普遍量化

普遍量化

タイプ	数量詞
分野	数学的論理
声明	${\displaystyle \forall xP(x)}$のすべての値に対して が真である場合、 は真です。${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle x}$
象徴的な声明	${\displaystyle \forall xP(x)}$

数学論理学において、全称量化は量指定子の一種であり、「任意の場合」、「すべてに対して」、「任意の場合」と解釈される論理定数です。これは、述語が談話領域のすべてのメンバーによって満たされることを表します。言い換えれば、これは、領域のすべてのメンバーに対する特性または関係の述語です。これは、全称量指定子の範囲内の述語が、述語変数のすべての値に対して真であることを主張します。

これは通常、反転した A (∀)論理演算子 記号で表され、述語変数と一緒に使用される場合は全称量指定子(" ∀ x "、" ∀( x ) "、または場合によっては " ( x ) " のみ) と呼ばれます。全称量化は、ドメインの少なくとも 1 つのメンバーに対してプロパティまたは関係が成り立つことだけを主張する存在量化("存在する")とは異なります。

一般的な量化については、量化（論理）の記事で説明します。全称量指定子は、UnicodeではU+2200 ∀ FOR ALLとしてエンコードされ、LaTeXや関連する数式エディタ でも同様です。\forall

次のように仮定する。

2·0 = 0 + 0、2·1 = 1 + 1、2 ·2 = 2 + 2など。

これは、「and」が繰り返し使用されているため、論理接続詞のように見えます。ただし、「etc.」は形式論理の接続詞として解釈できません。代わりに、この文は次のように言い換える必要があります。

すべての自然数nに対して、 2· n = n + nが成り立ちます。

これは全称量化を使用した単一のステートメントです。

この記述は、元の記述よりも正確であると言えます。「など」には非公式に自然数のみが含まれており、それ以外は何も含まれていないとされていますが、これは厳密には示されていません。一方、全称量化では、自然数が明示的に言及されています。

この特定の例は真です。なぜなら、 n の代わりに任意の自然数を代入でき、「2· n = n + n 」という命題が真になるからです。対照的に、

すべての自然数nに対して、2· n > 2 + nが成り立つ。

は偽です。なぜなら、n を、たとえば 1 に置き換えると、「2·1 > 2 + 1」という命題は偽になるからです。 「2· n > 2 + n 」がほとんどの自然数nに対して真であるかどうかは重要ではありません。反例が 1 つでも存在すれば、全称量化が偽であることを証明するのに十分です。

一方、すべての合成数 nに対して、 2· n > 2 + nが成り立ちます 。これは、反例のいずれも合成数ではないためです。これは、 nがとり得る値を指定する議論領域^{の重要性を示しています。 [注 1]}特に、議論領域が特定の述語を満たすオブジェクトのみで構成されるように制限されている場合、全称量化には論理条件が必要であることに注意してください。たとえば、

すべての合成数nに対して、2· n > 2 + nが成り立つ。

論理的に は

すべての自然数nについて、nが合成数であれば、 2· n > 2 + nです。

ここで、「if ... then」構文は論理条件を示します。

記号論理学では、全称量指定子記号（サンセリフフォントで「 A 」を反転したもの、Unicode U+2200）は全称量化を表すために使用されます。この記号は、1935年にゲルハルト・ゲンツェンによって初めて使用されました。これは、存在量化のためのジュゼッペ・ペアノの表記法（反転したE）と、その後バートランド・ラッセルによるペアノの表記法の使用との類推によるものです。^[1]${\displaystyle \forall}$${\displaystyle \exists }$

例えば、P ( n ) が述語「2· n > 2 + n」であり、Nが自然数の 集合である場合、

${\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;P(n)}$

（偽の）文である

「すべての自然数nに対して、 2· n > 2 + nが成り立ちます。」

同様に、Q ( n ) が「 nは合成語である」 という述語である場合、

${\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;{\bigl (}Q(n)\rightarrow P(n){\bigr )}}$

は（真の）声明である

「すべての自然数nについて、nが合成数であれば、2· n > 2 + nです。」

数量化の表記法のいくつかのバリエーション（すべての形式に適用される）については、Quantifier の記事を参照してください。

全称量化関数の否定は、全称量化子を存在量化子に変え、量化式を否定することで得られる。つまり、

${\displaystyle \lnot \forall x\;P(x)\quad {\text{は}}\quad \exists x\;\lnot P(x)と同等です}$

ここで は否定を表します。 ${\displaystyle \lnot}$

例えば、P ( x ) が命題関数「xは結婚している」である場合、すべての生きている人間の 集合 Xに対して、普遍量化

生きている人xがいれば、その人は結婚している

書かれている

${\displaystyle \forall x\in X\,P(x)}$

この記述は誤りです。

生きている人xが結婚しているというわけではない

あるいは象徴的に言えば:

${\displaystyle \lnot \ \forall x\in X\,P(x)}$。

関数P ( x ) がXのすべての要素に対して真でない場合は、ステートメントが偽である要素が少なくとも 1 つ存在する必要があります。つまり、 の否定は論理的に「結婚していない 生きている人物xが存在する」または次の式と同等です。${\displaystyle \forall x\in X\,P(x)}$

${\displaystyle \exists x\in X\,\lnot P(x)}$

「すべての人が結婚しているわけではない」（つまり「結婚している人は存在しない」）と「すべての人が結婚しているわけではない」（つまり「結婚していない人が存在する」）を混同するのは誤りです。

${\displaystyle \lnot \ \exists x\in X\,P(x)\equiv \ \forall x\in X\,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall x\in X\,P(x)\equiv \ \exists x\in X\,\lnot P(x)}$

全称（存在）量指定子は、他のオペランドが影響を受けない限り、論理接続詞 ∧、∨、→、↚をそのまま通過します。 ^[2]つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\land (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y))\\P(x)\lor (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\to (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nleftarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y))\\P(x)\land (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\lor (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y))\\P(x)\to (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y))\\P(x)\nleftarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \end{aligned}}}$

逆に、論理接続詞↑、↓、↛、←の場合、量指定子は反転します。

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\uparrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y))\\P(x)\downarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nrightarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\gets (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y))\\P(x)\uparrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\downarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y))\\P(x)\nrightarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y))\\P(x)\gets (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\\end{aligned}}}$

推論規則は、仮説から結論までの論理的ステップを正当化する規則です。全称量指定子を利用する推論規則はいくつかあります。

普遍的具体化は、命題関数が普遍的に真であるとわかっている場合、それは談話宇宙の任意の要素に対して真でなければならないと結論づける。これは記号的に次のように表される。

${\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to P(c)}$

ここで、c は議論領域の完全に任意の要素です。

普遍一般化は、命題関数が談話領域の任意の要素に対して真であれば、普遍的に真でなければならないと結論付ける。象徴的に言えば、任意のcに対して、

${\displaystyle P(c)\to \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x).}$

要素 c は完全に任意でなければなりません。そうでない場合、論理は成り立ちません。cが任意ではなく、談話領域の特定の要素である場合、P( c ) は命題関数の存在量化のみを意味します。

慣例により、式P ( x )に関係なく、式は常に真です。 「空虚な真実」を参照してください。${\displaystyle \forall {x}{\in }\emptyset \,P(x)}$

式φの普遍閉包とは、φ内の自由変数すべてに普遍量化子を追加することで得られる自由変数のない式である。例えば、

${\displaystyle P(y)\land \exists xQ(x,z)}$

は

${\displaystyle \forall y\forall z(P(y)\land \exists xQ(x,z))}$。

圏論と基本トポイ理論では、普遍量化子は冪集合間の関数の右随伴子、集合間の関数の逆像関数として理解できる。同様に、存在量化子は左随伴子である。^[3]

集合 について、その冪集合を で表します。集合との間の任意の関数に対して、冪集合の間には逆像関手が存在し、これはfの余域の部分集合をその域の部分集合に戻します。この関手の左随伴関数は存在量指定子 であり、右随伴関数は全称量指定子 です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}X}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{*}:{\mathcal {P}}Y\to {\mathcal {P}}X}$${\displaystyle \exists _{f}}$${\displaystyle \forall _{f}}$

つまり、は、各部分集合 に対して、によって与えられる 部分集合を与える関数である。${\displaystyle \exists _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y}$${\displaystyle S\subset X}$${\displaystyle \exists _{f}S\subset Y}$

${\displaystyle \exists _{f}S=\{y\in Y\;|\;\exists x\in X.\ f(x)=y\quad \land \quad x\in S\},}$

の像にあるもの。同様に、全称量指定子は、各部分集合に対して 、${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \forall _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y}$${\displaystyle S\subset X}$${\displaystyle \forall _{f}S\subset Y}$

${\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\;|\;\forall x\in X.\ f(x)=y\quad \implies \quad x\in S\},}$

の下の原像が に含まれるもの。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$

一階述語論理で使用される量指定子のより一般的な形式は、関数fを、真と偽の値を保持する2要素の集合である唯一の関数と見なすことによって得られ、部分集合Sは述語が成り立つ部分集合であり、 ${\displaystyle !:X\to 1}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(1)=\{T,F\}}$ ${\displaystyle S(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}{\mathcal {P}}(!)\colon {\mathcal {P}}(1)&\to {\mathcal {P}}(X)\\T&\mapsto X\\F&\mapsto \{\}\end{array}}}$

${\displaystyle \exists _{!}S=\exists x.S(x),}$

が空でない場合は真であり、 ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \forall _{!}S=\forall x.S(x),}$

S が X でない場合は偽となります。

上記の全称量化子と存在量化子は、前層カテゴリに一般化されます。

• 存在定量化
• 一階論理
• 論理記号の一覧- Unicode 記号 ∀

• Hinman, P. (2005).数学論理学の基礎. AK Peters . ISBN 1-56881-262-0。
• フランクリン、J.およびダウド、A. (2011)。数学の証明: 入門。キューブックス。ISBN 978-0-646-54509-7。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)（第2章）

• ウィクショナリーのeveryの辞書定義