弱測定可能関数

数学、特に関数解析において、バナッハ空間に値を取る弱可測関数とは、双対空間の任意の要素との合成が通常の（強い）意味での可測関数となる関数である。可分空間の場合、弱可測性と強可測性の概念は一致する。

が可測空間であり、が体（実数または複素数）上のバナッハ空間である場合、任意の連続線型関数に対して関数 が に関して可測関数であり、上の通常のボレル代数であるとき、は弱可測であると言われる。${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f:X\to B}$ ${\displaystyle g:B\to \mathbb {K} ,}$$${\displaystyle g\circ f\colon X\to \mathbb {K} \quad {\text{ }}\quad x\mapsto g(f(x)) によって定義される}$$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \mathbb {K} .}$

確率空間上の測定可能な関数は、通常、ランダム変数（または、バナッハ空間などのベクトル空間で値を取る場合はランダムベクトル）と呼ばれます。したがって、上記の定義の特別なケースとして、が確率空間である場合、関数は（ -値の）弱いランダム変数（または弱いランダムベクトル）と呼ばれ、任意の連続線形関数に対して、関数が 通常の意味で -値ランダム変数（つまり、測定可能な関数） であり、および上の通常のボレル-代数に関して、${\displaystyle B}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {P}})}$${\displaystyle Z:\Omega \to B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle g:B\to \mathbb {K} ,}$$${\displaystyle g\circ Z\colon \Omega \to \mathbb {K} \quad {\text{ }}\quad \omega \mapsto g(Z(\omega )) によって定義される}$$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \mathbb {K} .}$

測定可能性と弱測定可能性の関係は、ペティスの定理またはペティスの測定可能性定理として知られる次の結果によって与えられます。

関数がほぼ確実に分離可能に値を持つ（または本質的に分離可能に値を持つ）と言われるのは、が分離可能なような部分集合が存在する場合です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle N\subseteq X}$${\displaystyle \mu (N)=0}$${\displaystyle f(X\setminus N)\subseteq B}$

が分離可能な場合、分離可能なバナッハ空間の任意の部分集合はそれ自体が分離可能であるため、上を空と見なすことができ、 が分離可能な場合、弱可測性と強可測性の概念が一致することになります。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B}$

• ボクナー測定関数
• ボッホナー積分 – ルベーグ積分のバナッハ空間値関数への一般化フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• ボホナー空間 – 位相空間の種類
• ペティス積分
• ベクトル測定

• Pettis, BJ (1938). 「ベクトル空間における積分について」. Trans. Amer. Math. Soc . 44 (2): 277–304. doi : 10.2307/1989973 . ISSN  0002-9947. MR  1501970.
• Showalter, Ralph E. (1997)。「定理 III.1.1」。バナッハ空間の単調演算子と非線形偏微分方程式。数学調査とモノグラフ 49。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会。p. 103。ISBN 0-8218-0500-2. MR  1422252。