共形平坦多様体

（擬似）リーマン多様体は、各点が共形変換によって平坦な空間にマッピングできる近傍を持つ場合、共形平坦であるという。

実際には、多様体の計量は 平坦計量に共形である必要があります。つまり、測地線は、一方から他方へ移動することによって角度のすべての点で を維持し、ヌル測地線は不変のままです。 ^[1]つまり、となる関数が存在し、 は共形因子と呼ばれ、 は多様体上の点です。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \lambda (x)}$${\displaystyle g(x)=\lambda ^{2}(x)\,\eta }$${\displaystyle \lambda (x)}$${\displaystyle x}$

より正式には、を擬リーマン多様体とします。 が共形平坦であるとは、内の各点に対しての近傍と上で定義された滑らかな関数が存在し、が平坦である（つまりの曲率が上で消える）場合です。 関数は のすべての上で定義されている必要はありません。 ${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle (U,e^{2f}g)}$${\displaystyle e^{2f}g}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$

著者によっては、上のある点にのみ言及する場合は局所共形平坦の定義を使用し、上のすべての点に対して関係が成立する場合に限り共形平坦の定義を使用する人もいます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$

• 断面曲率が一定で あるすべての多様体は等角平坦です。
• すべての2次元擬リーマン多様体は共形平坦である。^[1]
  • 地理座標系で使用されるような2次元球面座標の線要素は、

  ${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin^{2}\theta \,d\phi^{2}\,}$, ^{[2] は}計量テンソルを持ち 平坦ではないが、ステレオ投影により共形因子 を用いて平坦空間に写像することができる。ここで は平坦空間の原点からの距離である。^[3]から${\displaystyle g_{ik}={\begin{bmatrix}1&0\\0&sin^{2}\theta \end{bmatrix}}}$${\displaystyle 2 \over (1+r^{2})}$${\displaystyle r}$

  ${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin^{2}\theta \,d\phi^{2}\,={\frac {4}{(1+r^{2})^{2}}}(dx^{2}+dy^{2})}$。

• 3 次元擬リーマン多様体は、コットン テンソルがゼロの場合にのみ共形平坦になります。
• n ≥ 4 のn次元擬リーマン多様体は、ワイルテンソルがゼロである場合にのみ共形平坦になります。
• あらゆるコンパクトで単連結な共形ユークリッドリーマン多様体は球面と共形的に同値である。^[4]

• ステレオ投影では、距離が平面度に比例するため、等角平面性が明確に示される球面の座標系が提供されます。

• 一般相対論では、共形平坦多様体は、例えばフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量を記述するためによく使用されます。^{[5]しかし、}カー時空には共形平坦スライスが存在しないことも示されました。^[6]

例えば、クラスカル・シェケレス座標には線要素がある。

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv\,du}$ 計量テンソルでは平坦ではない。しかし、変換と${\displaystyle g_{ik}={\begin{bmatrix}0&1-{\frac {2GM}{r}}\\1-{\frac {2GM}{r}}&0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle t=(v+u)/2}$${\displaystyle x=(vu)/2}$

なる

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)(dt^{2}-dx^{2})}$ 計量テンソルを用いると、${\displaystyle g_{ik}={\begin{bmatrix}1-{\frac {2GM}{r}}&0\\0&-1+{\frac {2GM}{r}}\end{bmatrix}}}$

これは平坦メトリックと共形因子の積である。^[7]${\displaystyle 1-{\frac {2GM}{r}}}$

• ワイル・スハウテン定理
• 等角幾何学
• 山辺問題