擬似位相整合

準位相整合は、非線形光学における技術であり、非線形媒体に周期構造を作成することにより、ポンプ周波数から信号周波数およびアイドラー周波数への正のエネルギーの正味の流れを可能にします。位相整合に必要な運動量は、周期構造の波数ベクトルに対応する追加の運動量寄与を通じて保存されます。したがって、原理的には、エネルギー保存を満たす任意の 3 波混合プロセスは位相整合できます。たとえば、関係するすべての光周波数は共線的であり、同じ偏光を持ち、任意の方向に媒体を通過することができます。これにより、非線形相互作用で材料の最大の非線形係数を使用できます。 ^{[1] [2]}

疑似位相整合により、関係するすべての周波数が互いに位相ロックされていない場合でも、ポンプ周波数から信号およびアイドラー周波数への正のエネルギー フローが確保されます。2 つの光波間の位相が 180 度未満である限り、エネルギーは常にポンプから信号に流れます。180 度を超えると、エネルギーは信号からポンプ周波数に戻ります。コヒーレンス長とは、ポンプの位相とアイドラーおよび信号周波数の合計が互いに 180 度離れている媒体の長さです。各コヒーレンス長で結晶軸が反転し、エネルギーがポンプから信号およびアイドラー周波数に正に流れ続けるようになります。

準位相整合結晶を作成するために最も一般的に使用される技術は、周期的分極反転である。^[3]この場合の一般的な材料は、ニオブ酸リチウムである。^{[4] [5] [6]}最近では、均一な線形光学特性を持ちながら、有効非線形分極率が空間的に変化する非線形メタサーフェスを使用して、局所非線形性の連続位相制御が実現された。^{[7] [8] [9]}光場はナノ構造内に強く閉じ込められるか、ナノ構造を囲むため、非線形相互作用は 10 nm から 100 nm までの超小型領域で実現でき、すべての方向に散乱させてより多くの周波数を生成することができる。^{[10] [11]}したがって、緩和された位相整合はナノスケール次元で達成できる。^[12]

非線形光学では、新しい周波数の生成は、典型的には単色の高強度ポンプ周波数による結晶の非線形偏光応答の結果である。結晶軸が反転すると、偏光波は180°シフトし、信号ビームとアイドラービームに正のエネルギーフローが確実に存在する。周波数の波が混合されて が生成される和周波生成の場合、偏光方程式は次のように表される。 ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \omega _{3}=\omega _{1}+\omega _{2}}$

${\displaystyle P_{3}=4dA_{1}A_{2}e^{i(k_{1}+k_{2})z},}$

ここで、は非線形感受率係数、は虚数単位、は複素数値振幅、は波数です。この周波数領域のベクトル表現では、非線形（異方性）結晶軸が反転すると係数の符号が反転します。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A}$${\displaystyle k=\omega /c}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle P_{3}=-4dA_{1}A_{2}e^{i(k_{1}+k_{2})z}=4dA_{1}A_{2}e^{i((k_ {1}+k_{2})z}e^{i\pi }.}$

^[要出典]

第二高調波発生の場合の非線形に生成された信号振幅を計算してみましょう。ここで、 での強いポンプはで周波数 2 倍の信号を生成します(ポンプ振幅が一定であると仮定、非消耗ポンプ近似)。 ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}=2\omega _{1}}$

信号波長は結晶中に存在するドメインの数の合計として表すことができます。一般に、信号振幅の空間的変化率は

${\displaystyle {\frac {\partial A_{2}}{\partial z}}=A_{1}^{2}\chi e^{i\Delta kz},}$

ここで、は生成された周波数振幅、はポンプ周波数振幅、 は2 つの光波間の位相不一致です。 は結晶の非線形感受率を表します。 ${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle \Delta k}$${\displaystyle \chi}$

周期分極反転結晶の場合、結晶軸は1つおきの領域で180度反転し、 の符号が変わります。領域は次のように表すことができます 。${\displaystyle \chi}$${\displaystyle n^{th}}$${\displaystyle \chi}$

${\displaystyle \chi =\chi _{0}(-1)^{n}}$

ここで、は分極領域のインデックスです。信号振幅の合計は、 ${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{2}}$

${\displaystyle A_{2}=A_{1}^{2}\chi _{0}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}\int _{\Lambda n}^{\Lambda (n+1)}e^{i\Delta kz}\partial z}$

ここで、結晶内の極間の間隔である。上記の式を積分すると、 ${\displaystyle \Lambda}$

${\displaystyle A_{2}=-{\frac {iA_{1}^{2}\chi _{0}}{\Delta k}}\sum _{n=0}^{N-1}(- 1)^{n}(e^{i\Delta k\Lambda (n+1)}-e^{i\Delta k\Lambda n})}$

そして、

${\displaystyle A_{2}=-iA_{1}^{2}\chi _{0}{\frac {e^{i\Delta k\Lambda }-1}{\Delta k}}\sum _{ n=0}^{N-1}(-1)^{n}e^{i\Delta k\Lambda n}}$

合計すると

${\displaystyle s=\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}e^{i\Delta k\Lambda n}=1-e^{i\Delta k\Lambda }+e^{i2\Delta k\Lambda }-e^{i3\Delta k\Lambda }+...+(-1)^{N}e^{i\Delta k\Lambda (N-2) }-(-1)^{N}e^{i\Delta k\Lambda (N-1)}.}$

上記の式の両辺に係数を掛けると、 ${\displaystyle e^{i\Delta k\Lambda }}$

${\displaystyle se^{i\Delta k\Lambda }=e^{i\Delta k\Lambda }-e^{i2\Delta k\Lambda }+e^{i3\Delta k\Lambda }+... +(-1)^{N}e^{i\Delta k\Lambda (N-1)}-(-1)^{N}e^{i\Delta k\Lambda N}.}$

両方の式を加えると、次の関係式が得られる。

${\displaystyle s(1+e^{i\Delta k\Lambda })=1-(-1)^{N}e^{i\Delta k\Lambda N}。}$

解決する と${\displaystyle s}$

${\displaystyle s={\frac {1-(-1)^{N}e^{i\Delta k\Lambda N}}{1+e^{i\Delta k\Lambda }}},}$

それは

${\displaystyle A_{2}=-iA_{1}^{2}\chi _{0}\left({\frac {e^{i\Delta k\Lambda }-1}{\Delta k}}\right)\left({\frac {1-(-1)^{N}e^{i\Delta k\Lambda N}}{e^{i\Delta k\Lambda }+1}}\right).}$

総SHG強度は次のように表される。

${\displaystyle I_{2}=A_{2}A_{2}^{*}=\left|A_{1}\right|^{4}\chi _{0}^{2}\Lambda ^{2}{\mbox{sinc}}^{2}(\Delta k\Lambda /2)\left({\frac {1-(-1)^{N}\cos(\Delta k\Lambda N)}{1+\cos(\Delta k\Lambda )}}\right).}$

の場合、上式の右側部分は定義されていないため、ロピタルの法則を適用して極限を取る必要があります。 ${\displaystyle \Lambda ={\frac {\pi }{\Delta k}}}$${\displaystyle \Delta k\Lambda \rightarrow \pi }$

${\displaystyle \lim _{\Delta k\Lambda \to \pi }{\frac {1-(-1)^{N}\cos(\Delta k\Lambda N)}{1+\cos(\Delta k\Lambda )}}=N^{2}}$

信号強度につながる

${\displaystyle I_{2}={\frac {4\left|A_{1}\right|^{4}\chi _{0}^{2}L^{2}}{\pi ^{2}}}.}$

異なるドメイン幅、すなわちに対してを許容するために、上記の式は次のようになる。 ${\displaystyle \Lambda ={\frac {m\pi }{\Delta k}}}$${\displaystyle m=1,3,5,...}$

${\displaystyle I_{2}=A_{2}A_{2}^{*}=\left|A_{1}\right|^{4}\chi _{0}^{2}\Lambda ^{2}{\mbox{sinc}}^{2}(m\Delta k\Lambda /2)\left({\frac {1-(-1)^{N}\cos(m\Delta k\Lambda N)}{1+\cos(m\Delta k\Lambda )}}\right).}$

強度が増す につれて${\displaystyle \Lambda ={\frac {m\pi }{\Delta k}}}$

${\displaystyle I_{2}={\frac {4\left|A_{1}\right|^{4}\chi _{0}^{2}L^{2}}{m^{2}\pi ^{2}}}.}$

これにより、異なるドメイン幅で擬似位相整合が可能になります。ただし、この式から、擬似位相整合の次数が増加すると、効率が だけ低下することがわかります。たとえば、3 次擬似位相整合の場合、信号周波数の生成に結晶の 3 分の 1 のみが効果的に使用され、その結果、信号波長の振幅は、1 次擬似位相整合の同じ長さの結晶の振幅量の 3 分の 1 のみになります。 ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle m}$${\displaystyle m^{2}}$

ドメイン幅は、 Sellmeier 方程式と波数ベクトル関係を使用して計算されます。DFG の場合、この関係は に当てはまります。ここで、はポンプ波数ベクトル、信号波数ベクトル、および です。異なる周波数について計算することにより、関係 からドメイン幅を計算できます。 ${\displaystyle \Delta k=k_{1}-k_{2}-k_{3}}$${\displaystyle k_{1},k_{2},{\mbox{and }}k_{3}}$${\displaystyle k_{i}={\frac {2\pi n(\lambda _{i})}{\lambda _{i}}}}$${\displaystyle \Delta k}$${\displaystyle \Lambda ={\frac {\pi }{\Delta k}}}$

この方法により、高純度の超エンタングルメント 2 光子状態の生成が可能になります。直交擬似位相整合 (OQPM) ^[13]では、薄層結晶構造が直交方向に沿った周期的な分極反転と組み合わされます。直交偏光光子の周期的なダウンコンバージョンと位相不整合を修正する周期的な分極反転を組み合わせることで、構造は縦方向のウォークオフ (遅延) を発生時に蓄積する前に自己修正します。スーパーラティスの重ね合わせた自発的なパラメトリック ダウンコンバージョン (SPDC) 放射により、高純度の 2 光子エンタングルメント状態が生成されます。