横モード

導波路におけるモードは、以下のように分類できます。

横電磁（TEM）モード

伝播方向には電場も磁場も存在しない。

横電界（TE）モード

伝搬方向には電場が存在しない。伝搬方向に沿って磁場のみが存在するため、これらはHモードと呼ばれることもある（ Hは磁場を表す慣用的な記号である）。

横磁場（TM）モード

伝搬方向には磁場が存在しない。伝搬方向に沿って電場のみが存在するため、これらはEモードと呼ばれることもある。

ハイブリッドモード

伝搬方向における非ゼロの電場および磁場。平面伝送線路§モードも参照 。

円筒対称性を持つレーザーでは、横モードパターンはガウスビームプロファイルとラゲール多項式の組み合わせによって記述されます。モードはTEM _plと表記され、pとlはそれぞれ半径方向と角度方向のモード次数を表す整数です。モードの中心から ( r , φ )（極座標）における強度は次式で与えられます。$${\displaystyle I_{pl}(\rho ,\varphi )=I_{0}\rho ^{l}\left[L_{p}^{l}(\rho )\right]^{2}\cos ^{2}(l\varphi )e^{-\rho }}$$ ここで、ρ = 2 r ² / w ²であり、L ^l _{p は}次数pおよび指数lの関連ラゲール多項式であり、w はガウスビーム半径に対応するモードのスポットサイズです。

p = l = 0の場合、TEM ₀₀モードは最低次です。これはレーザー共振器の基本横モードであり、ガウスビームと同じ形状をしています。パターンは単一のローブを持ち、モード全体で位相が一定です。pが増加すると、強度の同心円リングが現れ、lが増加すると、角度分布したローブが現れます。一般に、モードパターンには2 l ( p +1)個のスポットがあります ( l = 0を除く)。いわゆるドーナツモードであるTEM _{0 i *}モードは、互いに360°/4 i回転した 2 つのTEM _{0 i}モード ( i = 1, 2, 3 )の重ね合わせからなる特殊なケースです。

モードの全体的なサイズはガウスビームの半径wによって決まり、ビームの伝搬に伴って増減する可能性がありますが、モードは伝搬中もその一般的な形状を維持します。高次モードはTEM ₀₀モードに比べて相対的に大きいため、レーザー共振器内に適切なサイズの開口部を設けることで、レーザーの基本ガウスモードを選択することができます。

多くのレーザーでは、光共振器の対称性は、ブリュースター角窓などの偏光素子によって制限されます。これらのレーザーでは、矩形対称性を持つ横モードが形成されます。これらのモードは、 mとnがパターンの水平次数と垂直次数であるTEM _mnと表記されます。z軸に沿って伝搬するビームの点( x , y , z )における電場パターンは^{[ 10 ]で与えられます。}$${\displaystyle E_{mn}(x,y,z)=E_{0}{\frac {w_{0}}{w}}H_{m}\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w}}\right)H_{n}\left({\frac {{\sqrt {2}}y}{w}}\right)\exp \left[-(x^{2}+y^{2})\left({\frac {1}{w^{2}}}+{\frac {jk}{2R}}\right)-jkz-j(m+n+1)\zeta \right]}$$ どこ${\displaystyle w_{0}}$、${\displaystyle w(z)}$、${\displaystyle R(z)}$、 そして${\displaystyle \zeta (z)}$は、ガウスビームの場合に与えられるウエスト、スポットサイズ、曲率半径、およびグーイ位相シフトです。${\displaystyle E_{0}}$は正規化定数であり、${\displaystyle H_{k}}$はk番目の物理学者のエルミート多項式です。対応する強度パターンは $${\displaystyle I_{mn}(x,y,z)=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w}}\right)^{2}\left[H_{m}\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w}}\right)\exp \left({\frac {-x^{2}}{w^{2}}}\right)\right]^{2}\left[H_{n}\left({\frac {{\sqrt {2}}y}{w}}\right)\exp \left({\frac {-y^{2}}{w^{2}}}\right)\right]^{2}}$$

TEM ₀₀モードは、円筒形状の場合と全く同じ基本モードに対応します。mとnが増加するにつれて、水平方向と垂直方向にローブが現れ、一般に( m +1)( n +1)個のローブがパターンに現れます。これまでと同様に、高次モードは00モードよりも広い空間範囲を持ちます。

TEM_顕微鏡の各ローブの位相は、水平方向または垂直方向の隣接ローブに対してπラジアンだけずれている。これは、各ローブの偏光方向が反転していることに相当する。

レーザー出力の全体的な強度分布は、レーザー共振器の許容される横モードのいずれかの重ね合わせによって構成され得るが、多くの場合、基本モードのみで動作させることが望ましい。