変調不安定性

非線形光学および流体力学の分野において、変調不安定性または側波帯不安定性は、周期波形からの偏差が非線形性によって強化され、スペクトル側波帯が生成され、最終的に波形がパルス列に分解される現象である。^{[1] [2] [3]}

この現象は、 1967年にT.ブルック・ベンジャミンとジム・E.フェアによって深海の周期的な表面重力波（ストークス波）で初めて発見され、モデル化されたと広く信じられています。 ^{[4]そのため、}ベンジャミン・フェア不安定性としても知られています。しかし、有機溶媒中の高出力レーザーの空間変調不安定性は、1965年にロシアの科学者NFピリプテツキーとARルスタモフによって観察され、^[5]変調不安定性の数学的導出は、1966年にVIベスパロフとVIタラノフによって発表されました。^{[6]変調不安定性は、}ローグ波の発生の可能性のあるメカニズムです。^{[7] [8]}

変調不安定性は特定の状況下でのみ発生します。最も重要な条件は異常群速度分散であり、これにより、短波長のパルスは長波長のパルスよりも高い群速度で移動します。[ ^3] （この条件は、屈折率が光強度とともに増加する集束 カー非線形性を前提としています。）^[3]

不安定性は摂動の周波数に大きく依存します。ある周波数では摂動の影響はほとんどないのに対し、他の周波数では摂動は指数関数的に増大します。全体的なゲインスペクトルは、以下に示すように解析的に導き出すことができます。ランダム摂動には通常、広範囲の周波数成分が含まれるため、基礎となるゲイン スペクトルを反映するスペクトル サイドバンドが生成されます。

摂動信号が増大する傾向により、変調不安定性が増幅の一形態となります。入力信号をゲイン スペクトルのピークに調整することで、光増幅器を作成できます。

利得スペクトルは、非線形シュレーディンガー方程式に基づく変調不安定性のモデルから導くことができる^{[3] [説明が必要]}

${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial z}}+i\beta _{2}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2}}}=i\gamma |A|^{2}A,}$

これは、時間と伝播距離とともにゆっくりと変化する複素数値 エンベロープの発展を記述する。虚数単位は次式を満たす。モデルには、パラメータ で記述される群速度分散と、振幅 のカー非線形性が含まれる。一定電力の周期 波形が想定される。これは、次の解で与えられる。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle t}$${\displaystyle z}$ ${\displaystyle i}$${\displaystyle i^{2}=-1.}$${\displaystyle \beta _{2}}$${\displaystyle \gamma .}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle A={\sqrt {P}}e^{i\gamma Pz},}$

ここで、振動位相因子は、線形屈折率とカー効果によって生じる修正屈折率の差を説明する。不安定性の始まりは、この解を摂動させることによって調べることができる。 ${\displaystyle e^{i\gamma Pz}}$

${\displaystyle A=\left({\sqrt {P}}+\varepsilon (t,z)\right)e^{i\gamma Pz},}$

ここで は摂動項である（数学的な便宜上、 と同じ位相係数が掛けられている）。これを非線形シュレーディンガー方程式に代入すると、次の形の 摂動方程式が得られる。${\displaystyle \varepsilon (t,z)}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial z}}+i\beta _{2}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon }{\partial t^{2}}}=i\gamma P\left(\varepsilon +\varepsilon ^{*}\right),}$

ここで、摂動は小さいと仮定し、の複素共役は と表される。不安定性は、摂動方程式の解が指数関数的に増加するかどうかを調べることで発見できる。これは、一般形の試行関数を使用して行うことができる。 ${\displaystyle |\varepsilon |^{2}\ll P.}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \varepsilon^{*}.}$

${\displaystyle \varepsilon =c_{1}e^{ik_{m}zi\omega _{m}t}+c_{2}e^{-ik_{m}^{*}z+i\omega _{m}t},}$

ここで、 と は摂動の波数と（実数値の）角周波数であり、 とは定数です。非線形シュレーディンガー方程式は、モデル化される光の搬送波を除去することによって構築されるため、摂動される光の周波数は形式的にはゼロです。したがって、と は絶対的な周波数と波数を表すのではなく、これらと初期の光線のそれらの差を表します。試行関数は、条件が満たされ、条件が満たされている場合に 有効であることが示されます。${\displaystyle k_{m}}$${\displaystyle \omega_{m}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle \omega_{m}}$${\displaystyle k_{m}}$${\displaystyle c_{2}=c_{1}^{*}}$

${\displaystyle k_{m}=\pm {\sqrt {\beta _{2}^{2}\omega _{m}^{4}+2\gamma P\beta _{2}\omega _{m}^{2}}}.}}$

この分散関係は平方根内の項の符号に大きく依存しており、正であれば波数は実数となり、摂動を受けていない解の周りの単なる振動に対応するが、負であれば波数は虚数となり、指数関数的増加と不安定性に対応する。したがって、不安定性は次のような場合に発生する。

${\displaystyle \beta _{2}^{2}\omega _{m}^{2}+2\gamma P\beta _{2}<0,}$  それは  ${\displaystyle \omega _{m}^{2}<-2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}}.}$

この条件は異常分散（が負）の要件を記述します。ゲインスペクトルは、ゲインパラメータを次のように定義することで記述できます。つまり、摂動信号のパワーは距離とともに次のように増大します。したがって、ゲインは次のように表され ます。${\displaystyle \gamma \beta _{2}}$${\displaystyle g\equiv 2|\Im \{k_{m}\}|,}$${\displaystyle P\,e^{gz}.}$

${\displaystyle g={\begin{cases}2{\sqrt {-\beta _{2}^{2}\omega _{m}^{4}-2\gamma P\beta _{2}\omega _{m}^{2}}},&{\text{for }}\displaystyle \omega _{m}^{2}}},&{\text{for }}\displaystyle \omega _{m}^{2}\geq -2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}},\end{cases}}}$

ここで、上で述べたように、は摂動の周波数と初期光の周波数の差である。成長率は、${\displaystyle \omega_{m}}$${\displaystyle \omega ^{2}=-\gamma P/\beta _{2}.}$

光化学システム、すなわち光重合性媒体では、光場の変調不安定性が観察されている。^{[9] [10] [11] [12]}変調不安定性は、光反応によって引き起こされる屈折率の変化によるシステムの固有の光学非線形性によって発生する。^[13]空間的および時間的に非コヒーレントな光の変調不安定性は、光反応システムの非瞬間的な応答によって発生する可能性があり、その結果、光の時間平均強度に応答し、フェムト秒の変動が打ち消される。^[14]

• Zakharov, VE ; Ostrovsky, LA (2009). 「変調不安定性: 始まり」(PDF) . Physica D: 非線形現象. 238 (5): 540–548. Bibcode :2009PhyD..238..540Z. doi :10.1016/j.physd.2008.12.002.^{[永久リンク切れ‍ ]}