有限の測定

数学の一分野である測度論において、有限測度または完全有限測度^[1]は、常に有限の値をとる特殊な測度である。有限測度には確率測度が含まれる。有限測度は、より一般的な測度よりも扱いやすいことが多く、定義される 集合に応じてさまざまな特性を示す。

測定可能な空間上の測度は、 次の式を満たすとき有限測度と呼ばれる。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$

${\displaystyle \mu (X)<\infty .}$

尺度の単調性により、これは次のことを意味する。

${\displaystyle \mu (A)<\infty {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}}.}$

が有限測度である場合、測度空間は有限測度空間または完全有限測度空間と呼ばれる。^[1]${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$

任意の測定可能空間について、有限測度は、全変動ノルムを持つ符号付き測度のバナッハ空間内で凸錐を形成します。有限測度の重要な部分集合は、凸部分集合を形成する部分確率測度と、符号付き測度のノルム空間内の単位球面と有限測度 の交差である確率測度です。

がハウスドルフ空間であり、ボレル代数を含む場合、すべての有限測度は局所有限ボレル測度でもあります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \sigma }$

が計量空間でが再びボレル代数である場合、測度の弱収束を定義することができます。対応する位相は弱位相と呼ばれ、上のすべての有界連続関数の初期位相です。弱位相は関数解析における弱*位相に対応します。も分離可能である場合、弱収束はレヴィ–プロホロフ計量によって計量化されます。^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

がポーランド空間でがボレル代数である場合、すべての有限測度は正則測度であり、したがってラドン測度である。^[3]がポーランド空間である 場合、弱位相を持つすべての有限測度の集合もポーランド測度である。^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle X}$

• σ有限測度