混合（数学）

数学において、混合は物理学に由来する抽象的な概念であり、日常生活における混合の不可逆的な熱力学的プロセスを記述しようとする試みである。例えば、塗料を混ぜる、飲み物を混ぜる、金属を混ぜるなどである。

この概念は、確率過程と測度保存力学系の研究であるエルゴード理論に現れる。混合には、強混合、弱混合、位相的混合など、いくつかの異なる定義が存在する。位相的混合は、測度を定義する必要がない。混合の異なる定義のいくつかは階層的に並べることができ、したがって、強混合は弱混合を意味する。さらに、弱混合（したがって強混合も）はエルゴード性を意味する。つまり、弱混合するすべてのシステムはエルゴード的でもある（したがって、混合はエルゴード性よりも「強い」条件であると言われる）。

混合の数学的定義は、塗料、飲料、調理材料の混合、工業プロセスにおける混合、煙で満たされた部屋での煙など、日常的な混合プロセスを捉えることを目的としている。数学的な厳密性を確保するために、このような記述は、次のように記述される測度保存力学系の定義から始まる。${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$⁠ .

セット${\displaystyle X}$は、満たされるべき空間全体、つまり混合ボウル、煙で満たされた部屋などを指すものと理解されている。${\displaystyle \mu }$空間の自然な容積を定義するものと理解されている${\displaystyle X}$そしてその部分空間の集合。部分空間の集合は で表されます。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$⁠ 、そして任意の部分集合のサイズ${\displaystyle A\subset X}$です​${\displaystyle \mu (A)}$大きさは体積です。素朴に考えると、${\displaystyle {\mathcal {A}}}$のべき乗セットである${\displaystyle X}$⁠ ; これは完全には機能しません。空間のすべての部分集合が体積を持つわけではないからです (有名なバナッハ-タルスキーのパラドックス)。したがって、慣習的に、${\displaystyle {\mathcal {A}}}$は、可測部分集合、つまり体積を持つ部分集合から構成されます。これは常にボレル集合、すなわち共通部分、和集合、および補集合を取ることによって構成できる部分集合の集合であるとみなされます。これらの部分集合は常に可測であるとみなすことができます。

システムの時間発展はマップによって記述される${\displaystyle T:X\to X}$. ある部分集合が与えられた場合${\displaystyle A\subset X}$その地図${\displaystyle T(A)}$一般的には、${\displaystyle A}$―押しつぶされたり、引き伸ばされたり、折り畳まれたり、切り刻まれたりします。数学的な例としては、パン作りにヒントを得たパン屋の地図や蹄鉄の地図などがあります。${\displaystyle T(A)}$同じ体積でなければならない${\displaystyle A}$圧縮／伸長によって空間の体積は変化せず、その分布のみが変化する。このようなシステムは「寸法保存型」（面積保存型、体積保存型）である。

集合の体積と写像の下でそのサイズを維持する必要性を調和させようとすると、形式的な困難が生じる。この問題は、一般に、関数の定義域内の複数の異なる点がその値域内の同じ点に写像される可能性があるために生じる。つまり、${\displaystyle x\neq y}$と共に​${\displaystyle T(x)=T(y)}$さらに悪いことに、たった1点${\displaystyle x\in X}$サイズがありません。これらの問題は、逆写像を用いることで回避できます。${\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$⁠ ; 任意のサブセットをマッピングします${\displaystyle A\subset X}$それを構成するために組み立てられた部品について：これらの部品は${\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}$⁠。それは、物事がどこから来たのかを「見失わない」という重要な特性を持っています。さらに強く言えば、それは、任意の（測度保存）マップ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$ある写像の逆写像である${\displaystyle X\to X}$⁠。体積保存マップの適切な定義は、${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$なぜなら${\displaystyle T^{-1}(A)}$すべての部品について説明します${\displaystyle A}$由来する。

システムの時間発展を研究することに関心がある。${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$最終的にはすべての場所を訪れる${\displaystyle X}$長期間にわたって（つまり、${\displaystyle \cup _{k=1}^{n}T^{k}(A)}$すべてにアプローチする${\displaystyle X}$大型${\displaystyle n}$) システムはエルゴード的であると言われます。すべての集合が${\displaystyle A}$このように振る舞うシステムは、保存システムであり、散逸システムとは対照的です。散逸システムでは、いくつかのサブセットが${\displaystyle A}$さまよい出て、二度と戻ってこない。例としては、下り坂を流れる水がある。一度流れ落ちたら、二度と戻ってくることはない。しかし、この川の底にできる湖は、よく混ざり合う可能性がある。ホップ分解定理は、すべての測度空間は、保存部分と散逸部分の 2 つの部分に分割できると述べている。

混合性はエルゴード性よりも強い主張である。混合性は、任意の2つの集合間でこのエルゴード的性質が成り立つことを要求する。${\displaystyle A,B}$⁠、そして単にいくつかのセットの間だけではなく${\displaystyle A}$そして​${\displaystyle X}$つまり、任意の2つの集合が与えられた場合、${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$⁠、整数が存在する場合、システムは（位相的に）混合していると言われます。${\displaystyle N}$すべての${\displaystyle A,B}$そして​${\displaystyle n>N}$⁠、つまり、${\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$。 ここ、${\displaystyle \cap }$集合の交差を表し、${\displaystyle \varnothing }$は空集合です。

上記の位相的混合の定義は、混合の非公式な概念を示すのに十分であるはずです（これは、以下に示す正式な定義と同等です）。しかし、体積については何も言及されていませんでした。${\displaystyle A}$そして​${\displaystyle B}$⁠、そして実際、体積を明示的に扱う別の定義も存在します。実際にはいくつかあり、そのうちの1つは強混合と弱混合の両方を持ちます。これらは同値ではありませんが、強混合系は常に弱混合です。測度に基づく定義は位相的混合の定義と互換性がありません。一方には当てはまるが他方には当てはまらない系が存在するからです。一般的な状況は依然として不明瞭です。例えば、3つの集合が与えられた場合、${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {A}}}$⁠、3-混合を定義することができる。2020年現在、2-混合が3-混合を意味するかどうかは不明である。（エルゴード性を「1-混合」と考えるならば、1-混合が2-混合を意味しないことは明らかである。エルゴード的ではあるが混合しないシステムが存在する。）

強い混合の概念は、2つの集合の体積に関連しています。例えば、集合を考えてみましょう。${\displaystyle A}$コーンシロップやシャンプーなどの粘性のある液体に、着色染料を混ぜる作業。実際の経験から、粘性のある液体を混ぜるのはかなり難しいことがわかっています。容器の隅の方に染料が入りにくいことがよくあります。${\displaystyle B}$手の届きにくい隅っこ。混合の問題は、${\displaystyle A}$十分な時間が経過すると、${\displaystyle B}$満たす${\displaystyle B}$他の地域と同じ割合で？

強い混合の定義は、次のような要件として表現される。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(T^{-n}A\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

時間パラメータ${\displaystyle n}$分離するのに役立つ${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$時間とともに、混合される${\displaystyle A}$テストボリュームを保持しながら${\displaystyle B}$修正済み。製品${\displaystyle \mu (A)\mu (B)}$もう少し微妙な点があります。音量が${\displaystyle B}$総容量の10％であり、染料の容量は${\displaystyle A}$総額の10％にもなります。${\displaystyle A}$が均等に分布している場合、それは 10% を占めています${\displaystyle B}$それ自体が全体の 10% であり、したがって、最終的に混合した後、${\displaystyle A}$それは${\displaystyle B}$総容量の 1% です。つまり、${\displaystyle \mu \left({\mbox{after-mixing}}(A)\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$この体積積は、確率論におけるベイズの定理と単なる偶然以上の類似性を持っています。これは偶然ではなく、測度論と確率論が同じ理論であることの帰結です。両者は異なる記号を用いながらも、同じ公理（コルモゴロフの公理）を共有しているのです。

使用する理由${\displaystyle T^{-n}A}$の代わりに${\displaystyle T^{n}A}$定義では少し微妙ですが、同じ理由から、 ${\displaystyle T^{-1}A}$は、尺度保存マップの概念を定義するために使用されました。隅にどれだけの染料が混ざったかを調べると${\displaystyle B}$染料がどこから来たのか（おそらく過去のある時点で上部から注ぎ込まれたのだろう）を調べたい。染料が「来た」可能性のあるすべての場所が最終的に混ざり合うことを確認しなければならない。${\displaystyle B}$。

させて${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$は、時間発展演算子またはシフト演算子Tを用いた測度保存力学系である。任意の に対して、 が成り立つ場合、このシステムは強混合であると言われる。${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$1つは

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(A\cap T^{-n}B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

離散整数nではなく連続変数でパラメータ化されたシフトの場合、同じ定義が適用されます。${\displaystyle T^{-n}}$に置き換えられました${\displaystyle T_{g}}$gは連続時間パラメータである。

力学系は、次の条件を満たす場合に弱混合であると言われる。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\left|\mu (A\cap T^{-k}B)-\mu (A)\mu (B)\right|=0.}$

言い換えると、${\displaystyle T}$混合が強い場合${\displaystyle \mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\to 0}$通常の意味では、弱い混合

${\displaystyle \left|\mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\right|\to 0,}$

チェザロの意味で、エルゴード的であれば${\displaystyle \mu \left(A\cap T^{-n}B\right)\to \mu (A)\mu (B)}$チェザロの意味で。したがって、強い混合は弱い混合を意味し、弱い混合はエルゴード性を意味する。しかし、その逆は真ではない。弱い混合をしないエルゴード的な力学系と、強い混合をしない弱い混合の力学系が存在する。チャコン系は、弱い混合ではあるが強い混合ではないシステムの最初の例として歴史的に挙げられた。^{[ 1 ]}

定理。弱混合性はエルゴード性を意味する。

証明。マップの作用が2つの成分に分解される場合、${\displaystyle A,B}$⁠、すると⁠${\displaystyle \mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A\cap B)=\mu (\emptyset )=0}$⁠、したがって弱い混合は⁠${\displaystyle \vert \mu (A\cap B)-\mu (A)\mu (B)\vert =0}$⁠、だから${\displaystyle A,B}$片方は尺度がゼロで、もう片方は尺度がフルです。

混合の形態は、尺度に頼ることなく、システムのトポロジーのみを用いて定義することができる。連続写像${\displaystyle f:X\to X}$は、任意の空でない開集合のペアに対して、 が成り立つ場合に位相的に推移的であると言われる。${\displaystyle A,B\subset X}$整数nが存在し、

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$

どこ${\displaystyle f^{n}}$はfのn番目の反復です。作用素論では、位相的に推移的な有界線形作用素(位相ベクトル空間上の連続線形写像) は通常、超巡回作用素と呼ばれます。

関連する考え方は、放浪集合によって表現されます。実際、点が放浪しないのは、

${\displaystyle \exists n>N\geq 0:f^{n}(U)\cap U\neq \varnothing }$

つまり、n 番目の画像は初期近傍 U から「遠すぎず」、「まだ交差している」。前のケースでは、集合 B が任意の部分集合になり得るため、「さまよう」。${\displaystyle \Omega }$^{[ 3 ] [ 4 ]}

補題：X が孤立点を持たない完備距離空間であるとき、f が位相的に推移的であるのは、超巡回点が存在する場合に限る。${\displaystyle x\in X}$つまり、その軌道が${\displaystyle \{f^{n}(x):n\in \mathbb {N} \}}$Xにおいて密である。

システムが位相的に混合的であるとは、開集合が与えられた場合に言われる。${\displaystyle A}$そして​${\displaystyle B}$⁠、ある整数Nが存在し、すべての⁠${\displaystyle n>N}$⁠、1つは

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing .}$^{[ 5 ]}

連続時間システムの場合、${\displaystyle f^{n}}$流れ によって置き換えられます${\displaystyle \varphi _{g}}$⁠、 gは連続パラメータであり、すべてのに対して空でない交差が成り立つという条件がある。${\displaystyle \Vert g\Vert >N}$⁠ .

弱い位相的混合とは、シフト演算子の非定数連続（位相に関して）固有関数を持たない混合のことである。

位相的混合は、弱い混合や強い混合を意味するものではなく、またそれらによって意味されるものでもない。弱い混合ではあるが位相的に混合しないシステムや、位相的に混合するが強い混合ではないシステムの例が存在する。

させて${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$確率空間上の確率過程である${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$プロセス マップにトポロジー、すなわち積トポロジーを与えることができるシーケンス空間。このトポロジーの開集合はシリンダー集合と呼ばれます。これらのシリンダー集合はσ 代数、すなわちボレル σ 代数を生成します。これは、トポロジーを含む最小の σ 代数です。

関数を定義する${\displaystyle \alpha }$強い混合係数と呼ばれるもの

${\displaystyle \alpha (s)=\sup \left\{|\mathbb {P} (A\cap B)-\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)|:-\infty <t<\infty ,A\in X_{-\infty }^{t},B\in X_{t+s}^{\infty }\right\}}$

すべての人々のために${\displaystyle -\infty <s<\infty }$シンボル​${\displaystyle X_{a}^{b}}$、 と${\displaystyle -\infty \leq a\leq b\leq \infty }$はσ代数の部分σ代数を表します。これは、時刻aとbの間に指定されるシリンダー集合の集合、つまり によって生成されるσ代数です。${\displaystyle \{X_{a},X_{a+1},\ldots ,X_{b}\}}$⁠ .

そのプロセス${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$強く混合していると言われるのは、${\displaystyle \alpha (s)\to 0}$として​${\displaystyle s\to \infty }$つまり、強い混合プロセスとは、あらゆる時間において均一な方法で、${\displaystyle t}$そしてすべての出来事、時間以前の出来事${\displaystyle t}$そして時間経過後の出来事${\displaystyle t+s}$独立志向が強い${\displaystyle s\to \infty }$より口語的に言えば、このプロセスは、強い意味で、その歴史を忘れてしまう。