準正多面体

幾何学において、準正多面体とは、各頂点の周囲に交互に現れる2 種類の正面を持つ均一な多面体です。これらは頂点推移的かつ辺推移的であるため、単に頂点推移的な半正多面体よりも正多面体に一歩近づきます。

これらの双対図形は面推移的かつ辺推移的であり、各面の周囲で交互に現れる2 種類の正則頂点図形を持ちます。これらは準正則図形と見なされることもあります。

凸状の準正多面体は、立方八面体と二十二十二面体の2 つだけです。ケプラーが付けたこれらの名前は、前者の場合はそれらの面が、双対立方体と八面体のすべての面 (異なる向きに回転) であり、後者の場合は双対二十面体と十二面体のすべての面 (異なる向きに回転)であることから付けられました。

正多面体とその双対図形のペアを表すこれらの形式には、垂直のシュレーフリ記号 またはr{p,q}が与えられ、それらの面が正多面体{p,q}と双対正多面体{q,p}の両方の面（異なる向き）すべてであることを表すことができます。この記号を持つ準正多面体は、頂点配置p.qpq（または(pq) ²）を持ちます。 ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$

より一般的には、準正則図形は頂点配置 (pq) ^{r を}持ち、頂点の周りの面の r 個(2 個以上)のシーケンスを表します。

平面上のタイリングも準正則になる可能性があり、具体的には頂点配置が(3.6) ^2である三六角形タイリングです。双曲面上には、三七角形タイリング(3.7) ^{2のような}他の準正則タイリングも存在します。またはより一般的には、(pq) ²（1/p + 1/q < 1/2 ）です。

各頂点に偶数の面がある正多面体とタイリングも、同じ次数の面を区別し、交互に色を付けるなど、異なる方法で表現することによって準正多面体と見なすことができます（表面の方向を定義せずに）。シュレーフリ記号 {p,q}を持つ正多面体は、 qが偶数の場合、頂点構成(pp) ^q/2で準正多面体と見なすことができます。

例:

正八面体（シュレーフリ記号{3,4}で4が偶数）は、頂点配置（3.3）^4/2 =（3 _a .3 _b）^{2で、三角形の面が2色交互になっている、四面体（}四面体の4つの三角形の2組）として準正八面体と見なすことができます。

頂点配置4 ⁴および4が偶数である正方形のタイリングは、頂点配置(4.4) ^4/2 = (4 _a .4 _b ) ^2で、市松模様のように色付けされた準正則と見なすことができます。

頂点配置3 ⁶および6が偶数である三角形のタイリングは、頂点配置(3.3) ^6/2 = (3 _a .3 _b ) ³で、三角形の面の2つの色が交互になっている準正則と見なすことができます。

コクセターは、準正多面体をp | qrの形のウィトフ記号を持つ多面体と定義し、q=2またはq=rの場合には正多面体であるとしている。^[1]

コクセター・ディンキン図は、2 つの双対正則形式間の準正則関係を示す別の記号表現です。

均一な凸準正多面体は2 つあります。

1. 立方八面体 、頂点配置（3.4）²、コクセター・ディンキン図${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}}$
2. 二十面体 、頂点配置（3.5）²、コクセター・ディンキン図${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\5\end{Bmatrix}}}$

さらに、正八面体、頂点配置(3.3) ²も正八面体であり、交互の面に異なる色を付けることにより、準正八面体と見なすことができます。この形式では、四面体 と呼ばれることもあります。残りの凸正多面体は、各頂点に奇数の面があるため、辺の推移性を維持する方法で色を付けることはできません。コクセター・ディンキン図があります。${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$

これらはそれぞれ、正多面体の双対の共通核を形成します。これらのうち 2 つの名前は、関連する双対のヒントを与えてくれます。それぞれ、立方体八面体、および二十面体十二面体です。八面体は、四面体の双対の共通核です(ステラ オクタングラと呼ばれる化合物)。このようにして導かれる八面体は、四面体四面体、つまり四面体四面体と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \cap}$ ${\displaystyle \cap}$ ${\displaystyle \cap}$

これらの準正多面体は、いずれかの正多面体に対して、元の辺が中点まで縮小されるまで頂点を完全に 切り捨てる補正操作を行うことで構築できます。

このシーケンスは、三角形のタイリングと六角形のタイリングに基づく準正則タイリングである三六角形のタイリング、頂点図 （3.6）²として続きます。

チェッカーボードパターンは正方形のタイルの準規則的な色付けであり、頂点図 （4.4）²：

三角形のタイリングは、各頂点に3組の三角形が交互に並ぶ準正三角形とも考えられます（3.3）³：

双曲平面では、このシーケンスはさらに続き、たとえば、三七角形タイリング、頂点図 (3.7) ^2は、次数7の三角形タイリングと七角形タイリングに基づく準正則タイリングです。

Coxeter、HSMら (1954) も、同じ特徴を持つ特定の星型多面体を準規則多面体として分類しています。

2つは凸の例と同じように、 正則ケプラー・ポアンソ立体の双対に基づいています。

大二十十二面体 と 十二十二面体: ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\5/2\end{Bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}5\\5/2\end{Bmatrix}}}$

さらに 9 つの半多面体は、正多面体の平行移動から派生した前述の準正多面体の面分割された形態です。これらには、多面体の中心を通る赤道面が含まれます。

最後に、正十二面体のファセットである 3 つの二角形があり、その頂点図形には 2 つの面タイプの 3 つの交互が含まれています。

ユークリッド平面では、半多面体のシーケンスは次の 4 つの星型タイリングに続き、アペイロゴンは前述の赤道多角形として表示されます。

一部の専門家は、準正則立体の双対は同じ対称性を共有しているので、これらの双対も準正則と呼ぶべきだと主張しています。しかし、誰もがこの用語を使用しているわけではありません。これらの双対は、辺と面（頂点ではない）で推移的です。これらは、辺推移カタラン立体です。凸型のものは、上記の対応する順序で次のとおりです。

1. 菱形十二面体。頂点が交互に並ぶ 2種類があり、菱形面が 3 つあるものが 8 個、菱形面が 4 つあるものが 6 個です。
2. 2種類の交互頂点を持つ菱形三十面体。3 つの菱形面を持つものが 20 個、5 つの菱形面を持つものが 12 個あります。

さらに、八面体との双対性により、通常は正方体である立方体は、交互の頂点に異なる色を与えると準正方体にすることができます。

それらの面構成はV3.n.3.nの形をしており、コクセター・ディンキン図

これら 3 つの準正則双対面は、菱形の面を持つことでも特徴付けられます。

この菱形面のパターンは、V(3.6) ² （菱形タイル）として続きます。

高次元では、コクセターは準正多面体またはハニカムを、正則な面と準正則な頂点図形を持つものとして定義しました。これにより、すべての頂点図形は合同であり、交互に現れる2種類の面が存在することになります。^[2]

ユークリッド4次元空間では、正則16セルは、交代四次元方陣、h{4,3,3}、コクセター図として準正則と見なすこともできます。=は、交互に並んだ四面体と四面体 セルから構成されています。頂点図形は準正四面体（四面体対称性を持つ八面体）です。。

ユークリッド3次元空間における唯一の準正則ハニカムは交互立方ハニカム、h{4,3,4}、コクセター図です。=正四面体と正八面体の セルが交互に並んでいる。頂点図形は準正立方八面体である。^[2 ]

双曲3次元空間では、準正則ハニカムの1つは、交互の5次立方ハニカム、h{4,3,5}、コクセター図です。=正二十面体と正二十面体の セルが交互に並んでいる。頂点図形は準正二十面体である。^[3]関連する準コンパクトな交互6次立方ハニカムh{4,3,6}は、四面体と六角形のタイルセルが交互に並び、頂点図形は準正六角形のタイルである。。

正多孔体またはハニカム{p,3,4}または対称性が半分にカットされる可能性がある準正規形に交互に色分けされた{p,3}セルを作成します。これらのケースには、立方体セルを持つユークリッド立方ハニカム{4,3,4} 、十二面体セルを持つコンパクト双曲面{5,3,4} 、無限六角形タイリングセルを持つパラコンパクト{6,3,4}が含まれます。各辺の周りに4つのセルがあり、2色が交互になっています。頂点図形は準正四面体で、=。

同様に{p,3,6}の形をした正則双曲ハニカムまたは対称性が半分にカットされる可能性がある準正規形に交互に色分けされた{p,3}セルを作成します。各辺の周りには2色が交互に並ぶ6つのセルがあります。頂点図形は準正三角形のタイルです。。

• キラル多面体
• 修正（幾何学）

• クロムウェル、P.多面体、ケンブリッジ大学出版局（1977年）。
• コクセター、『正多面体』（第 3 版、1973 年）、ドーバー版、ISBN 0-486-61480-8、2.3準正多面体（p. 17）、準正ハニカム p.69 

• ワイスタイン、エリック W.「準正多面体」。マスワールド。
• Weisstein、Eric W.「均一多面体」。MathWorld。準正多面体: (pq) ^r
• ジョージ・ハート、準正多面体