伝達関数

工学において、システム、サブシステム、またはコンポーネントの伝達関数（システム関数^{[ 1 ]}またはネットワーク関数とも呼ばれる）は、考えられるすべての入力に対するシステムの出力をモデル化する数学関数です。 ^[²^]^[³^]^[⁴^]これは、回路シミュレータや制御システムなどの電子工学ツールや、反応器の滞留時間分布と安定性の研究とモデル化のための化学反応工学で広く使用されています。^[⁵^]単純なケースでは、この関数は、独立したスカラー入力と従属スカラー出力の2次元グラフ（伝達曲線または特性曲線として知られる）として表すことができます。コンポーネントの伝達関数は、特に電子工学と制御理論においてブロック図法を使用して、コンポーネントから組み立てられたシステムの設計と分析に使用されます。

伝達関数の次元と単位は、可能な入力範囲に対するデバイスの出力応答をモデル化します。増幅器などの2ポート電子回路の伝達関数は、入力に印加されるスカラー電圧の関数として出力におけるスカラー電圧を表す2次元グラフである場合があります。電気機械アクチュエータの伝達関数は、デバイスに印加される電流の関数として可動アームの機械的変位を表す場合があります。光検出器の伝達関数は、特定の波長の入射光の光度に対する出力電圧を表す場合があります。

伝達関数という用語は、ラプラス変換などの変換手法を用いたシステムの周波数領域解析でも使用されます。これは、入力信号の周波数の関数としての出力振幅を表します。電子フィルタの伝達関数は、入力に印加される一定振幅の正弦波の周波数の関数としての出力振幅です。光学イメージングデバイスの場合、光学伝達関数は点像分布関数（空間周波数の関数）のフーリエ変換です。

線形時不変システム

伝達関数は、信号処理、通信理論、制御理論における単入力単出力フィルタなどのシステムの解析によく用いられます。この用語は、線形時不変（LTI）システムを指す場合によく使われます。実際のシステムのほとんどは非線形な入出力特性を持っていますが、公称パラメータ内で動作する（過負荷ではない）多くのシステムは、線形に近い挙動を示すため、LTIシステム理論で入出力挙動を適切に表現することができます。

連続時間

記述は複素変数で表され、 $s=\sigma +j\cdot \omega$ 多くのアプリケーションでは、設定するだけで十分です。 $\sigma =0$ （したがって $s=j\cdot \omega$ ）は、複素引数を持つラプラス変換を実引数ωを持つフーリエ変換に還元します。これは、LTIシステムの定常状態応答に主に関心があるアプリケーション（信号処理や通信理論でよく見られるケース）でよく用いられ、一時的なオン/オフの過渡応答や安定性の問題には関心がありません。

連続時間入力信号の場合 $x(t)$ 出力 $y(t)$ 出力のラプラス変換を割る、 $Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}$ 入力のラプラス変換により、 $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$ システムの伝達関数が得られる $H(s)$ :

H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}{{\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}}

これは次のように並べ替えることができます。

Y(s)=H(s)\;X(s)\,.

離散時間

離散時間信号は、整数でインデックス付けされた配列として表記されることがある。 $n$ （例えば $x[n]$ 入力と $y[n]$ 出力の場合）。連続時間信号に適したラプラス変換の代わりに、離散時間信号はz変換（対応する大文字で表記される、例：）を使用して処理されます。 $X(z)$ そして $Y(z)$ したがって、離散時間システムの伝達関数は次のように表すことができます。

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {{\mathcal {Z}}\{y[n]\}}{{\mathcal {Z}}\{x[n]\}}}.$

微分方程式からの直接導出

定数係数を持つ線形微分方程式

L[u]={\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}u}{dt^{n-1}}}+\dotsb +a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)

ここで、uとrはtの適切な滑らかな関数であり、Lは関連する関数空間上で定義された演算子で、uをrに変換する。この種の式は、出力関数uを強制関数rに関して制約するために使用できる。伝達関数は演算子を定義するために使用できる。 $F[r]=u$ これはLの右逆元として機能する、つまり $L[F[r]]=r$ 。

同次定数係数微分方程式の解 $L[u]=0$ 試してみると見つかる $u=e^{\lambda t}$ その置換により特性多項式が得られる。

p_{L}(\lambda )=\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\dotsb +a_{n-1}\lambda +a_{n}\,

入力関数rも次の形式であれば、不均質なケースも簡単に解くことができる。 $r(t)=e^{st}$ 置換により $u=H(s)e^{st}$ 、 $L[H(s)e^{st}]=e^{st}$ 定義すると

H(s)={\frac {1}{p_{L}(s)}}\qquad {\text{wherever }}\quad p_{L}(s)\neq 0.

伝達関数には他にも定義があり、例えば $1/p_{L}(ik).$ ^{[ 6 ]}

ゲイン、過渡応答、安定性

周波数システムへの一般的な正弦波入力 $\omega _{0}/(2\pi )$ 書くことができる $\exp(j\omega _{0}t)$ 時刻から始まる正弦波入力に対するシステムの応答 $t=0$ は、定常状態応答と過渡応答の和で構成されます。定常状態応答は、無限時間極限におけるシステムの出力であり、過渡応答は、応答と定常状態応答の差です。これは、微分方程式の同次解に対応します。LTIシステムの伝達関数は、次の積として表すことができます。

H(s)=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{s-s_{P_{i}}}}

ここで、s _{P _{i は}}特性多項式のN個の根であり、伝達関数の極となります。単一の極を持つ伝達関数では $H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}$ どこ $s_{P}=\sigma _{P}+j\omega _{P}$ 単位振幅の一般的な正弦波のラプラス変換は次のようになります。 ${\frac {1}{s-j\omega _{0}}}$ 出力のラプラス変換は次のようになります。 ${\frac {H(s)}{s-j\omega _{0}}}$ そして、時間的な出力は、その関数の逆ラプラス変換となる。

g(t)={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}-e^{(\sigma _{P}+j\,\omega _{P})t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}

分子の第2項は過渡応答であり、 σ _Pが正の場合、無限時間の極限では無限大に発散します。システムが安定であるためには、伝達関数に実部が正の極があってはなりません。伝達関数が厳密に安定であれば、すべての極の実部は負になり、過渡挙動は無限時間の極限でゼロに近づきます。定常状態の出力は次のようになります。

g(\infty )={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}

システムの周波数応答（または「ゲイン」）Gは、出力振幅と定常状態入力振幅の比の絶対値として定義されます。

G(\omega _{i})=\left|{\frac {1}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}\right|={\frac {1}{\sqrt {\sigma _{P}^{2}+(\omega _{P}-\omega _{0})^{2}}}},

これは伝達関数の絶対値です $H(s)$ 評価された $j\omega _{i}$ この結果は、伝達関数の極の数に関係なく有効です。

正弦波励起に対する定常状態挙動

線形システムの定常状態挙動

\sum _{i=0}^{n}a_{i}y^{(i)}+\sum _{j=0}^{m}b_{j}u^{(j)}=0

正弦波励起の場合 $u(t)=\sin(\omega t)$ 伝達関数を用いて表現することができる

g(s)={\frac {b_{m}s^{m}+...+b_{0}}{a_{n}s^{n}+...+a_{0}}},

評価された $s=j\omega$ 実部を持つ $\sigma =0$ :

y(t)=|g(j\omega )|\sin(\omega t+\arg(g(j\omega ))).

これを示すには、ansatz関数を使用します。

y(t)=ce^{j\omega t},

上記の微分方程式に代入して、 $c$ 、そして、 $c=g(j\omega )$ 。

複雑なアイデンティティから $z=|z|e^{j\arg(z)}$ 議論は続く。

信号処理

もし $x(t)$ は一般的な線形時不変システムへの入力であり、 $y(t)$ は出力であり、の双方向ラプラス変換は $x(t)$ そして $y(t)$ は

{\begin{aligned}X(s)&={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt,\\Y(s)&={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt.\end{aligned}}

出力は伝達関数によって入力と関連付けられる。 $H(s)$ として

Y(s)=H(s)X(s)

そして伝達関数自体は

H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}.

振幅が正弦波成分を持つ複雑な高調波信号の場合 $|X|$ 角周波数 $\omega$ フェーズ $\arg(X)$ ここで、argは引数です。

x(t)=Xe^{j\omega t}=|X|e^{j(\omega t+\arg(X))}

どこ

X=|X|e^{j\arg(X)}

が線形時不変システムに入力される場合、出力における対応する成分は次のようになります。

{\begin{aligned}y(t)&=Ye^{j\omega t}=|Y|e^{j(\omega t+\arg(Y))},\\Y&=|Y|e^{j\arg(Y)}.\end{aligned}}

線形時不変システムでは、入力周波数 $\omega$ 周波数応答は変化していません。システムによって変化したのは正弦波の振幅と位相角のみです。 $H(j\omega )$ この変化を各周波数について説明する $\omega$ 利益の観点から

G(\omega )={\frac {|Y|}{|X|}}=|H(j\omega )|

位相シフト

\phi (\omega )=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(j\omega )).

位相遅延（伝達関数によって正弦波に導入される周波数依存の遅延量）は

\tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}.

群遅延（伝達関数によって正弦波の包絡線に導入される周波数依存の遅延量）は、位相シフトの角周波数に関する微分を計算することによって求められる。 $\omega$ 、

\tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}.

伝達関数は、フーリエ変換、すなわち双方向ラプラス変換の特殊な場合を用いて示すこともできる。 $s=j\omega$ 。

一般的な伝達関数ファミリー

あらゆるLTIシステムは何らかの伝達関数で記述できるが、一般的には特殊な伝達関数の「ファミリー」が用いられる。

バターワースフィルタ – 指定された次数において、通過帯域と阻止帯域で最大限に平坦な特性を持つ
チェビシェフフィルター（タイプI） – 阻止帯域で最大限に平坦であり、同次数のバターワースフィルターよりも急峻なカットオフ特性を持つ。
チェビシェフフィルター（タイプII） – 通過帯域で最大限に平坦であり、同次数のバターワースフィルターよりも急峻なカットオフ特性を持つ。
ベッセルフィルタ –特定の次数に対して群遅延が最大限一定となるフィルタ
楕円フィルタ – 指定された次数において最も鋭いカットオフ（通過帯域と阻止帯域間の遷移が最も狭い）
最適な「L」フィルター
ガウスフィルター – 最小群遅延；ステップ関数にオーバーシュートを与えない
レイズドコサインフィルター

制御工学

制御工学および制御理論において、伝達関数はラプラス変換を用いて導出されます。伝達関数は、古典的な制御工学において主要なツールとして用いられてきました。伝達行列は、あらゆる線形システムに対して、その動特性やその他の特性を解析するために得られます。伝達行列の各要素は、特定の入力変数と出力変数を関連付ける伝達関数です。状態空間法と伝達関数法を橋渡しする表現は、ハワード・H・ローゼンブロックによって提案され、ローゼンブロックシステム行列として知られています。

イメージング

画像処理においては、シーン光、画像信号、および表示光の関係を記述するために伝達関数が用いられる。

非線形システム

緩和発振器などの多くの非線形システムには伝達関数は存在しません。^[⁷^]ただし、記述関数を使用して、そのような非線形時不変システムを近似できる場合があります。

参考文献

↑ Bernd Girod、Rudolf Rabenstein、Alexander Stenger、 Signals and Systems、第 2 版、Wiley、2001、 ISBN 0-471-98800-650ページ
↑ MA Laughton; DF Warne (2002年9月27日).電気技術者の参考書(第16版). Newnes. pp. 14/9–14/10. ISBN 978-0-08-052354-5。
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↑イアン・シンクレア、ジョン・ダントン（2007）。『電子・電気機器の修理：消費者向けおよび業務用電子機器』ラウトレッジ、172ページ。ISBN 978-0-7506-6988-7。
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↑ Birkhoff, Garrett ; Rota, Gian-Carlo (1978).常微分方程式. ニューヨーク: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-05224-1。
↑ヴァレンタイン・デ・スメット、ジョルジュ・ギーレン、ヴィム・デハーネ (2015)。ワイヤレスセンサーネットワークの温度および電源電圧に依存しない時間基準。スプリンガー。 p. 47.ISBN 978-3-319-09003-0。

外部リンク

ECE 209: LTIシステムとしての回路の復習— （電気）LTIシステムの数学的解析に関する簡単な入門。

[1] Bernd Girod、Rudolf Rabenstein、Alexander Stenger、 Signals and Systems、第 2 版、Wiley、2001、 ISBN 0-471-98800-650ページ

[LaughtonWarne2002-2] MA Laughton; DF Warne (2002年9月27日).電気技術者の参考書(第16版). Newnes. pp. 14/9–14/10. ISBN 978-0-08-052354-5。

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[Nauman-5] Nauman, E. Bruce (2008 年 5 月) 「滞留時間理論」Industrial & Engineering Chemistry Research 47 ( 10): 3752– 3766. doi : 10.1021/ie071635a .

[6] Birkhoff, Garrett ; Rota, Gian-Carlo (1978).常微分方程式. ニューヨーク: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-05224-1。

[Dehaene-7] ヴァレンタイン・デ・スメット、ジョルジュ・ギーレン、ヴィム・デハーネ (2015)。ワイヤレスセンサーネットワークの温度および電源電圧に依存しない時間基準。スプリンガー。 p. 47.ISBN 978-3-319-09003-0。

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