP}}$${\displaystyle \beta \gg 1}$${\displaystyle U_{min}}$${\displaystyle U_{ZFK}=1}$

臨界値は反応モデルに依存し、例えば次のように表される。

${\displaystyle \beta _{*}=3.04\quad {\text{for}}\quad \omega \propto (1-\theta )e^{-\beta (1-\theta )}}$

${\displaystyle \beta _{*}=5.11\quad {\text{for}}\quad \omega \propto (1-\theta )^{2}e^{-\beta (1-\theta )}.}$

KPP-ZFK遷移を解析的に予測するために、ポール・クラビンとアマブル・リニャンは単純な区分線形モデルを提案した^[6]

${\displaystyle \omega (\theta )={\begin{cases}\theta \quad {\text{if}}\quad 0\leq \theta \leq 1-\epsilon ,\\h(1-\theta )/\epsilon ^{2}\quad {\text{if}}\quad 1-\epsilon \leq \theta \leq 1\end{cases}}}$

ここで、 およびは定数です。モデルの KPP 速度は ですが、ZFK 速度は二重極限でとして得られ、付近での反応の急激な増加を模倣します。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle U_{KPP}=2}$${\displaystyle U_{ZFK}={\sqrt {h}}}$${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$${\displaystyle h\rightarrow \infty }$${\displaystyle \theta =1}$

このモデルでは、次のような 臨界値が存在する。${\displaystyle h_{*}=1-\epsilon ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{cases}h<h_{*}:&\quad U_{min}=U_{KPP},\\h>h_{*}:&\quad U_{min}={\frac {h/(1-\epsilon )+1-\epsilon }{\sqrt {h/(1-\epsilon )-\epsilon }}},\\h\gg h_{*}:&\quad U_{min}\rightarrow U_{ZFK}\end{cases}}}$

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