複数形の数量詞

次のような文

アリスとボブは協力し合う。

アリス、ボブ、キャロルは協力し合う。

これらは、多項式（可変多項式、または単項式とも呼ばれる）述語または関係（この例では「協力する」）を含むと言われており、固定の項数を持たないにもかかわらず、同じ概念を表していることを意味します（Linnebo & Nicolas 2008 参照）。多項式関係/述語の概念は、1940 年代にはすでに現れており、特にQuineによって使用されています（Morton 1975 参照）。複数量化は、このような述語の可変長引数に対する量化を形式化することを扱います。たとえば、「xx協力する」のように、 xxは複数変数です。この例では、意味的にxx を単一の人の名前でインスタンス化することは意味をなさないことに注意してください。

大まかに言えば、名目論は集合、クラス、関係、性質などの普遍（抽象的な実体）の存在を否定します。そのため、多元論理は、多段階述語に関わるような複数形に関する推論を形式化しようとする試みとして発展しました。これは、名目論者が否定する集合などの概念に頼ることなく行われたようです。

標準的な一階述語論理では、複数形を含む文を表現するのが難しい場合があります。最もよく知られているのは、ギーチ＝カプランの文「一部の批評家は互いにしか賞賛しない」です。カプランはこの文が一階述語論理化不可能であることを証明しました（証明は当該論文に記載されています）。したがって、この文を形式言語に言い換えるには、集合（すなわち集合の存在）に対する量化が必要となります。

ブーロスは、2次単項量化は体系的に複数量化の観点から解釈することができ、したがって2次単項量化は「存在論的に無害」であると主張した。^{[ 1 ]}

その後、Oliver & Smiley (2001)、Rayo (2002)、Yi (2005)、McKay (2006) は、次のような文は

彼らは船員仲間だ

彼らは一緒に会っている

彼らはピアノを持ち上げた

彼らは建物を包囲している

彼らは互いだけを尊敬している

また、単項二階述語論理では解釈できません。これは、「船員である」、「一緒に会っている」、「建物を囲んでいる」などの述語が分配的ではないためです。述語Fが分配的であるのは、ある事柄がFであるとき、それらの事柄のすべてがFである場合です。しかし、標準論理では、すべての単項述語は分配的です。しかし、このような文は存在に関する仮定を一切含まず、量化も含まれていないように見えます。

したがって、複数の項について、分配的および非分配的な述語充足の両方を可能にする統一的な説明を提案することができ、同時に、そのような述語は個体の集合（または部分論的総和）の述語であるという「単数論的」仮定に対してこの立場を擁護することができる。

複数の著者が、多元論理は数学の基礎を簡素化し、集合論のパラドックスを回避し、それらを回避するために必要な複雑で直感に反する公理系を簡素化する可能性を開くと示唆している。

最近、Linnebo & Nicolas (2008) は、自然言語には「これらの人々、あの人々、そしてこれらの他の人々が互いに競い合う」（例えばオンラインゲームのチームとして）といった超複数変数（および関連する数量詞）が含まれていることが多いと示唆している一方、Nicolas (2008) は、「ワイン」や「家具」のような物質名詞の意味を説明するために複数論理を使用すべきだと主張している。

下位文単位は次のように定義されます。

• 述語記号${\displaystyle F}$、${\displaystyle G}$など（適切な引数数は暗黙的に示される）
• 特異変数記号${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$など
• 複数形の変数記号${\displaystyle {\bar {x}}}$、${\displaystyle {\bar {y}}}$など

完全な文は次のように定義されます。

• もし${\displaystyle F}$はn項述語記号であり、${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$単数変数記号の場合、${\displaystyle F(x_{0},\ldots ,x_{n})}$これは文です。
• もし${\displaystyle P}$は文であるならば、${\displaystyle \neg P}$
• もし${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$文であれば、${\displaystyle P\land Q}$
• もし${\displaystyle P}$文であり${\displaystyle x}$は単一の変数記号です。${\displaystyle \exists xP}$文です
• もし${\displaystyle x}$は単一の変数記号であり、${\displaystyle {\bar {y}}}$は複数形の変数記号です。${\displaystyle x\prec {\bar {y}}}$は文です（≺は通常「～の1つである」という関係として解釈されます）。
• もし${\displaystyle P}$文であり${\displaystyle {\bar {x}}}$は複数形の変数記号です。${\displaystyle \exists {\bar {x}}.P}$文です

最後の2行は、複数論理の構文における唯一本質的に新しい要素である。これらを用いて定義できる他の論理記号は、表記上の省略形として自由に使用できる。

この論理は、単項二階述語論理と同等の解釈可能性を持つことが判明した。

多元論理のモデル理論／意味論は、論理における集合の欠如を解消する場である。モデルはタプルとして定義される。${\displaystyle (D,V,s,R)}$どこ${\displaystyle D}$ドメインは、${\displaystyle V}$評価の集合体${\displaystyle V_{F}}$各述語名について${\displaystyle F}$通常の意味で、そして${\displaystyle s}$は、通常の意味でのタルスキアン シーケンス (変数への値の割り当て) (つまり、単一の変数記号から要素へのマップ) です。${\displaystyle D}$新しいコンポーネント${\displaystyle R}$これは、ドメイン内の値を複数の変数記号に関連付ける二項関係です。

満足度は次のように与えられる

• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models F(x_{0},\ldots ,x_{n})}$もし${\displaystyle (s_{x_{0}},\ldots ,s_{x_{n}})\in V_{F}}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models \neg P}$もし${\displaystyle (D,V,s,R)\nvDash P}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models P\land Q}$もし${\displaystyle (D,V,s,R)\models P}$そして${\displaystyle (D,V,s,R)\models Q}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models \exists x.P}$もし${\displaystyle s'\approx _{x}s}$そのため${\displaystyle (D,V,s',R)\models P}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models x\prec {\bar {y}}}$もし${\displaystyle s_{x}R{\bar {y}}}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models \exists {\bar {x}}.P}$もし${\displaystyle R'\approx _{\bar {x}}R}$そのため${\displaystyle (D,V,s,R')\models P}$

ここで、特異変数記号の場合、${\displaystyle s\approx _{x}s'}$特異変数記号すべてについて${\displaystyle y}$以外${\displaystyle x}$次のように主張する${\displaystyle s_{y}=s'_{y}}$、また複数形の変数記号の場合は、${\displaystyle R\approx _{\bar {x}}R'}$は、すべての複数変数記号に対して${\displaystyle {\bar {y}}}$以外${\displaystyle {\bar {x}}}$、ドメインのすべてのオブジェクトについて${\displaystyle d}$次のように主張する${\displaystyle dR{\bar {y}}=dR'{\bar {y}}}$。

構文と同様に、多元論理では最後の2つだけが真に新しい。Boolosは、代入関係を用いることで${\displaystyle R}$ドメインは集合を含む必要はなく、したがって複数論理は述語の拡張について議論する能力を維持しながら存在論的な無垢性を実現します。したがって、複数論理の理解スキーマは${\displaystyle \exists {\bar {x}}.\forall y.y\prec {\bar {x}}\leftrightarrow F(y)}$複数の変数の量化は領域全体にわたって量化しないため、ラッセルのパラドックスは生じない。ブーロスが定義する論理のもう1つの側面は、ラッセルのパラドックスを回避する上で重要であり、次の形式の文は${\displaystyle F({\bar {x}})}$形式が正しくありません。述語名は単数形の変数記号とのみ結合でき、複数形の変数記号とは結合できません。

これは、ブーロスが定義した多元論理が存在論的に無害であることを示す、最も単純で明白な論拠とみなすことができる。