超巡回演算子

数学、特に関数解析において、位相ベクトル空間X上の超巡回作用素とは、連続線型作用素T : X → Xであって、あるベクトルx ∈ Xが存在し、そのベクトル x に対して数列 { T ⁿ x : n = 0, 1, 2, …}が空間X全体で稠密となるようなものをいう。言い換えれば、x を含む最小の閉不変部分集合は空間全体である。そのようなx は超巡回ベクトルと呼ばれる。有限次元空間には超巡回作用素は存在しないが、無限次元空間における超巡回性の性質は珍しい現象ではなく、多くの作用素が超巡回である。

超循環性は、より広い概念である位相的推移性（位相的混合を参照）と普遍性の特殊なケースです。普遍性は一般に、 （ XからXに写像する単一の演算子の累乗の列ではなく）1 つの位相空間から別の位相空間への写像のセットを含みますが、超循環性と似た意味を持ちます。普遍的なオブジェクトの例は、1914 年に Julius Pal によって、1935 年にJózef Marcinkiewiczによって、または 1952 年に MacLane によってすでに発見されています。しかし、超循環演算子がより集中的に研究され始めたのは 1980 年代になってからでした。

超巡回演算子の例としては、ℓ ²シーケンス空間上の2回の後方シフト演算子、つまりシーケンスを取る演算子が挙げられます。

( a ₁、a ₂、a ₃、 …) ∈ ℓ ²

シーケンスに

(2 a ₂ , 2 a ₃ , 2 a ₄ , …) ∈ ℓ ² .

これは1969年にロレヴィッツによって証明されました。

• すべての無限次元可分 フレシェ空間には超巡回演算子が存在します。一方、有限次元空間や非可分空間には超巡回演算子は存在しません。
• x が超巡回ベクトルである場合、 T ⁿ x も超巡回であるため、超巡回ベクトルの稠密な集合が常に存在します。
• さらに、超巡回ベクトルの集合は、X が距離化可能な空間であるとき連結な G _δ集合であり、{0} までの稠密なベクトル空間を常に含みます。
• チャールズ・リード（1988）は、すべての非ゼロベクトルが超巡回となるようなℓ ¹ 上の作用素を構築し、バナッハ空間のクラスにおける不変部分空間問題（さらには不変部分集合問題）に対する反例を示した。そのような作用素（超推移的、または軌道推移的と呼ばれることもある）が可分ヒルベルト空間上に存在するかどうかという問題は、まだ未解決である（2022年現在）。

• Bayart, Fréderic; Matheron, Étienne (2009)、「線形演算子のダイナミクス」、Cambridge Tracts in Mathematics、vol. 179、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-51496-5、MR  2533318
• ボーザミー、バーナード（1988）、演算子理論と不変部分空間入門、ノースホランド数学図書館、第42巻、アムステルダム：ノースホランド、ISBN 978-0-444-70521-1、MR  0967989
• Read, CJ (1988)、「バナッハ空間のクラスの不変部分空間問題、2: 超巡回演算子」、イスラエル数学ジャーナル、63 (1): 1–40、doi : 10.1007/BF02765019、ISSN  0021-2172、MR  0959046、S2CID  123651876
• Grosse-Erdmann、Karl-Goswin (1999)、「普遍族と超巡回演算子」、米国数学会報、新シリーズ、36 (3): 345–381、doi : 10.1090/S0273-0979-99-00788-0、ISSN  1088-9485、MR  1685272
• Grosse-Erdmann、Karl-Goswin; Peris Manguillot、Alfred (2011)、線形カオス、Universitext、ロンドン：Springer、doi：10.1007 / 978-1-4471-2170-1、ISBN 978-1-4471-2169-5、MR  2919812

• 位相混合