中全音律

中全音律は音楽の音律; ^[1]すなわち、ピタゴラス音律に似た、同じオクターブ内に収まるように調整された、上昇および下降する一連の等しい五度として構築されたさまざまな調律システムです。ただし、値の周波数比で構成される完全五度を使用するのではなく、よりわずかに小さい比率に絞り込む適切な係数によって調律され、長三度または短三度をそれぞれまたはの純正律比に近づけます。通常の音律は、すべての五度が同じサイズになるように選択されます。 $3:2$ $3:2$ $5:4$ $6:5$

十二音平均律 （12 TET）は、すべての半音を同じ大きさにし、それぞれを1オクターブの12分の1に等しくすることで得られます。つまり、比率は $12\sqrt2$ $: 1$ です。ピタゴラス音律と比較すると、完全五度が約2 $セント$ 狭くなります。1/ 12 ⁠ピタゴラスコンマの th を足して、周波数比をにします。これにより、約 13セント広い長三度、つまり⁠ が生成されます。 $2^{7/12}:1$ 1/ 8 ⁠半音の 1/2。12音平均律は、 ⁠とほぼ同じです1/ 11 ⁠ シントニックコンマミーントーンチューニング（1.955セント対1.95512）。

注目すべきミーントーン音律

図 1.ピタゴラス音律(青)、平均律(黒)、4 分の 1 コンマミーントーン(赤)、および 3 分の 1 コンマミーントーン (緑)の比較。それぞれ共通の原点は C として任意に選択されています。左側のスケールで示される値は、平均律に対するセント単位の偏差です。

12の完全5度をそれぞれ⁠ずつ調律する四分音階ミーントーン。 1 /4⁠シントニックコンマの⁠は、最もよく知られているミーントーン音律の一種であり、ミーントーン音律という用語は、特にこの音律を指すためによく使用されます。 ⁠によって調律された 4 つの上昇五度音 ( CGDAEとして) 1 /4⁠コンマ（および 2 オクターブ下げる）は、正確な長 3 度（ CE）（比率 $5 : 4$ ）を生成します。これは、 4 つの完全 5 度から得られるピタゴラスの 3 度よりも 1 つのシントニックコンマ（または約 22セント）狭くなります。

16 世紀初頭から 18 世紀初頭まで広く使用されていましたが、その後、12 音平均律が一般的に使用されるようになりました。教会のオルガンやその他のキーボードの用途では、19 世紀まで使用され続け、今日でも古楽の演奏で復活することがあります。1 /4 コンマ平均律は、オクターブを31 の均等なステップに分割することでほぼ近似できます。

これはピタゴラス音律と同じ方法で進行します。つまり、基本音 (たとえばC ) を 6 回連続して 5 度ずつ上げ (常に $2 の累乗で割って基本音より上のオクターブ内に収まるように調整します)、同様に 6 回連続して 5 度ずつ下げます ($ $2$ の累乗で乗じてオクターブに戻します)。ただし、 ⁠を使用する代わりに 3 /2⁠ の比率は完全五度音程を与えるので、これを⁠の四乗根で割る必要があります。 81 /80⁠ 、これはシントニックコンマです：ピタゴラスの3度音程の比率⁠ 81 /64⁠長三度まで ⁠ 5 /4同様に、⁠の代わりに $4 \sqrt 5 を$ 使用することもできます。 3 /2⁠、これもわずかに短縮された5度音程を生成します。これにより、音程CEは正確な長3度になります⁠ 5 /4⁠、中間の秒数 ( CD、DE ) はCE を均等に分割するため、DCとED は等しい比となり、その平方は⁠ 5 /4⁠ . 長二度音程FGAとGABについても同様です。

しかし、四分音階のミーントーン調律では、上側の6つの5度音列の最後と下側の最後の音列の間には残留ギャップがあります。例えば、開始点を Cに選択した場合のF ♯とG ♭の間には、オクターブ調整すると、⁠の比率になります。 125 /128⁠または $-41.06$ セント。これはピタゴラスコンマとは逆の意味で（つまり、上端が下端よりも平らです）、ほぼ 2 倍の大きさです。

第3コンマ・ミーントーンでは、5度は次のように調律されます。 1 /3⁠シントニックコンマの。従って、3つの下降5度音程（ ADGCなど）は、比率の正確な短3度音程（ AC）を生成します。 ⁠ 6 /5⁠ 、これはピタゴラス音律の完全五度3 つから得られる短三度よりもほぼ 1 つのシントニックコンマ広いです。第 3 コンマミーントーンは、オクターブを19 の均等なステップに分割することで非常によく近似できます。

トーンの意味

「中全音律」という名前は、そのようなすべての音律において、全音の大きさが全音階内で、純正律の長音と短音（それぞれ9:8と10:9）の間に位置し、長音と短音はシントニックコンマによって互いに異なるという事実に由来しています。任意の正規のシステム^[1]では、全音（CD）は2つの5度（CGD）（1オクターブ下げた）の後に到達し、長3度は4つの5度（CGDAE）（2オクターブ下げた）の後に到達します。したがって、 1 /4⁠コンマ・ミーンティーヌ全音は、長三度（セント単位）のちょうど半分、または同等に、周波数比の平方根です。 5 /4⁠ .

したがって、音が平均である 1 つの意味は、周波数比として、長音と短音の幾何平均であるということです。つまり、193.157 セント、つまり 1/4 コンマの全音サイズに相当します。ただし、中間音は中間という意味で「平均」とみなされ、したがって、何らかのミーントーンシステムでは有効な選択肢となります。 $\ {\sqrt {{\tfrac {10}{\ 9\ }}\cdot {\tfrac {\ 9\ }{8}}\ }}={\sqrt {{\tfrac {\ 5\ }{4}}\ }}=1.1180340$

四分音律の場合、長三度がシントニック・コンマによって狭められるため、全音は純正律の長音より半コンマ狭く（9:8）、または短音より半コンマ広く（10:9）なる。この意味で、四分音律はしばしば「最も」模範的なミーントーン音律とみなされる。なぜなら、四分音律では全音がその両極端の中間（セント単位）に位置するからである。 ^[1]

ミーントーン音律の歴史とその実践

ミーントーンの調律法に関する言及は、1496年（ガフリウス）にはすでに出版されている。 ^[2] ピエトロ・アロン^[3] （ヴェネツィア、1523年）は、間違いなくクォーターコンマ・ミーントーンについて論じていた。ルドヴィコ・フォリアーニ^{[4]はクォーターコンマ・システムについて言及したが、それについて議論はしていない。最初の数学的に正確なミーントーン調律の記述は、16世紀後半の}ザルリーノ^[5]とデ・サリナスの論文に見られる。^[6]これらの著者は両方とも、⁠ 1 /4⁠カンマ、 ⁠ 1 /3⁠カンマ、および⁠ 2 /7⁠コンマ平均律システム。マリン・メルセンヌは音楽理論に関する彼の代表作『宇宙調和論』^[7]の中で、31音平均律を含む様々な調律システムを説明したが、実用上の理由からそれを却下した。

中全音律は、他の名称や説明で呼ばれることもあった。例えば、1691年にホイヘンス^[8]は、31音平均律（31TET）を、平均律の優れた近似値として提唱した。 1 /4⁠コンマ・ミーントーン・システムについて、ザルリーノとサリナスの以前の著作に言及し、メルセンヌ(1639) の否定的な意見に異議を唱えた。彼は、 31 TETシステムと1/4 コンマ・ミーントーン音律の周波数比を詳細に比較し、これを「temperament ordinaire」または「誰もが使用するもの」などと呼んだ。(記事Temperament Ordinaireで引用されている参考文献を参照。)

もちろん、クォーターコンマ・ミーントーン方式（または他のミーントーン方式）が完全に正確に実装されるのはずっと後になってからでした。なぜなら、すべてのピッチ周波数を正確に測定できる機器は19世紀半ばまで存在しなかったからです。しかし、調律師は「耳で」調律する人が常に使用してきたのと同じ方法を適用できました。つまり、5度上げてオクターブ下げるか、5度下げてオクターブ上げ、5度をちょうど ⁠ よりわずかに小さくなるように調律するのです。3/ 2 ⁠比率。チューナーがどのようにして「4分の1コンマ」を耳で確実に識別できるかは、もう少し微妙です。これは、中央C（約264 Hz）の近くの周波数の約0.3％に相当するため、約1ヘルツであるため、完全5度を基準として使用し、平均律音符を調整してこのレートでビートを生成することでこれを行うことができます。ただし、ビートの周波数は、音の周波数に比例してわずかに調整する必要があります。代わりに、全音階の長3度を、比率の長3度だけに調整することもできます。5/ 4 ⁠、ビートを排除することによって。

12平均律では、5度は⁠よりもかなり小さく抑える必要があります。1/4⁠カンマ（ ⁠に非常に近い1/11⁠ 同調カンマ、または⁠1/12⁠ ピタゴラスのカンマ) は、末尾に隙間のない完全な循環を形成する必要があるため、 ⁠1/4⁠コンマ・ミーントーン調律は、前述のように、ピタゴラス調律の反対方向に 2 倍の残留ギャップを持ちます。

ミーントーンはルネッサンスやバロック時代の初期の音楽に関連した調律法として最もよく知られていますが、19 世紀に入っても鍵盤楽器の音律として継続的に使用されていたという証拠があります。

「平均律が導入される以前に普及していた調律法は、ミーントーン方式と呼ばれています。イギリスではまだ廃れておらず、田舎の教会のいくつかのオルガンで今でも聞くことができます。セビリア大聖堂のオルガン奏者ドン・B・イニゲスによると、スペインのオルガンでは、今日でもミーントーン方式が一般的に維持されています。」— G. グローブ(1890) ^[9]

20 世紀後半には古楽の演奏において、またアダムス、リゲティ、リーディなど一部の作曲家による特にミーントーンを要求する新作作品においても、ミーントーンはかなりの復活を遂げました。

中全音律

ミーントーン音律は、ピタゴラスの完全五度に対する補正係数（通常はシントニックコンマの特定の分数として与えられる）が、全音の音程が長音と短音の幾何平均に可能な限り近くなるように選択されるという点で特徴付けられる、通常の音律です。歴史的に、以下で説明するように、一般的に使用されるミーントーン音律は、この調律連続体の狭い部分を占めており、五度の範囲は約 695 セントから 699 セントです。

中全音律は、さまざまな方法で指定できます。たとえば、5 度音程をシントニックコンマの何分の 1 でフラットにするか (上記のように)、平均律完全 5 度音程の幅 (セント単位)、または全音 (セント単位) と全音階の半音の比率などです。この最後の比率は、アメリカの作曲家、ピアニスト、理論家であるイーズリーブラックウッドによって「 $R$ 」と名付けられました。 $R$ が有理数 $R$ =である場合、は、オクターブを均等に平均律で分割した範囲内で、対応する中全音律の 5 度音程に最も近い近似値になります。オクターブを 12 を超える小さな部分に分割することを微分音律と呼び、最小の音程を微分音と呼びます。 ${\scriptstyle {\frac {N}{D}}}$ $2^{\frac {3R+1}{5R+2}}$ $5N+2D$

これらの観点から、歴史的に著名なミーントーン調律のいくつかを以下に挙げ、最も近い平均律微分音調律と比較します。最初の列は、ミーントーンシステムで完全五度を調律するシストニックコンマの割合を示します。2番目は、この調律の範囲内で発生する5極限有理音程をリストします。3番目は、対応する平均律微分音程システム内で、ミーントーン五度に最も近いオクターブの割合を示します。4番目は、2つの差をセント単位で示します。5番目は、分数 $R$ =に対応する値であり、5番目はオクターブ内の平均律 ( ET ) 微分音の数です。 $\scriptstyle {\frac {N}{D}}$ $5N+2D$

平均律

十二音平均律でも四分音律でも、五度はオクターブの有理分数ではありませんが、そのような音程で五度を近似する調律はいくつか存在します。これらは平均律 (「 $N$ TET」) のサブセットであり、オクターブはいくつかの数 ( $N$ ) の等幅の音程に分割されます。

平均律の近似値として有用な平均律には、（生成器幅が増加する順に）19 TET （⁠~+ 1 /3⁠カンマ), 50 TET ( ⁠~+ 2 /7⁠カンマ), 31 TET ( ⁠~+ 1 /4⁠カンマ), 43 TET ( ⁠~+ 1 /5⁠カンマ）、 55 TET （ ⁠ ~+ 1 /6⁠カンマ）。しかし、調律が四分音階から離れるほど、調律と倍音比の関係は薄れていく。この問題は、調律に合わせて部分音を調整することで克服できるが、これは電子シンセサイザーでのみ可能である。^[10]

平均律における正確な音程の近似

12-ET
19-ET
31-ET
43-ET
50-ET
55-ET

ウルフ間隔

完全五度を整数個足しても、整数個のオクターブになることはありません。これは、 $log$ $2$ $3 が$ 無理数だからです。完全五度を整数個積み重ねた結果がオクターブに近すぎる場合、異名同音的に五度に相当する音程の 1 つは、他の五度とは異なる幅を持つ必要があります。たとえば、ピタゴラス音律の 12 音半音階をオクターブに近づけるには、ピタゴラスのコンマによって五度音程の 1 つを下げる (「調子が狂う」) 必要があります。この変則五度は、音程のサイズが五度に似ていて調子が狂った五度のように聞こえるが、実際には減六度 (たとえば、G ♯とE ♭の間) であるため、「ウルフ五度」と呼ばれます。同様に、12 個の完全四度のうち 11 個も調子が合っていますが、残りの四度は増三度 (真の四度ではなく) です。

ウルフ音程はキーボードの設計と、キーボード奏者が実際には意図したものとは異なるピッチで調律されているキーを使用することによって生じる人工物です。^[11]これは、図2に示すような同型キーボードを使用すると最も簡単に示せます。

同形キーボードでは、任意の音程は、端を除いて、どこに現れても同じ形になります。例を挙げましょう。図 2 に示すキーボードでは、任意の音符から、完全 5 度高い音符は、常にその音符の上方向と右方向に隣接しています。このキーボードの音符の範囲内にウルフ音程はありません。問題は、端の音符E ♯にあります。 E ♯より完全 5 度高い音符はB ♯ですが、示されているキーボードには含まれていません (ただし、より大きなキーボードでは、A ♯のすぐ右に配置され、キーボードの一貫した音符パターンが維持される可能性があります)。 B ♯ボタンがないため、E ♯ パワーコード(開放 5 度コード) を演奏するときは、 B ♯の代わりにCなどの他の音符を選択する必要があります。

エッジ条件でもウルフ音程が生じるのは、同形キーボードの1オクターブあたりのボタン数が、チューニングの異名同音の音の数より少ない場合に限られます(Milne 2007 )。たとえば、図2の同形キーボードには1オクターブあたり19個のボタンがあるため、上記のエッジ条件 ( E ♯からC )は、 12音平均律( TET )、17 TET、19 TETではウルフ音程ではありません。ただし、 26 TET、31 TET 、50 ETではウルフ音程になります。後者のチューニングでは、電子移調を使用すると、現在のキーの音符を同形キーボードの白ボタンに保持できるため、異国風のキーに転調したとしても、調性音楽でこれらのウルフ音程に遭遇することはほとんどありません。^[12]

同型キーボードは、シントニック音律の中全音調律の不変特性を同型的に（つまり、たとえば、すべてのオクターブ、キー、調律で、特定の音程を単一の一貫したボタン間形状で公開することによって）公開します。これは、同型キーボードと音律が両方とも 2 次元（つまり、ランク 2）エンティティであるためです（Milne 2007 ）。1 次元の $N$ キーキーボード（ $Nは任意の数）は、$ $N$ TET内の単一の 1 次元調律の不変特性のみを正確に公開できます。したがって、オクターブあたり 12 個のキーを持つ 1 次元のピアノスタイルのキーボードは、12 TETという 1 つの調律の不変特性のみを公開できます。

完全五度がちょうど700 セント幅の場合（つまり、約⁠1/11⁠同調コンマの ⁠、または正確には⁠1/12⁠ピタゴラス音律の 12 音平均律と同じ調律になります。これは、上の表で $R$ $= 2:1$ の場合に現れます。

ピアノスタイルの一次元キーボードによってミーントーン調律に強いられた妥協（およびウルフ音程）により、ウェル音律、そして最終的には平均律がより普及するようになりました。

標準的な音程名を使用すると、12 の 5 度は 6 オクターブと 1 つの増 7 度に等しく、7 オクターブは 11 の 5 度と 1 つの減 6 度に等しくなります。これを考慮すると、3 つの「短 3 度」は実際には増 2 度(たとえば、B ♭からC ♯ ) であり、4 つの「長 3 度」は実際には減 4 度(たとえば、BからE ♭ ) です。いくつかの三和音 ( B E ♭ F ♯やB ♭ C ♯ Fなど) には、これらの両方の音程が含まれており、通常の 5 度になります。

拡張されたミーントーン

すべてのミーントーン調律は、シントニック音律の有効な調律範囲に該当するため、すべてのミーントーン調律はシントニック調律です。ミーントーンやさまざまな純正律を含むすべてのシントニック調律では、各オクターブに無限の数の音、つまり 7 つのナチュラル音、7 つのシャープ音 ( F ♯からB ♯ )、7 つのフラット音 ( B ♭からF ♭ ) (これは、1 オクターブで 21 のピッチが可能なオーケストラハープではこの値が限界)、次にダブルシャープ音、ダブルフラット音、トリプルシャープとトリプルフラット、などが含まれると考えられます。実際、ダブルシャープとダブルフラットはまれですが、それでも必要です。トリプルシャープとトリプルフラットはほとんど見られません。オクターブを少数の均等に広い最小音程（12、19、31など）に分割するシントニック調律では、一部の音は同等であっても、この無限の音符は依然として存在します。たとえば、19 ETでは、E ♯とF ♭は同じピッチです。また、Cメジャーの純正律では、C ♯ D 8.1 ¢以内なので、同一になるように調整できます。

人間の声、トロンボーン、バイオリンなどのフレットのない弦楽器、フレットが縛られたリュートなど、多くの楽器は音程を非常に細かく区別することができます。これらの楽器は、ミーントーン調律の使用に適しています。

一方、ピアノの鍵盤には 1 オクターブあたり 12 の物理的な音符制御装置しかないため、12 ET 以外の調律には適していません。ミーントーン音律に関する歴史的問題のほとんどは、ミーントーンの 1 オクターブあたりの無限の音符を有限の数のピアノの鍵盤にマッピングしようとしたことが原因です。たとえば、これが前述の「ウルフ 5 度」の原因です。ピアノの黒鍵にマッピングする音符を選択する場合、少数の密接に関連する鍵盤に共通する音符を選択すると便利ですが、これはオクターブの端までしか機能しません。次のオクターブに折り返す場合は、前述のように、他の音符ほど広くない「ウルフ 5 度」を使用する必要があります。

「ウルフ5度」の存在は、平均律が導入される前、器楽音楽が一般に「ウルフ5度」（一般にG ♯とE ♭の間に置かれる）を含まないいくつかの「安全な」調性にとどまっていた理由の 1 つです。

ルネッサンスと啓蒙時代を通じて、ニコラ・ヴィチェンティーノ、フランシスコ・デ・サリナス、ファビオ・コロンナ、マリン・メルセンヌ、クリスティアーン・ホイヘンス、アイザック・ニュートンなど、さまざまな理論家が、鍵盤の12音を超えて拡張されたミーントーン調律の使用を主張しました。 ^[1]^[13]^[14]そのため、「拡張」ミーントーン調律と呼ばれるようになりました。これらの取り組みにより、1オクターブあたり12音以上を制御できる鍵盤楽器の拡張が必要となり、ヴィンチェンツォのアルキチェンバロ、メルセンヌの19ETチェンバロ、コロンナの31ETサンブーカ、ホイヘンスの31ETチェンバロなどが生まれました。^[15] 他の楽器は鍵盤を数音だけ拡張しました。一部の古楽器のハープシコードやオルガンには、 D ♯ / E ♭キーが分割されており、 E メジャー/ C ♯マイナー(4 つのシャープ) とE ♭メジャー/ C マイナー(3 つのフラット) の両方をウルフ 5 度なしで演奏できます。これらの楽器の多くにはG ♯ / A ♭キーも分割されており、5 つの臨時記号キーがすべて分割されているものもあります。

これらの代替手段はすべて「複雑」かつ「扱いにくい」（Isacoff 2009）ものであった。

(a) 同型ではない、そして

（ｂ）転置機構を持たないこと、

これにより、同型キーボードに必要な音符制御ボタンの数を大幅に削減できます（Plamondon 2009 ）。これらの批判は両方とも、既存のキーボード楽器よりもシンプルで扱いやすく、表現力豊かな電子同型キーボード楽器（オープンソースのハードウェアジャマーキーボードなど）によって対処できます。^[16]

参照

参考文献

^ abcd バーバー、ジェームズ・マレー（1951）。『調律と気質：歴史的概観』、第3章、第4章、第7章。ドーバー音楽の本：歴史。ドーバー出版（2013年）。ISBN 9780486434063。
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外部リンク

四分音階中全音調律の構築の説明
LucyTuning - 円周率から派生した特定の平均音階と、ジョン・ハリソンの著作
クォーターコンマ・ミーントーンのチューニング方法
Wayback Machineのアーカイブインデックスさまざまな音律で演奏された音楽の断片 - mp3 はアーカイブされていません
カイル・ガンの『Introduction to Historical Tunings』には、平均律の仕組みが説明されています。
ウィレム・クロースベルゲン、アンドリュー・クルックシャンク：JS バッハの生涯における中全音律、不均等音律、平均律 https://www.academia.edu/9189419/Blankenburg_Equal_or_unequal_temperament_during_J.S._Bach_s_life
中全音律 | 定義と意味 | M5 ミュージック - M5 ミュージック

[Barbour-1] バーバー、ジェームズ・マレー（1951）。『調律と気質：歴史的概観』、第3章、第4章、第7章。ドーバー音楽の本：歴史。ドーバー出版（2013年）。ISBN 9780486434063。

[2] ガフリウス、フランキーヌス(1496)。 Practicae musica（イタリア語）。ミラノ：グリエルムの署名者ロトマゲンセム。

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[5] ジョセフォ、ザルリーノ(1558)。 Le istitutioni harmoniche (イタリア語)。ヴェネツィア。

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[11] Milne, Andrew; Sethares, WA ; Plamondon, J. (2008年3月). 「連続音のチューニングとキーボードレイアウト」(PDF) . Journal of Mathematics and Music . 2 (1): 1–19. doi :10.1080/17459730701828677.

[12] Milne, Andrew; Sethares, WA ; Plamondon, J. (2009). Dynamic tonality: Extending the framework of tonality into the 21st century (PDF) . Annual Conference of the South Central Chapter of the College Music Society – via sethares.engr.wisc.edu.

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[15] Stembridge, Christopher (1993). 「1オクターブに19以上の分割があるチンバロクロマティコとその他のイタリアの鍵盤楽器」.パフォーマンスプラクティスレビュー. VI (1): 33–59. doi : 10.5642/perfpr.199306.01.02 .

[16] Paine, G.; Stevenson, I.; Pearce, A. (2007). The Thummer マッピングプロジェクト (ThuMP) (PDF) . 第 7 回国際音楽表現のための新しいインターフェイス会議 (NIME 07). pp. 70–77.

注目すべきミーントーン音律

トーンの意味

ミーントーン音律の歴史とその実践

中全音律

平均律

ウルフ間隔

拡張されたミーントーン

参照

参考文献

外部リンク

関連するトピック

音楽の音律

ピタゴラス音律

調律システムです

完全五度を