グループスキーム

数学において、群スキームは、合成法則を備えた代数幾何学からのオブジェクトの一種です。群スキームはスキームの対称性として自然に生じ、すべての代数群が群スキーム構造を持つという意味で代数群を一般化しますが、群スキームは必ずしも連結、滑らか、または体上で定義されているわけではありません。この追加の一般性により、より豊富な無限小構造を研究することができ、算術的に重要な質問を理解して回答するのに役立ちます。群スキームのカテゴリは、群多様体のカテゴリよりもいくぶん行儀がよく、すべての準同型は核を持ち、行儀の良い変形理論があります。代数群ではない群スキームは、ガロア表現やモジュライ問題のコンテキストで登場するため、数論幾何学と代数位相幾何学で重要な役割を果たします。群スキームの理論は、1960 年代初頭に アレクサンダー・グロタンディーク、ミシェル・レイノー、ミシェル・デマズールによって最初に開発されました。

グループスキームとは、ファイバー製品と何らかの最終オブジェクトSを持つスキームのカテゴリ内のグループオブジェクトです。つまり、同等のデータセットの1つを備えた SスキームGです。

• 射の三つ組 μ: G × _S G → G、 e: S → G、 ι: G → G。これらは群の通常の互換性（すなわち、 μ の結合性、恒等式、逆公理）を満たす。
• S上のスキームから群のカテゴリへの関数であり、集合への忘却関数との合成は、米田埋め込みの下でGに対応する前層と同値である。(群関数も参照。)

群スキームの準同型は、乗算を尊重するスキームのマップです。これは、マップf が方程式f μ = μ( f × f ) を満たすと言うことで正確に表現できます。または、 f がスキームからグループ (単なるセットではなく) への関数の自然な変換であると言うことで正確に表現できます。

群スキーム GのスキームXへの左作用は、任意のSスキームTに対して、集合X ( T ) への群G ( T ) の左作用を誘導する射G × _S X → Xです。右作用も同様に定義されます。任意の群スキームは、乗算と共役によって、その基礎となるスキームへの自然な左作用と右作用を許容します。共役は自己同型による作用、つまり群構造と可換であり、これにより、リー代数や左不変微分作用素の代数などの自然に導出されるオブジェクトへの線型作用が誘導されます。

S群スキームGが可換であるとは、群G ( T ) がすべてのSスキームTに対してアーベル群である場合です。共役が自明な作用を誘導することや、反転写像 ιが群スキーム自己同型であることなど、他の同等の条件がいくつかあります。

• 群Gが与えられたとき、定数群スキームG _Sを形成することができる。スキームとしては、これはSのコピーの互いに素な和集合であり、これらのコピーをGの元と同一視することで、構造の移送によって乗法、単位写像、逆写像を定義できる。関数としては、任意のSスキームT を群Gのコピーの積に変換し、コピーの数はTの連結成分の数に等しい。G S_がS上でアフィンとなるのは、G が有限群である場合に限る。しかし、有限定数群スキームの射影極限をとることで、基本群やガロア表現の研究や基本群スキームの理論に登場する無限型のアフィンである、プロ有限群スキームを得ることができる。より一般的には、 S上の局所定数群の層をとることで、局所定数群スキームが得られ、このスキームでは基底上のモノドロミーによってファイバー上に非自明な自己同型を誘導することができる。
• スキームのファイバー積の存在により、複数の構成を行うことができます。グループ スキームの有限直積は、標準的なグループ スキーム構造を持ちます。自己同型による 1 つのグループ スキームの別のグループ スキームへの作用を考えると、通常の集合論的構成に従って半直積を形成できます。グループ スキーム準同型のカーネルは、基底から単位マップ上のファイバー積を取ることで、グループ スキームになります。基底の変更により、グループ スキームがグループ スキームに送られます。
• 群スキームは、基底スキームの何らかの射に関してスカラーの制限を取ることによって、より小さな群スキームから形成できますが、結果として得られる関数の表現可能性を保証するには有限条件を満たす必要があります。この射が体の有限拡張に沿っている場合、それはWeil 制限として知られています。
• 任意のアーベル群Aに対して、対応する対角化可能群 D ( A )を形成できます。これは、各SスキームTに対してAからO _Tの可逆大域セクションへのアーベル群準同型の集合をD ( A )( T ) として設定することにより、関数として定義されます。 Sがアフィンである場合、 D ( A ) は群環のスペクトルとして形成できます。より一般的には、A をS上のアーベル群の非定数層とすることで、乗法型の群を形成できます。
• 群スキームGの部分群スキーム H について、SスキームT をG ( T )/ H ( T )に変換する関数は一般に層ではなく、その層化も一般にスキームとして表現できません。ただし、H が有限で平坦でGで閉じている場合、商は表現可能であり、平行移動による標準的な左G作用が許容されます。この作用のHへの制限が自明である場合、H は正規であるとされ、商スキームは自然な群法則を許容します。表現可能性は、 HがGで閉じていて、両方がアフィンである場合など、他の多くの場合にも当てはまります。 ^[1]

• 乗法群G _{m は}、その基礎スキームとして穴あきアフィン直線を持ち、関数として、構造層の可逆な大域セクションの乗法群にSスキームT を送ります。これは、整数に関連付けられた対角化可能群D ( Z ) として記述できます。 Spec Aなどのアフィン基底上では、環A [ x、y ]/( xy − 1 )のスペクトルであり、 A [ x、x ⁻¹ ] とも表記されます。単位写像はx を1 に送ることで与えられ、乗算はx をx ⊗ xに送ることで与えられ、逆はx をx ⁻¹に送ることで与えられます。 代数トーラスは、可換群スキームの重要なクラスを形成し、S上で局所的にG _mのコピーの積であるという特性によって、または有限生成自由アーベル群に関連付けられた乗法型のグループとして定義されます。
• 一般線型群GL _{n は、} n行n列の行列環多様体の乗法群として見ることができるアフィン代数多様体です。関数として、 SスキームT を、要素がTのグローバルセクションである可逆なn行n列の行列のグループに送信します。アフィン基底上で、行列式の可逆性をエンコードしたイデアルによるn ² + 1 変数の多項式環の商として構築できます。または、相互に逆行列の順序付きペアを記述する関係を使用して、 2 n ²変数を使用して構築することもできます。
• 任意の正の整数nに対して、群 μ _{n は}G _{mからそれ自身への}n乗写像の核である。関手として、これは任意のSスキームT を、 f ⁿ = 1となるようなTのグローバルセクションfの群に写す。 Spec Aなどのアフィン基底上では、これはA [x]/( x ⁿ −1) のスペクトルである。nが基底上で可逆でない場合、このスキームは滑らかではない。特に、特性pの体上では、 μ _{p は}滑らかではない。
• 加法群G _aは、アフィン直線A ^{1 を}基礎​​スキームとして持ちます。これは関手として、任意のSスキームT を構造層のグローバルセクションの基礎加法群に送信します。 Spec Aなどのアフィン基底上では、多項式環A [ x ]のスペクトルです。単位写像はx をゼロに送ることで与えられ、乗算はx を1 ⊗  x  +  x  ⊗ 1 に送ることで与えられ、逆はx を− xに送ることで与えられます。
• ある素数pに対してSでp = 0の場合、 p乗をとるとG _aの自己準同型が誘導され、核は群スキーム α _{pです。 Spec} Aなどのアフィン基底上では、それはA [x]/( x ^p )のスペクトルです。
• アフィン直線の自己同型群は、 G _aとG _mの半直積に同型であり、ここで加法群は平行移動によって作用し、乗法群は拡大によって作用します。選択された基点を固定する部分群は乗法群に同型であり、基点を加法群構造の恒等式とすると、G _mはG _aの自己同型群と同一になります。
• マークされた点を持つ滑らかな種数 1 の曲線 (つまり、楕円曲線) は、その点を単位元とする一意の群スキーム構造を持ちます。これまでの正次元の例とは異なり、楕円曲線は射影的です (特に適切な)。

G が体k上の有限型の群スキームであるとします。G ^{0 を}恒等式の連結成分、つまり最大連結部分群スキームとします。すると、G は有限エタール群スキームのG ⁰による拡張になります。 Gには一意の最大縮約部分スキームG _redがあり、kが完全であれば、G _{red は}Gの部分群スキームである滑らかな群多様体です。商スキームは有限ランクの局所環のスペクトルです。

任意のアフィン群スキームは、可換ホップ代数のスペクトルです（基底S上では、これはO _S代数の相対スペクトルによって与えられます）。群スキームの乗法、単位、逆写像は、ホップ代数の余乗法、余単位、対掌体構造によって与えられます。ホップ代数の単位と乗法構造は、基礎となるスキームに固有のものです。任意の群スキームGに対して、大域切断の環も可換ホップ代数構造を持ち、そのスペクトルを取ることで、最大アフィン商群が得られます。アフィン群多様体は、一般線型群のサブグループとして埋め込むことができるため、線型代数群として知られています。

完全連結群スキームは、ある意味ではアフィン群スキームとは逆である。なぜなら、完全性は、すべての大域セクションが基底から引き戻されたものとまったく同じであることを意味し、特に、アフィンスキームへの非自明な写像を持たないからである。任意の完全群多様体 (ここでの多様体とは、体上の有限型の縮小され幾何学的に既約な分離スキームを意味する) は、恒等式のジェット空間への共役の作用を含む議論により、自動的に可換である。完全群多様体はアーベル多様体と呼ばれる。これはアーベルスキームの概念に一般化される。基底S上の群スキームG は、 GからSへの構造射が幾何学的に連結されたファイバーを持つ適切かつ滑らかである場合にアーベルである。それらは自動的に射影的であり、例えば、幾何学的類体論や代数幾何学全体にわたって多くの用途がある。しかし、体上の完全群スキームは可換である必要はない。例えば、任意の有限群スキームは完全である。

ネータースキームS上のグループスキームGが有限かつ平坦であるための必要十分条件は、 O _{G が}有限ランクの局所自由O _S加群である場合です。ランクはS上の局所定数関数であり、  Gの位数と呼ばれます。定数グループスキームの位数は、対応するグループの位数に等しく、一般に、位数は基底変更とスカラーの有限平坦制限に関して適切に動作します。

有限平坦群スキームのうち、定数（上記の例を参照）は特別なクラスを形成し、特性 0 の代数的に閉じた体上では、有限群のカテゴリは定数有限群スキームのカテゴリと同等です。正の特性またはより算術的な構造を持つ基底上では、追加の同型型が存在します。たとえば、2 が基底上で可逆である場合、位数 2 のすべての群スキームは定数ですが、2 進整数上では、特殊ファイバーが滑らかでないため、μ _{2は定数ではありません。位数 2 の群スキームの同型型の数が任意に大きくなる、高度に分岐した 2 進環のシーケンスが存在します。p}進環上の可換有限平坦群スキームのより詳細な分析は、延長に関するレイノーの研究に記載されています。

可換有限平坦群スキームは、自然界ではアーベル多様体や半アーベル多様体のサブグループスキームとしてよく現れ、正特性または混合特性において、周囲の多様体に関する多くの情報を捉えることができます。たとえば、特性 0 の楕円曲線のp捩れは、位数p ^{2の定数基本アーベル群スキームと局所的に同型ですが、} F _p上では、 p 個の連結成分 (曲線が通常の場合) または 1 つの連結成分 (曲線が超特異の場合)を持つ位数p ²の有限平坦群スキームです。楕円曲線の族を考えると、p捩れはパラメータ化空間上の有限平坦群スキームを形成し、超特異軌跡はファイバーが連結される場所です。この連結成分の併合は、モジュラースキームから剛体解析空間に移行することで詳細に調べることができ、そこでは超特異点が正の半径の円板に置き換えられます。

カルティエ双対性は、有限可換群スキームを有限可換群スキームに適用する ポンチャギン双対性のスキーム理論的類似物です。

正の標数pの完全体k上の有限平坦可換群スキームは、その幾何学的構造を (半) 線型代数の設定に移すことによって研究できる。基本的な対象は、非可換多項式の環の商で、係数がkのウィット ベクトルであるディウドネ環D = W ( k ) { F , V }/( FV  −  p ) である。 FとV はフロベニウス演算子とヴェルシエブング演算子であり、ウィット ベクトルに対して非自明に作用する可能性がある。ディウドネとカルティエは、位数が "p" の累乗である k 上の有限可換群スキームと、有限の W ( k ) 長を持つ D 上の加群との間のカテゴリの反同値性を構築 した。一方向のディウドネ加群関数は、ウィット コベクトルのアーベル層CWへの準同型によって与えられる。この層は、連続する Verschiebung 写像V : W _n → W _n+1の下で有限長の Witt ベクトルの直接極限を取り、それを完備化することによって構成されるため、多かれ少なかれ Witt ベクトルの層 (これは実際には群スキームによって表現可能) と双対です。可換群スキームの多くの特性は、対応する Dieudonné 加群を調べることによって見ることができます。たとえば、連結されたp群スキームは、 Fが冪零であるD加群に対応し、エタール群スキームは、Fが同型である加群に対応します。

デュドネ理論は、体上の有限平坦群よりもいくぶん一般的な設定で存在する。小田の1967年の学位論文は、デュドネ加群とアーベル多様体の第一ド・ラームコホモロジーの関係を示し、ほぼ同時期にグロタンディークは、p分解群を解析するために使用できる理論の結晶バージョンが存在するはずであると示唆した。群スキームに対するガロア作用はカテゴリの同値性を通じて伝達され、関連するガロア表現の変形理論は、ワイルズの志村-谷山予想に関する研究で使用された。

• 基本的なグループスキーム
• 幾何学的不変理論
• GIT 指数
• 群体スキーム
• グループスキームアクション
• グループスタック
• 不変理論
• 商スタック

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• デマズール、ミシェル。アレクサンドル・グロタンディーク編（1970年）。Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1962–64 – Schémas en groupes – (SGA 3) – vol. 2 (数学の講義ノート152 ) (フランス語)。ベルリン;ニューヨーク: Springer-Verlag。 9 ページ、654。
• デマズール、ミシェル。アレクサンドル・グロタンディーク編（1970年）。Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1962–64 – Schémas en groupes – (SGA 3) – vol. 3 (数学の講義ノート153 ) (フランス語)。ベルリン;ニューヨーク: Springer-Verlag。 vii、529ページ。
• ガブリエル、ピーター、デマズール、ミシェル（1980）。代数幾何学と代数群入門。アムステルダム：ノースホランド出版。ISBN 0-444-85443-6。
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