Type of stochastic Markov process
確率過程 の数学的研究において 、 ハリス連鎖 は状態空間の特定の部分に無限回戻る連鎖 で ある。 [1]ハリス連鎖は 再生過程 であり、 セオドア・ハリス にちなんで名付けられた 。ハリス連鎖とハリス再帰の理論は、一般的な（おそらくは非可算無限の）状態空間上のマルコフ連鎖を扱うのに役立つ。
意味 を確率核 を持つ 一般状態空間上の マルコフ連鎖 とする 。 核 は一般化された1ステップ遷移確率法則を表し、 の すべての状態 およびすべての測定可能な集合に対して となる 。連鎖は ハリス連鎖 [2] であり 、 および と なる
確率測度が 存在する場合である。
{
X
n
}
{\displaystyle \{X_{n}\}}
Ω
{\displaystyle \Omega }
K
{\displaystyle K}
P
(
X
n
+
1
∈
C
∣
X
n
=
x
)
=
K
(
x
,
C
)
{\displaystyle P(X_{n+1}\in C\mid X_{n}=x)=K(x,C)}
x
{\displaystyle x}
Ω
{\displaystyle \Omega }
C
⊆
Ω
{\displaystyle C\subseteq \Omega }
{
X
n
}
{\displaystyle \{X_{n}\}}
A
⊆
Ω
,
ε
>
0
{\displaystyle A\subseteq \Omega ,\varepsilon >0}
ρ
{\displaystyle \rho }
ρ
(
Ω
)
=
1
{\displaystyle \rho (\Omega )=1}
ならば 、 すべての に対して となります 。
τ
A
:=
inf
{
n
≥
0
:
X
n
∈
A
}
{\displaystyle \tau _{A}:=\inf\{n\geq 0:X_{n}\in A\}}
P
(
τ
A
<
∞
∣
X
0
=
x
)
=
1
{\displaystyle P(\tau _{A}<\infty \mid X_{0}=x)=1}
x
∈
Ω
{\displaystyle x\in \Omega }
かつ（ただし は測定可能）の場合、 と なり ます 。
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
C
⊆
Ω
{\displaystyle C\subseteq \Omega }
C
{\displaystyle C}
K
(
x
,
C
)
≥
ε
ρ
(
C
)
{\displaystyle K(x,C)\geq \varepsilon \rho (C)}
定義の最初の部分は、 どこから始まったかに関係なく、連鎖が確率 1 で 内のいずれかの状態に戻ることを保証します。したがって、連鎖は状態 を 無限に頻繁に訪れます (確率 1)。2 番目の部分は、マルコフ連鎖が状態 になると 、次の状態は独立したベルヌーイコイン投げによって生成できることを意味します。これを確認するには、まず、パラメータ が 0 から 1 の間である必要があることに注意してください (これは、定義の 2 番目の部分を集合 に適用することで示されます )。次に、 を の点とし 、 と仮定します 。次の状態 を選択するには 、成功確率 でバイアスのかかったコインを独立に投げます 。コイン投げが成功した場合は、 確率測度 に従って次の状態を選択します 。そうでない場合 (および の場合)、 測度 (すべての測定可能なサブセット に対して定義されています) に従って 次の状態を選択します 。
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
C
=
Ω
{\displaystyle C=\Omega }
x
{\displaystyle x}
A
{\displaystyle A}
X
n
=
x
{\displaystyle X_{n}=x}
X
n
+
1
{\displaystyle X_{n+1}}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
X
n
+
1
∈
Ω
{\displaystyle X_{n+1}\in \Omega }
ρ
{\displaystyle \rho }
ε
<
1
{\displaystyle \varepsilon <1}
X
n
+
1
{\displaystyle X_{n+1}}
P
(
X
n
+
1
∈
C
∣
X
n
=
x
)
=
(
K
(
x
,
C
)
−
ε
ρ
(
C
)
)
/
(
1
−
ε
)
{\displaystyle P(X_{n+1}\in C\mid X_{n}=x)=(K(x,C)-\varepsilon \rho (C))/(1-\varepsilon )}
C
⊆
Ω
{\displaystyle C\subseteq \Omega }
同じ確率法則を持ち、上記の定義に従ってハリス連鎖である 2 つのランダム プロセス とは、次のように結合できます。 および と ( および は 内の点) であるとします 。 両方のプロセスの次の状態を決定するために同じコイン投げを使用すると、次の状態は少なくとも の確率で同じになります 。
{
X
n
}
{\displaystyle \{X_{n}\}}
{
Y
n
}
{\displaystyle \{Y_{n}\}}
X
n
=
x
{\displaystyle X_{n}=x}
Y
n
=
y
{\displaystyle Y_{n}=y}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
A
{\displaystyle A}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
例
例1: 可算状態空間 Ω を可算状態空間とする。カーネル K は、 x 、 y ∈ Ωに対して 1 ステップの条件付き遷移確率 P[ X n +1 = y | X n = x ] によって定義される。測度 ρ は状態に対する確率質量関数であるため、すべての x ∈ Ω に対して ρ ( x ) ≥ 0となり 、 ρ (x) 確率の合計は 1 に等しくなる。上記の定義が、与えられた集合 A ⊆ Ω と与えられたパラメーター ε > 0 に対して満たされると仮定する。すると、すべての x ∈ A とすべての c ∈ Ω に対して P[ X n +1 = c | X n = x ] ≥ ερ ( c )となる 。
例2: 連続密度を持つチェーン { X n }, X n ∈ R d を ルベーグ測度 に関して 絶対連続な 核 を 持つ マルコフ連鎖 とする 。
K ( x , y ) dy = K ( x , y ) dy です。 K ( x , y ) が 連続関数 となる 。
K ( x 0 , y 0 ) > 0と なるような ( x 0 , y 0 )を選び、 A とΩをそれぞれ x 0 と y 0 を 含む 開集合とし、 A × Ω上で K ( x , y ) ≥ ε > 0と なるほど十分小さいものとする。ρ ( C ) = |Ω ∩ C |/|Ω|とし、|Ω|をΩの ルベーグ測度 とすると、上記の定義の(2)が成り立つことがわかる。(1)が成り立つ場合、{ X n }はハリス連鎖である。
還元性と周期性 以下では 、すなわち は、 時間 0 以降にプロセスが領域 に入る最初の時間です 。 は マルコフ連鎖の初期分布、すなわち を表します 。
R
:=
inf
{
n
≥
1
:
X
n
∈
A
}
{\displaystyle R:=\inf\{n\geq 1:X_{n}\in A\}}
R
{\displaystyle R}
A
{\displaystyle A}
μ
{\displaystyle \mu }
X
0
∼
μ
{\displaystyle X_{0}\sim \mu }
定義: すべての に対して である場合 、 ハリス連鎖は 再帰的と呼ばれます。
μ
{\displaystyle \mu }
P
[
R
<
∞
|
X
0
∈
A
]
=
1
{\displaystyle P[R<\infty |X_{0}\in A]=1}
定義: 再帰ハリス連鎖 が 非周期的で あるとは 、次の条件を満たす場合である 。
X
n
{\displaystyle X_{n}}
∃
N
{\displaystyle \exists N}
∀
n
≥
N
{\displaystyle \forall n\geq N}
∀
μ
,
P
[
X
n
∈
A
|
X
0
∈
A
]
>
0
{\displaystyle \forall \mu ,P[X_{n}\in A|X_{0}\in A]>0}
定理: が定常分布 である非周期的回帰ハリス連鎖である とします 。 のとき となり 、 は 同じ測定可能空間上で定義された符号付き測度の全変化を表します。
X
n
{\displaystyle X_{n}}
π
{\displaystyle \pi }
P
[
R
<
∞
|
X
0
∈
A
]
=
1
{\displaystyle P[R<\infty |X_{0}\in A]=1}
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
|
|
L
(
X
n
|
X
0
)
−
π
|
|
T
V
→
0
{\displaystyle ||{\mathcal {L}}(X_{n}|X_{0})-\pi ||_{TV}\rightarrow 0}
|
|
⋅
|
|
T
V
{\displaystyle ||\cdot ||_{TV}}
参考文献
^ Asmussen, Søren (2003). 「再生理論と再生プロセスのさらなるトピック」. 応用確率とキュー . 確率モデルと応用確率. 第 51 巻. pp. 186–219. doi :10.1007/0-387-21525-5_7. ISBN 978-0-387-00211-8 。 ^ R. Durrett. 確率：理論と例 。トムソン、2005年 。ISBN 0-534-42441-4 。 
![{\displaystyle P[R<\infty |X_{0}\in A]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/761a0ab00627d8694e4b91e91e4f4e3d4c87c2b0)
![{\displaystyle \forall \mu ,P[X_{n}\in A|X_{0}\in A]>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d46a40b296ce1c750749608e690d73f78f58c2d3)
