散逸ソリトン

散逸ソリトン( DS ) は、自己組織化のメカニズムにより、非線形の空間的に拡張された散逸システムで発生する安定した孤立した局所構造です。これらは、保存システムにおける古典的なソリトン概念の拡張として考えることができます。別の用語には、オートソリトン、スポット、パルスなどがあります。

結合状態の形成のような古典的粒子の挙動に類似した側面とは別に、DS は、エネルギーや運動量保存の制約なしに、散乱、生成、消滅などの興味深い挙動を示します。内部自由度の励起により、動的に安定した固有速度、または形状の周期的な振動が生じる可能性があります。

DS は長い間実験的に観測されてきました。 ヘルムホルツ^[1]は1850 年に神経パルスの伝播速度を測定しました。1902 年にはレーマン^[2]が長いガス放電管に局所的な陽極スポットが形成されることを発見しました。しかし、「ソリトン」という用語はもともと別の文脈で生まれました。その出発点は、1834 年にラッセルが「孤立水波」を実験的に検出したことでした。 ^[3] これらの観察は、 1870 年頃にレイリー^[4]とブシネスク^[5]の理論的研究のきっかけとなり、最終的に 1895 年にコルテウェグとデ フリースがそのような波のおおよその記述に至りました。この記述は今日 (保守的な) KdV方程式として知られています。^[6]

このような背景から、1965年にザブスキー氏とクラスカル氏^[7]が「ソリトン」という用語を作り出した。彼らはKdV方程式のよく局所化された孤立解を調査し、これらの物体をソリトンと名付けた。とりわけ、彼らは1次元空間にソリトンが存在することを実証した。例えば、ソリトンは2つの異なるサイズと速度を持つ一方向に伝播するパルスの形で存在し、衝突の前後で数、形状、サイズが同じであるという注目すべき特性を示す。

ガードナーら^[8]は KdV方程式を解くための 逆散乱法を導入し、この方程式が完全に積分可能であることを証明した。1972年にザカロフとシャバット^[9]は別の積分可能な方程式を発見し、最終的に逆散乱法は方程式の全クラス（例えば 非線形シュレーディンガー方程式や サインゴードン方程式）に適用できることが判明した。1965年から1975年頃にかけて、ソリトンという用語を、逆散乱法を使用して解くことができる保守的な非線形偏微分方程式のパルス状孤立解に限定するという共通の合意に達した。

古典ソリトンに関する知識が増えるにつれて、技術的な応用の可能性が見えてきました。現在最も有望視されているのは、データ伝送を目的とした ガラスファイバーを介した光ソリトンの伝送です。保守的なシステムとは対照的に、ファイバー内のソリトンはエネルギーを散逸し、これは中期および長期の時間スケールでは無視できません。それでも、古典ソリトンの概念は、短期スケールではエネルギーの散逸を無視できるという意味で依然として使用できます。中期スケールでは、小さなエネルギー損失を摂動として考慮する必要があり、長期スケールではソリトンの振幅は減衰して最終的に消滅します。^[10]

しかしながら、孤立構造を生成でき、その形成と安定化に散逸が重要な役割を果たす様々なタイプのシステムが存在する。これらのDSの特定のタイプに関する研究は長い間行われてきたが（例えば、1952年のホジキンとハクスリー^の研究で最高潮に達した神経パルスの研究を参照）、1990年以降、研究量は大幅に増加した（例えば、^{[12] [13] [14] [15]を参照）。考えられる理由は、実験装置と分析技術の改善、および数値計算用のより強力なコンピュータの利用可能性である。今日では、強い散逸システムの孤立構造に対して}散逸ソリトンという用語を使用するのが一般的である。

現在、DSはさまざまな実験装置で使用されています。例としては、

• ガス放電システム：放電空間内に閉じ込められたプラズマ。放電空間は主放電長に比べて横方向に長いことが多い。DSは電極間の電流フィラメントとして発生し、高抵抗バリアを備えたDCシステム^[16] 、誘電体バリアを備えたACシステム^[17]、陽極スポット^[18]、金属電極を備えた遮蔽放電^{[19]で発見された。}

• 高抵抗障壁を有する平面直流ガス放電システムで実験的に観測されたDS
• 
  振動テールのない平均電流密度分布。
• 
  振動する裾を持つ平均電流密度分布。

• 半導体システム：ガス放電に似ていますが、ガスの代わりに半導体材料が2つの平面または球状の電極の間に挟まれています。セットアップには、SiおよびGaAs pinダイオード^[20]、n-GaAs、^[21]、Si p ⁺ −n ⁺ −p−n ⁻、^[22]、およびZnS:Mn構造が含まれます。^[23]
• 非線形光学システム: 高強度の光ビームが非線形媒体と相互作用します。通常、媒体はビームの伝播時間に比べてかなり遅い時間スケールで反応します。多くの場合、出力は単一ミラーフィードバックまたはフィードバックループを介して入力システムにフィードバックされます。DS は、ビームの伝播方向に直交する 2 次元平面の明るいスポットとして発生することがありますが、偏光などの他の効果を利用することもできます。DS は、飽和吸収体、^[24]縮退光パラメトリック発振器(DOPO)、^[25]液晶光バルブ(LCLV)、^[26]アルカリ蒸気システム、^[27] フォトリフラクティブ媒体、^[28]および半導体マイクロ共振器で観測されています。^[29]
• DSのベクトル特性を考慮すると、ベクトル散逸ソリトンは、飽和吸収体を介して受動的にモードロックされたファイバーレーザーでも観測される可能性がある。^[30]
• さらに、SESAMで受動的にモード同期された全正常分散ファイバーレーザーで多波長散逸ソリトンが得られました。キャビティの複屈折に応じて、安定した単一、二重、三重波長散逸ソリトンがレーザー内に形成できることが確認されました。その生成メカニズムは散逸ソリトンの性質にまで遡ることができます。^[31]
• 化学システム：1次元および2次元の反応器として、あるいは触媒表面を介して実現されるDSは、濃度または温度が上昇するパルス（多くの場合、伝播するパルス）として現れる。代表的な反応としては、ベロウソフ・ジャボチンスキー反応、^[32]フェロシアン化物-ヨウ素酸-亜硫酸塩反応、水素、^[33] CO、^[34]または鉄の酸化がある。^[35] 神経パルス^[11]または片頭痛のオーラ波^[36]もこのクラスのシステムに属する。
• 振動媒体：垂直に振られた粒状媒体^{[37] 、} コロイド懸濁液^[38]、ニュートン流体^[39]は、調和的または調和未満に振動する物質の塊を生成し、これは通常オシロンと呼ばれます。
• 流体力学システム：最も顕著なDSの実現例は、二成分液体中の伝導背景状態における対流ロールの領域である。 ^[40]別の例としては、油で満たされた回転円筒管内を移動するフィルムが挙げられる。^[41]
• 電気ネットワーク：非線形の電流-電圧特性を持つ結合された細胞の大規模な1次元または2次元配列。^[42] DSは細胞を流れる電流が局所的に増加するという特徴がある。

驚くべきことに、現象的には、上記のシステムの多くにおける DS のダイナミクスは、微視的な違いにもかかわらず類似しています。典型的な観察結果は、(固有の) 伝播、散乱、束縛状態とクラスターの形成、勾配のドリフト、相互浸透、生成、消滅、および高次の不安定性です。

DSを示すシステムのほとんどは、非線形偏微分方程式で記述されます 。離散差分方程式や セルオートマトンも使用されます。これまで、第一原理からモデリングし、実験と理論を定量的に比較することはまれにしか行われておらず、微視的および巨視的時間および空間スケールの大きな相違のために深刻な問題が発生することもあります。多くの場合、より大規模な実験システムにおける基本的な物理プロセスを反映する単純化されたプロトタイプモデルが調査されます。これらの中には、

• 反応拡散系は化学システム、ガス放電、半導体などに用いられる。^[43]さまざまな反応物の濃度を表す状態ベクトルq ( x ,  t )の変化は、拡散と局所反応によって決定される。

${\displaystyle \partial _{t}{\boldsymbol {q}}={\underline {\boldsymbol {D}}}\,\Delta {\boldsymbol {q}}+{\boldsymbol {R}}({\boldsymbol {q}}).}$

よく見られる例としては、2成分のフィッツヒュー・ナグモ型活性剤・阻害薬システムがある。

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}\tau _{u}\,\partial _{t}u\\\tau _{v}\,\partial _{t}v\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}d_{u}^{2}&0\\0&d_{v}^{2}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\Delta u\\\Delta v\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}\lambda uu^{3}-\kappa _{3}v+\kappa _{1}\\uv\end{array}}\right).}$

定常DSは、DSの中心部での物質の生成、尾部への拡散輸送、および尾部での物質の枯渇によって生成される。伝播するパルスは、先端での生成と後端での枯渇によって生じる。^{[44]その他の効果としては、DSの周期的な振動（「呼吸」）、 [45] [46]}束縛状態、^[47]衝突、合体、生成、消滅が見られる。 ^[48]

• 複素スカラーq ( x ,  t )に対するギンツブルグ・ランダウ型システム。非線形光学システム、プラズマ、ボーズ・アインシュタイン凝縮、液晶、粒状媒体を記述するために使用される。^[49]よく見られる例としては、三次五次亜臨界ギンツブルグ・ランダウ方程式がある。

${\displaystyle \partial _{t}q=(d_{r}+id_{i})\,\Delta q+\ell _{r}q+(c_{r}+ic_{i})|q|^{2}q+(q_{r}+iq_{i})|q|^{4}q.}$

DSの形成に至るメカニズムを理解するために、エネルギーρ = | q | ²を考慮し、連続方程式を導出する必要がある。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}\rho +\nabla \cdot {\boldsymbol {m}}=S=d_{r}(q\,\Delta q^{\ast }+q^{\ast }\,\Delta q)+2\ell _{r}\rho +2c_{r}\rho ^{2}+2q_{r}\rho ^{3}\\&{\text{with }}{\boldsymbol {m}}=2d_{i}\operatorname {Im} (q^{\ast }\nabla q).\end{aligned}}}$

これにより、エネルギーは一般にDSの側面で生成され、中心に運ばれ、場合によっては尾部にも運ばれ、そこで枯渇することがわかる。動的現象には、1dで伝播するDS、^[50] 2dで伝播するクラスター、^[51]束縛状態と渦ソリトン、^[52]および「爆発するDS」が含まれる。^[53]

• スウィフト・ホーエンベルグ方程式は非線形光学や炎や電気対流の粒状媒体の力学で用いられる。スウィフト・ホーエンベルグ方程式はギンツブルグ・ランダウ方程式の拡張として考えることができる。次のように書ける。

${\displaystyle \partial _{t}q=(s_{r}+is_{i})\,\Delta ^{2}q+(d_{r}+id_{i})\,\Delta q+\ell _{r}q+(c_{r}+ic_{i})|q|^{2}q+(q_{r}+iq_{i})|q|^{4}q.}$

d _r > 0の場合、本質的にはギンツブルグ・ランダウ方程式と同じメカニズムになります。^[54] d _r < 0の場合 、実スウィフト・ホーエンベルグ方程式では、均質状態とチューリングパターンの間に双安定性が見られます。DS は均質背景上の定常な局所チューリング領域です。^[55]これは複素スウィフト・ホーエンベルグ方程式にも当てはまりますが、伝播する DS や相互作用現象も可能であり、合体や相互浸透が観察されます。^[56]

• 空間次元における上記モデル方程式の数値解としてDSのダイナミクスと相互作用を示す空間時間プロット
• 
  活性剤u (左半分) と抑制剤v (右半分)を含む 2 成分反応拡散システムのソリューションとしての単一の「呼吸」 DS 。
• 
• 

多くの異なるシステムにおける DS は、普遍的な粒子のような特性を示します。後者を理解して記述するためには、フィールド記述におけるすべての高速変数を断熱的に除去することによって、DS の位置、速度、振幅などのゆっくりと変化する秩序パラメータの「粒子方程式」を導出することが考えられます。この手法は線形システムでは知られていますが、高速モードと低速モードの結合により、非線形モデルでは数学的な問題が生じます。^[57]

低次元動的システムと同様に、定常DSの超臨界分岐では、システムの対称性に本質的に依存する特徴的な正規形が見つかる。例えば、対称定常DSから本質的に伝播するDSへの遷移では、ピッチフォーク正規形が見つかる。

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {v}}}=(\sigma -\sigma _{0}){\boldsymbol {v}}-|{\boldsymbol {v}}|^{2}{\boldsymbol {v}}}$

DSの速度vについては^[58] 、 σは分岐パラメータ、σ0は分岐点を表す_。 「呼吸する」DSへの分岐については、ホップ正規形が見つかる。

${\displaystyle {\dot {A}}=(\sigma -\sigma _{0})A-|A|^{2}A}$

振動の振幅Aについて。 ^[46] DSの重なりが大きすぎない限り、「弱い相互作用」を扱うことも可能である。^[59]このようにして、実験と理論の比較が容易になる。^{[60] [61]} 逆散乱理論は完全な解析解を与えるため、上記の問題は古典ソリトンでは発生しないことに注意する。

• クラポティス
• コンパクトサポートを持つソリトンであるコンパクトトン
• ファイバーレーザー
• 異常波は関連した現象かもしれない
• グラフェン
• 非線形シュレーディンガー方程式
• 非線形システム
• オシロン
• 微分不可能なピークを持つソリトン、ピーコン
• Qボール、非位相的ソリトン
• サイン・ゴードン方程式
• 離散媒質中の孤立波^[62]
• ソリトン（光学）
• ソリトン（位相的）
• 神経インパルス伝播のソリトンモデル
• 位相量子数
• ベクトルソリトン

• N. Akhmediev および A. Ankiewicz、「散逸ソリトン」、物理学講義ノート、Springer、ベルリン (2005)
• N. Akhmediev および A. Ankiewicz、「散逸ソリトン: 光学から生物学および医学まで」、物理学講義ノート、Springer、ベルリン (2008)
• H.-G. Purwins 他、Advances in Physics 59 (2010): 485 doi :10.1080/00018732.2010.498228
• AW Liehr:反応拡散システムにおける散逸ソリトン。メカニズム、ダイナミクス、相互作用。Springer Series in Synergetics 第 70 巻、Springer、ベルリン ハイデルベルク 2013、ISBN 978-3-642-31250-2