半多面体

幾何学において、半多面体とは、その中心を通る面を持つ均一な星型多面体である。これらの「半」面は他の対称多面体の面と平行であり、その面の数は他の多面体の面の数の半分である。そのため「半」という接頭辞が付けられている。^[1]

接頭辞「ヘミ」は、中心対称性を持つ球面多面体の 2 対 1 マップのイメージであるヘミキューブなどの特定の射影多面体を指す場合にも使用されます。

これらのWythoff 記号は^p / _{( p  −  q )}  ^p / _q  |  rの形式で、頂点図形は交差四辺形です。したがって、これらは同様の Wythoff 記号を持つ交差多面体と関連しています。頂点の構成は^p / _q .2 r . ^p / _{( p  −  q )} .2 rです。2 つのr角形の面はモデルの中心を通ります。球面多面体の面として表すと、半球全体を覆い、辺と頂点は大円に沿って配置されます。^p / _{( p  − q)表記は、頂点図形の周りを後ろ向きに回る}{ ^p / _q }面を意味します。

ウィトフ記号と頂点構成とともにリストされている 9 つの形式は次のとおりです。

ウィトフの万華鏡のような構成では、向き付け不可能な半多面体 (八半八面体を除くすべて) が二重被覆 (一致する 2 つの半多面体) として生成されることに注意してください。

ユークリッド平面では、半多面体の配列は次の 4 つの星型タイルに続き、アペイロゴンは前述の赤道多角形として表示されます。^[要出典]

これら 4 つのタイリングのうち、6/5 6 | ∞ のみが Wythoff の構築によって二重カバーとして生成されます。

八半八面体だけが向き付け可能な面を表し、残りの半多面体は向き付け不可能な面または片面面である。これは、赤道 2 r角形の周りを進むと、^p / _q角形の面が交互に「上」と「下」を向いているため、連続する 2 つの面は反対の向きになる。これは、対応する以下の準正多面体の^p / _q角形に、正と負の向きを交互に与えることができることを要求するのと同じである。しかし、それが可能なのは、正八面体の三角形 (頂点で出会う面の数が偶数である唯一の正多面体である八面体の三角形に対応) のみであり、これはまさに八半八面体の非半面である。^[2]

半多面体は中心を通る面を持っているので、双対図形は 対応する頂点を無限遠に持つ。正確には、実無限遠射影平面上にある。 ^[3]マグナス・ヴェニンガーの双対モデルでは、対称性を保つために、交差するプリズムで表現され、それぞれが両方向に同じ無限遠頂点まで伸びている。実際には、モデルのプリズムは作成者に都合の良い特定の点で切断される。ヴェニンガーは、これらの図形が無限遠への星状化と呼ばれる新しい種類の星状図形のメンバーであると示唆した。しかし、彼はまた、その構成が通常の定義に従っていないため、厳密に言えば多面体ではないとも示唆した。

このような双対は 9 つあり、5 つの異なる外形のみを共有し、そのうち 4 つは外形的に同一のペアとして存在します。視覚的に同一のペアのメンバーは、真の頂点と偽の頂点の配置が異なります (偽の頂点とは、2 つの辺が交差しているが結合していない頂点のことです)。外形は次のとおりです。

半多面体は、頂点に 4 つの面がある準正多面体の面分割として対になって発生します。これらの準正多面体の頂点構成はm . n . m . nであり、その辺は、 m角形とn角形の面を形成することに加えて、半多面体の半面も形成します。したがって、準正多面体から半多面体を作成するには、 m角形またはn角形のいずれかを破棄し (辺に 2 つの面を維持するため)、次に半面を挿入します。m 角形または n 角形のいずれかを破棄できるため、各準正多面体から 2 つの半多面体のいずれかを派生できます。ただし、m = n = 3 で 2 つの面分割が合同な四面体としての八面体は除きます。 （この構成は、頂点に6つの面を持つ準正多面体（二三角多面体とも呼ばれる）では、辺が正半面を形成しないため、機能しません。）^[1]

半多面体は、準正多面体と同様に、各頂点の周りに交互に2種類の面を持つため、準正多面体であると考えられることもあります。^[1]

ここで、mとn は上記の^p / _qに対応し、h は上記の2 rに対応します。

• コクセター、ハロルド・スコット・マクドナルド、ロンゲット・ヒギンズ、MS、ミラー、JCP (1954)、「均一多面体」、ロンドン王立協会哲学論文集。シリーズ A。数学および物理科学、246 (916)、王立協会: 401–450、doi :10.1098/rsta.1954.0003、ISSN  0080-4614、JSTOR  91532、MR  0062446
• ウェニンガー、マグナス（1974）、多面体モデル、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-09859-5、MR  0467493（ウェニンガーモデル：67、68、78、89、91、100、102、106、107）
• ウェニンガー、マグナス（1983）、デュアルモデル、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-54325-5、MR  0730208
• Har'El、Z. 均一多面体の均一ソリューション、Geometriae Dedicata 47、57-110、1993。Zvi Har'El (ページ 10、5.2. 半多面体 pp'|r.)

• ステラ多面体用語集
• ビジュアル多面体における正多面体