ホップ分解

数学において、ホップ分解（ホップかいぞく、Eberhard Hopf ）は、測度空間 ( X , μ ) を可逆な特異でない変換T : X → Xに関して標準分解する。この変換は、その逆変換とともに可測であり、空集合を空集合へ運ぶ。空集合まで、X は、 TのCへの作用は保存的であり、 TのDへの作用は散逸的であるT不変集合の互いに素な和C ∐ Dとして表すことができる。したがって、 τ がTによって誘導されるA = L ^∞ ( X )の自己同型である場合、 pAが保存的であり、(I–p)Aが散逸的であるような、 Aに一意の τ 不変射影p が存在する。

• さまよう集合と散逸作用。Xの測定可能な部分集合Wがさまよう集合であるとは、その特性関数q = χ _WのA = L ^∞ ( X )がすべてのnに対してq τ ⁿ ( q ) = 0 を満たす場合である。したがって、零集合を除いて、並進T ⁿ ( W ) は対で互いに素である。あるさまよう集合Wに対してX = ∐ T ⁿ ( W ) ae が成り立つ場合、作用は散逸的であると呼ばれる。
• 保守的な動作。Xに正の測度のさまよう部分集合がない場合、その動作は保守的であると言われます。
• 非圧縮性作用。ある作用が非圧縮性であるとは、測定可能な部分集合Z がT ( Z ) ⊆ Z を満たすときはいつでもZ \ TZ の測度が 0 であることを意味する。したがって、q = χ _Zかつ τ( q ) ≤ qであれば、 τ( q ) = q ae となる。
• 再帰的動作。任意のq = χ _Yに対してq ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ... aeが成立する場合、動作Tは再帰的であるといわれます。
• 無限回帰アクション。アクションTは、任意のq = χ _Yおよび任意のm ≥ 1 に対してq ≤ τ ^m ( q ) ∨ τ ^{m + 1} ( q ) ∨ τ ^{m +2} ( q ) ∨ ... ae が成立する場合、無限回帰アクションであるといわれます。

定理。Tが測度空間（X 、μ）上の零集合を保存する可逆変換である場合、以下の条件はT（またはその逆）上で同値である：^[1]

1. T は保守的です。
2. Tは再発します。
3. T は無限回帰的です。
4. Tは非圧縮です。

Tが散逸的である場合、かつその場合に限りT ⁻¹が散逸的であるため、 Tが保存的である場合、かつその場合に限り T ⁻¹が保存的であることになります。

Tが保存的であれば、r = q ∧ (τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅) ^⊥ = q ∧ τ(1 - q ) ∧ τ ² (1 - q ) ∧ τ ³ ( q ) ∧ ... はさまよい、 q < 1 であれば必然的にr = 0 となります。したがってq ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ となり、 T は再帰的です。

Tが再帰的である場合、q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ ここで、帰納法によってq ≤ τ ^k ( q ) ∨ τ ^{k +1} ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ と仮定します。すると、 τ ^k ( q ) ≤ τ ^{k +1} ( q ) ∨ τ ^{k +2} ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ ≤ となります。したがって、q ≤ τ ^{k +1} ( q ) ∨ τ ^{k +2} ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ となります。したがって、結果はk +1 に対して成立し、したがってT は無限再帰的です。逆に、定義により、無限再帰変換は再帰的です。

ここで、 Tが再帰的であると仮定します。Tが非圧縮性であることを示すには、τ( q ) ≤ qならばτ( q ) ≤ qであることが示されなければなりません。実際、この場合、 τ ⁿ ( q ) は減少するシーケンスです。しかし、再帰性により、q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ であるため、 q ≤ τ( q ) となり、したがってq = τ( q ) となります。

最後に、 T が非圧縮性であると仮定します。T が保存的でない場合、Aには p ≠ 0 があり、τ n ( p ) は^分離しています (直交しています)。しかし、q = p ⊕ τ( p ) ⊕ τ ² ( p ) ⊕ ⋅⋅⋅ は、 τ( q ) < q を満たし、 q − τ( q ) = p ≠ 0であるため、非圧縮性と矛盾します。したがって、T は保存的です。

定理。Tが測度空間( X , μ )上の可逆変換で、空集合を保存し、 A = L∞ ( X )の自己^同型τを誘導する場合、 Aには唯一のτ不変量p = χ _Cが存在し、 τはpA = L∞ ( C )上で保存的であり、(1 −  p ) A = L∞ ( D )上で散逸的である（ただし、^D = X  \  C  ）。^{[2 ]}

一般性を失うことなく、 μ は確率測度であると仮定できます。Tが保存的である場合、その場合C = Xであるため、証明するものは何もありません。それ以外の場合は、 Tに対して放浪集合Wが存在します。 r = χ _Wおよびq = ⊕ τ ⁿ ( r )とします。したがって、 q はτ不変かつ散逸的 です。さらに、 μ ( q ) > 0 です。明らかに、このようなτ不変散逸q ′ の直交直和もτ不変かつ散逸的です。また、 qがτ不変かつ散逸的であり、r < qがτ不変である 場合、rは散逸的です。したがって、q ₁とq _{2 が}τ不変かつ散逸的であれば、 q ₁ ∨ q ₂ = q ₁ ⊕ q ₂ (1 −  q ₁ )であるため、 q ₁ ∨ q ₂はτ不変かつ散逸的です。ここで、 q がτ不変かつ散逸的なすべてのμ ( q )の最大値が M であるとします。 μ ( q _n ) がMまで増加するような τ 不変かつ散逸的なq n_を取ります。 q _{n を}q ₁ ∨ ⋅⋅⋅ ∨ q _nに置き換えると、t はq _nがqまで増加すると仮定できます。連続性により、q はτ不変であり、 μ ( q ) = Mです。最大性により、p = I − qは保存的です。τ不変量r < pは散逸的ではなく、すべてのτ不変量r < q は散逸的であるため、一意性は明らかです。

系。Tのホップ分解はT ⁻¹のホップ分解と一致する。

変換が測度空間上で散逸的となるのは、その逆変換が散逸的である場合のみであるため、TとT ⁻¹の散逸部分は一致します。したがって、保存部分も一致します。

系。Tのホップ分解は、n > 1のT ⁿのホップ分解と一致する。

W がTの放浪集合であれば、それはT ⁿの放浪集合です。したがって、 Tの散逸部分はT ⁿの散逸部分に含まれる。 σ = τ ⁿとします。逆を証明するには、 σ が散逸的であれば τ も散逸的であることを示すだけで十分です。そうでない場合は、ホップ分解を使用して、 σ は散逸的で τ は保存的であると想定できます。p がσ の非ゼロ放浪射影であるとします。すると、 τ ^a ( p ) と τ ^b ( p ) は、 n を法とする同じ合同クラス内の異なるaとbに対して直交します。積が非ゼロでサイズが最大である τ a ( p ) の集合を取ります。したがって、 | ^S | ≤ n です。最大性により、r はτ に対して放浪しており、矛盾しています。

系。可逆変換T が、空集合を保存する測度空間 ( X、μ ) 上でエルゴード的だが非推移的に作用し、B がμ ( B ) > 0となる部分集合である場合、 B ∪ TB ∪ T ² B ∪ ⋅⋅⋅の補集合は測度が 0 になります。

エルゴード性と非推移性は、Tの作用が保存的であり、したがって無限回帰的であることを意味することに注意してください。しかし、任意の m ≥ 1 に対して、 B ≤ T ^m ( B ) ∨ T ^{m + 1} ( B ) ∨ T ^{m +2} ( B ) ∨ ...が成り立ちます。T ^{− m を}適用すると、すべてのm > 0 に対して、 T ^{− m} ( B ) は Y = B ∪ TB ∪ T ² B ∪ ⋅⋅⋅に含まれます。エルゴード性により、μ ( X \ Y ) = 0です。

( X ,μ) を測度空間とし、S _{t を}X上の非特異フローとし、 A = L ^∞ ( X )の1 パラメータ群の自己同型 σ _{t を}誘導するものとする。作用は忠実であると仮定し、 σ _{t は}t = 0の場合にのみ恒等関数となる。各S _tまたは同等の σ _t （ t ≠ 0 ） に対してホップ分解が存在するので、 a p _{t は}σ _tによって固定され、作用はp _t A上で保存的であり、 (1− p _t ) A上で散逸的である。

• s、t ≠ ₀の場合、s / _{tが有理数であれば、SsとSt}の保存部分と 散逸部分は一致する。^[3]

これは、任意の非特異可逆変換について、TとT ⁿの保存部分と散逸部分がn ≠ 0に対して一致するという事実から導かれます。

• S ₁がA = L ^∞ ( X )上で散逸的である場合、 A上の不変測度 λとA内のpが存在し、

1. p > σ _t ( p ) （すべてのt > 0に対して）
2. λ( p – σ _t ( p )) = t （すべてのt > 0に対して）
3. t が−∞ に近づくとσ _t ( p ) 1 となり、 t が+∞ に近づくと σ _t ( p ) 0 となります。${\displaystyle \uparrow}$${\displaystyle \downarrow}$

T = S ₁とする。q をTの放浪集合としてとり、⊕ τ ⁿ ( q ) = 1 とする。μ を同等の測度に置き換えると、μ( q ) = 1と仮定でき、μ はqA上の確率測度に制限される。この測度を τ ⁿ ( q ) Aに移すと、μ はA上で τ 不変であるとさらに仮定できる。しかし、λ = ∫¹
₀ μ ∘ σ _t dt はA上の同等の σ 不変測度であり、必要に応じて λ( q ) = 1となるように再スケールできます。 ⊕ τ ⁿ ( r ) = 1 でT (または τ)に向かってさまようA内のr は簡単に記述できます。r = ⊕ τ ⁿ ( q _n )で与えられ、 q = ⊕ q _{n は}qの分解です。 特に、 λ( r ) =1 です。 さらに、p がp > τ( p ) かつ τ ^{– n} ( p ) 1 を満たす場合、 λ( p – τ( p )) = 1 となり、その結果をr = p – τ( p ) に適用します。同じ議論から、逆に、rがτの間さまよい、λ( r ) = 1である場合、⊕τn ( r ) = 1となること^がわかります。${\displaystyle \uparrow}$

Q = q ⊕ τ( q ) ⊕ τ ² ( q ) ⊕ ⋅⋅⋅ とすると、 k ≥ 1に対してτ ^k ( Q ) < Qとなる。このとき、 a = ∫^∞
₀σ _t ( q ) dt = Σ _{k ≥ 0} ∫¹
₀σ _{k + t} ( q ) dt = ∫¹
₀σ _t ( Q ) dtなので、Aでは 0 ≤ a ≤ 1 となります。定義により、s ≥ 0に対してσ _s ( a ) ≤ aとなります。これは、 a − σ _s ( a ) = ∫であるためです。^∞
_秒σ _t ( q ) dt。同じ式から、 σ _s ( a ) はs が+∞ または −∞ に向かうにつれて 0 または 1 に向かうことがわかります。0 < ε < 1 に対してp = χ [ _ε,1] (a) と設定します。すると σ _s ( p ) = χ _[ε,1] (σ _s ( a )) となります。s ≥ 0に対してσ _s ( p ) ≤ pであることが直ちにわかります。さらに、 sが+∞ に向かうにつれて σ _s ( p ) 0 となり、 s が−∞ に向かうにつれてσ _s ( p ) 1 となります。0 ≤ ε ⋅ σ _s ( p ) ≤ σ _s ( a )であるため、最初の極限式が成り立ちます。ここで、同じ推論を、 τ 、σ _t、q 、εの代わりに、 τ ^{−1 、σ} _{− t}、τ ⁻¹ ( q )、1 – εに適用できます。すると、 aとpに対応する量が1 − aと1 − pであることが簡単に確認できます。したがって、tが∞に近づくにつれて、σ _{− t} (1− p ) 0になります。したがって、sが−∞に近づくにつれて、σ _s ( p ) 1になります。特に、p ≠ 0、1です。${\displaystyle \downarrow}$${\displaystyle \uparrow}$${\displaystyle \downarrow}$${\displaystyle \uparrow}$

したがって、r = p − τ( p ) は τ についてさまよい、⊕ τ ^k ( r ) = 1 です。したがって、λ( r ) = 1 です。したがって、s = 1/ nに対してλ( p −σ _s ( p ) ) = sとなり、したがってすべての有理数s > 0 に対しても成り立ちます。族 σ _s ( p ) は連続かつ減少するため、連続性により、同じ式がすべての実数s > 0 に対しても成り立ちます。したがって、p は主張された条件をすべて満たします。

• t ≠ 0におけるS _tの保存的部分と散逸的部分はtに依存しない。^[4]

前の結果は、S _{t が}t ≠ 0に対してX上で散逸的である場合、 s ≠ 0に対してすべてのS _sも散逸的であることを示しています。一意性により、 S _tとS _{s は}他方の散逸部分を保存します。したがって、それぞれが他方の散逸部分上で散逸的であるため、散逸部分は一致します。したがって、保存部分は一致します。

• エルゴードフロー

• アーロンソン、ジョン（1997）、無限エルゴード理論入門、数学調査とモノグラフ、第50巻、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0494-4
• ホップ、エーバーハルト（1937）、Ergodentheorie（ドイツ語）、Springer
• クレンゲル、ウルリッヒ (1968)、「Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I」、Math。アンナレン（ドイツ語）、176 : 181−190
• Krengel、Ulrich (1985)、エルゴード定理、De Gruyter Studies in Mathematics、vol. 6、デ・グリュイテル、ISBN 3-11-008478-3