射影値尺度

数学、特に関数解析において、 射影値測度、またはスペクトル測度とは、固定された集合の特定の部分集合上で定義され、その値が固定されたヒルベルト空間上の自己共役射影である関数である。^{[ 1 ]}射影値測度（PVM）は、その値が実数ではなく自己共役射影である点を除いて、形式的には実数値測度に似ている。通常の測度の場合と同様に、複素数値関数をPVMに関して積分することが可能であり、そのような積分の結果は、与えられたヒルベルト空間上の線形作用素となる。

射影値測度は、スペクトル理論における結果を表現するために使用され、自己共役演算子の重要なスペクトル定理などがこれに該当します。この場合、PVMはスペクトル測度と呼ばれることもあります。自己共役演算子のボレル関数計算は、 PVMに関する積分を用いて構築されます。量子力学では、PVMは射影測定の数学的記述です。これらは、混合状態や密度行列が純粋状態の概念を一般化するのと同じ意味で、正値演算子値測度（POVM） によって一般化されます。

させて${\displaystyle H}$は分離可能な複素ヒルベルト空間を表し、 ${\displaystyle (X,M)}$測定可能な空間（集合）${\displaystyle X}$そしてボレルσ代数${\displaystyle M}$の上${\displaystyle X}$射影値尺度${\displaystyle \pi }$これは地図です${\displaystyle M}$上の有界自己共役作用素の集合へ${\displaystyle H}$以下の特性を満たす：^{[ 2 ] [ 3 ]}

• ${\displaystyle \pi (E)}$はすべての直交射影である${\displaystyle E\in M.}$
• ${\displaystyle \pi (\emptyset )=0}$そして${\displaystyle \pi (X)=I}$、 どこ${\displaystyle \emptyset }$は空集合であり、${\displaystyle I}$恒等演算子。
• もし${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\dotsc }$で${\displaystyle M}$が互いに素である場合、すべての${\displaystyle v\in H}$、

${\displaystyle \pi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right)v=\sum _{j=1}^{\infty }\pi (E_{j})v.}$

• ${\displaystyle \pi (E_{1}\cap E_{2})=\pi (E_{1})\pi (E_{2})}$すべての人々のために${\displaystyle E_{1},E_{2}\in M.}$

第4の性質は、第1の性質と第3の性質の帰結である。^{[ 4 ]}第2の性質と第4の性質は、もし${\displaystyle E_{1}}$そして${\displaystyle E_{2}}$互いに素である、つまり、${\displaystyle E_{1}\cap E_{2}=\emptyset }$画像$\displaystyle \pi (E_{1})$そして$\displaystyle \pi (E_{2})$互いに 直交している。

させて${\displaystyle V_{E}=\オペレーター名 {im} (\pi (E))}$そしてその直交補空間${\displaystyle V_{E}^{\perp }=\ker(\pi (E))}$はそれぞれ、の像と 核を表す。${\displaystyle \pi (E)}$。 もし${\displaystyle V_{E}}$は、の閉部分空間である。${\displaystyle H}$それから${\displaystyle H}$直交分解として記述できる ${\displaystyle H=V_{E}\oplus V_{E}^{\perp }}$そして$\displaystyle \pi (E)=I_{E}}$は一意の識別子演算子です${\displaystyle V_{E}}$4つの特性すべてを満たしている。^{[ 5 ] [ 6 ]}

すべての${\displaystyle \xi ,\eta \in H}$そして${\displaystyle E\in M}$射影値測度は複素数値測度を形成する${\displaystyle H}$定義される

${\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \eta \rangle }$

最大で総変動${\displaystyle \|\xi \|\|\eta \|}$^{[ 7 ]}実数値の測度に帰着するのは、

${\displaystyle \mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle }$

そして確率尺度${\displaystyle \xi }$は単位ベクトルです。

例 ​${\displaystyle (X,M,\mu )}$σ有限測度空間であり、すべての${\displaystyle E\in M}$、 させて

${\displaystyle \pi (E):L^{2}(X)\to L^{2}(X)}$

定義される

${\displaystyle \psi \mapsto \pi (E)\psi =1_{E}\psi ,}$

すなわち、指示関数による乗算として${\displaystyle 1_{E}}$L ² ( X )上。次に${\displaystyle \pi (E)=1_{E}}$射影値測度を定義する。^{[ 7 ]}例えば、${\displaystyle X=\mathbb {R} }$、${\displaystyle E=(0,1)}$、 そして${\displaystyle \varphi ,\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}$すると、関連する複素測度が存在する。${\displaystyle \mu _{\varphi ,\psi }}$測定可能な関数をとる${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$そして積分を与える

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu _{\varphi ,\psi }=\int _{0}^{1}f(x)\psi (x){\overline {\varphi }}(x)\,dx}$

πが可測空間 ( X , M ) 上の射影値測度である場合、写像は

${\displaystyle \chi _{E}\mapsto \pi (E)}$

これは、 X上の階段関数のベクトル空間上の線形写像に拡張されます。実際、この写像が環準同型であることは簡単に確認できます。この写像は、 X上のすべての有界複素数値可測関数に標準的な方法で拡張され、次のようになります。

この定理は、有界でない可測関数に対しても正しい。${\displaystyle f}$しかしその後${\displaystyle T}$はヒルベルト空間上の非有界線形作用素となる${\displaystyle H}$。

量子力学では、測定可能な空間の射影値測度が与えられた場合、${\displaystyle X}$ヒルベルト空間上の連続自己準同型の空間へ${\displaystyle H}$、

• 射影空間${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$ヒルベルト空間の${\displaystyle H}$は、可能な（正規化可能な）状態の集合として解釈される。${\displaystyle \varphi }$量子システムの^{[ 12 ]}
• 測定可能な空間${\displaystyle X}$は、システムの何らかの量子特性（「観測量」）の値空間であり、
• 射影値尺度${\displaystyle \pi }$観測可能な量が様々な値をとる確率を表す。

一般的な選択肢${\displaystyle X}$が本当の線ですが、

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$（3次元空間における位置または運動量の場合）
• 離散的な集合（角運動量、束縛状態のエネルギーなど）、
• 任意の命題の真偽値を表す2点集合「真」と「偽」${\displaystyle \varphi }$。

させて${\displaystyle E}$測定可能な部分集合である${\displaystyle X}$そして${\displaystyle \varphi }$正規化されたベクトル量子状態${\displaystyle H}$ヒルベルトノルムがユニタリであるため、${\displaystyle \|\varphi \|=1}$観測量がその値をとる確率は${\displaystyle E}$システムが現状の状態にある場合${\displaystyle \varphi }$、 は

${\displaystyle P_{\pi }(\varphi )(E)=\langle \varphi \mid \pi (E)(\varphi )\rangle =\langle \varphi \mid \pi (E)\mid \varphi \rangle .}$

これを解析する方法は2つあります。まず、各固定値について${\displaystyle E}$投影${\displaystyle \pi (E)}$は、上の自己共役作用素である。${\displaystyle H}$その1-固有空間は状態である${\displaystyle \varphi }$観測量の値が常に${\displaystyle E}$、そしてその0-固有空間は状態である${\displaystyle \varphi }$観測値の値が決して${\displaystyle E}$。

第二に、各固定正規化ベクトル状態について${\displaystyle \varphi }$協会

${\displaystyle P_{\pi }(\varphi ):E\mapsto \langle \varphi \mid \pi (E)\varphi \rangle }$

確率尺度は${\displaystyle X}$観測可能な値の値を確率変数に変換する。

射影値尺度によって実行可能な測定${\displaystyle \pi }$これは射影測定と呼ばれます。

もし${\displaystyle X}$実数直線が存在する、関連付けられている${\displaystyle \pi }$自己共役演算子${\displaystyle A}$定義済み${\displaystyle H}$による

${\displaystyle A(\varphi )=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\pi (\lambda )(\varphi ),}$

これは以下になります

${\displaystyle A(\varphi )=\sum _{i}\lambda _{i}\pi ({\lambda _{i}})(\varphi )}$

もし${\displaystyle \pi }$は離散的な部分集合である${\displaystyle X}$。

上記の演算子${\displaystyle A}$これはスペクトル測度に関連付けられた観測量と呼ばれます。

射影値測度の概念は、正値作用素値測度（POVM）によって一般化される。POVMでは、射影作用素によって暗示される直交性の必要性が、非直交な「単位の分割」である作用素の集合、すなわち単位行列に合計される正半定値エルミート作用素の集合という概念に置き換えられる。この一般化は、量子情報理論への応用によって動機づけられている。

• スペクトル定理
• コンパクト作用素のスペクトル理論
• 正規C*-環のスペクトル理論

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