拡張実数直線

数学において、拡張された実数系^[a]は、実数系から、それぞれすべての実数よりも大きい、および小さい2 つの要素と^[b]を追加することによって得られます。これにより、無限増加数列と無限減少数列の潜在的な無限大を実際の無限大として扱うことができます。たとえば、自然数の無限数列は無限に増加し、実数系では上限がありません(潜在的な無限大)。拡張された実数直線では、数列の最小上限は、極限はです(実際の無限大)。微積分学と数学的解析では、およびを実際の極限として使用すると、可能な計算が大幅に拡張されます。^[1]これは実数の デデキント-マクニール完備化です。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle -\infty}$ ${\displaystyle (1,2,\ldots )}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle -\infty}$

拡張実数系は、またはまたは^[2]と表記される。文脈から意味が明らかな場合は、単に^{[2]と表記されることが多い。}${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}.}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle \infty .}$

とが区別されない、明確な射影的に拡張された実数直線も存在します。つまり、無限増加シーケンスと無限減少シーケンスの両方に対して、 または として表記される単一の実無限大が存在します。 ${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \pm \infty}$

拡張数直線は、引数または関数の値がある意味で「無限に大きくなる」場合の関数 の挙動を説明するのに便利です。たとえば、次のように定義される 関数を考えてみましょう。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}$

この関数のグラフは、で水平漸近線を持ちます。幾何学的には、軸に沿って右にどんどん移動すると、 の値は0に近づきます。この極限挙動は、 が無限に増加したときに に近づく実数が存在しないことを除いて、実数が に近づく関数の極限に似ています。要素と をに接続すると、 「無限大での極限」の定義が可能になります。これは、 が( の場合) または( の場合)に置き換えられることを除いて、通常の極限の定義と非常によく似ています。これにより、次の証明と記述が可能になります。 ${\displaystyle y=0.}$${\displaystyle x}$${\textstyle {1}/{x^{2}}}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle |x-x_{0}|<\varepsilon }$${\displaystyle x>N}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle x<-N}$${\displaystyle -\infty}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}&=0,\\\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}}}&=0,\\\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}&=+\infty .\end{aligned}}}$

測度論では、無限の測度を持つ集合や、値が無限になる可能性のある積分 を許容することが有用な場合がよくあります。

このような尺度は、微積分から自然に生じる。例えば、区間の通常の長さに一致する尺度を に割り当てる場合、この尺度は任意の有限実数よりも大きくなければならない。また、次のような不定積分を考える場合も、 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}}$

値「無限大」が生じる。最後に、次のような関数の列の極限を考慮すると役に立つことが多い。

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}}'',x\leq 1\end{cases}}}$

関数が無限の値を取ることを許可しなければ、単調収束定理や優勢収束定理などの重要な結果は意味をなさなくなります。

または として定義される拡張実数系は、すべての に対して を定義することによって、全順序集合に変換できます。この順序位相では、はコンパクト性という望ましい特性を持ちます。のすべての部分集合には、上限と下限があります^{[3] (}空集合の下限は で、上限は です)。さらに、この位相では、 は単位区間に同相です。したがって、位相は に距離化可能であり、(与えられた同相に対して) この区間の通常の距離に対応します。ただし、 上の通常の距離の拡張である距離は存在しません。${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$${\displaystyle -\infty \leq a\leq +\infty }$${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} }}.}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [0,1].}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

この位相では、ある集合がの近傍であるためには、その集合に何らかの実数 の集合が含まれる必要があります。の近傍の概念も同様に定義できます。拡張実近傍のこの特徴付けを使用すると、またはになる極限、およびおよびに「等しい」極限は、実数系で特別な定義を持つ代わりに、極限の一般的な位相的定義に簡約されます。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle \{x:x>a\}}$${\displaystyle a.}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle x}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle -\infty}$

の算術演算は以下のように部分的に拡張できる: ^[2]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=\pm \infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}}$$

累乗については、累乗 § 累乗の極限を参照してください。ここで、 はと の両方を意味し、はと の両方を意味します。${\displaystyle a+\infty }$${\displaystyle a+(+\infty )}$${\displaystyle a-(-\infty ),}$${\displaystyle a-\infty }$${\displaystyle a-(+\infty )}$${\displaystyle a+(-\infty ).}$

および（不定形式と呼ばれる）の表現は通常は定義されない。これらの規則は無限極限の法則をモデルにしている。しかし、確率論や測度論の文脈では、は次のように定義されることが多い^[4]${\displaystyle \infty -\infty ,0\times (\pm \infty )}$${\displaystyle \pm \infty /\pm \infty }$${\displaystyle 0\times \pm \infty }$${\displaystyle 0.}$

正と負の両方の拡張実数を扱う場合、式は通常未定義のままにされます。なぜなら、逆数列に収束するすべての実数の非ゼロ列に対して、逆数列は最終的に のすべての近傍に含まれるというのは真実ですが、列自体がまたはに収束する必要はないからです。言い換えると、連続関数が特定の値でゼロを達成する場合、が に傾向するときの極限でが またはに傾向する場合とは限らないということです。これは、が に傾向し、が に傾向する場合の恒等関数の極限に当てはまります(後者の関数では、の正の値のみが考慮される場合でも、 も もの極限にはなりません)。 ${\displaystyle 1/0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle 1/f}$${\displaystyle \{\infty ,-\infty \},}$${\displaystyle 1/f}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle 1/f}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle f(x)=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left(1/x\right)}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle 1/f(x),}$${\displaystyle x}$

ただし、非負の値のみが考慮されるコンテキストでは、 を定義すると便利な場合がよくあります。たとえば、べき級数を扱う場合、係数を持つべき級数の収束半径は、数列 の極限上限の逆数として定義されることがよくあります。したがって、の値を取ることができる場合は、極限上限 であるかどうかに関係なく、この式を使用できます。 ${\displaystyle 1/0=+\infty .}$ ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle \left(|a_{n}|^{1/n}\right)}$${\displaystyle 1/0}$${\displaystyle +\infty ,}$${\displaystyle 0}$

上記で定義した算術演算では、は半群でもなく、の場合のように群、環、体でもありません。ただし、 にはいくつかの便利な特性があります。 ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

• ${\displaystyle a+(b+c)}$等しいか、両方とも未定義です。${\displaystyle (a+b)+c}$
• ${\displaystyle a+b}$等しいか、両方とも未定義です。${\displaystyle b+a}$
• ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)}$等しいか、両方とも未定義です。${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c}$
• ${\displaystyle a\cdot b}$等しいか、両方とも未定義である${\displaystyle b\cdot a}$
• ${\displaystyle a\cdot (b+c)}$両方が定義されている場合は等しくなります。${\displaystyle (a\cdot b)+(a\cdot c)}$
• およびが定義されている場合、${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle a+c}$${\displaystyle b+c}$${\displaystyle a+c\leq b+c.}$
• およびが定義され、かつが両方とも定義されている場合、${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle a\cdot c}$${\displaystyle b\cdot c}$${\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c.}$

一般に、すべての算術法則は、発生するすべての式が定義されている限り有効です。 ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

いくつかの関数は、極限を取ることによって連続的に 拡張できます。たとえば、次の関数の極値点を次のように定義できます。 ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle \exp(-\infty )=0,}$

${\displaystyle \ln(0)=-\infty ,}$

${\displaystyle \tanh(\pm \infty )=\pm 1,}$

${\displaystyle \arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}.}$

いくつかの特異点は、さらに除去される可能性があります。たとえば、関数は、の値を に設定し、 の値を に設定することにより、（連続性のいくつかの定義の下で）まで連続的に拡張できます。一方、関数は の下から に近づくにつれて に近づき、の上からに近づくにつれてに近づくため、つまり、関数は、独立変数が正の値側と負の値側の両方から同じドメイン要素に近づくのと同じ値に収束しないため、関数を連続的に拡張することはできません。 ${\displaystyle 1/x^{2}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle x=0,}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x=+\infty }$${\displaystyle x=-\infty .}$${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$

同様だが異なる実数系である射影的に拡張された実数直線 は、とを区別しません（つまり、無限大は符号なしです）。^[5]その結果、関数は射影的に拡張された実数直線上で極限を持つことができますが、拡張された実数系では関数の絶対値のみが極限を持ちます（例：における関数 の場合）。一方、射影的に拡張された実数直線上では、と はそれぞれ右からの極限と左からの極限にのみ対応し、完全な極限は 2 つが等しい場合にのみ存在します。したがって、関数 とは、射影的に拡張された実数直線上 で で連続にすることはできません。${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle x=0.}$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{f(x)}}$${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}}$${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle \arctan(x)}$${\displaystyle x=\infty }$

• ゼロ除算
• 拡張複素平面
• 拡張自然数
• 不完全な積分
• 無限
• ログセミリング
• シリーズ（数学）
• 射影的に拡張された実数直線
• 拡張実数のコンピュータ表現については、浮動小数点演算§無限大とIEEE浮動小数点を参照してください。

• アリプランティス、チャラランボス D.; バーキンショー、オーウェン (1998)、『実解析の原理』（第 3 版）、サンディエゴ、カリフォルニア州: アカデミック プレス、Inc.、p. 29、ISBN 0-12-050257-7、MR  1669668
• David W. Cantrell. 「アフィン拡張実数」。MathWorld。