指数関数的減衰

減衰量N ( t ) がある集合内の離散要素の数である場合、要素が集合内に留まる平均時間を計算することが可能です。これは平均寿命(または単に寿命) と呼ばれ、指数時間定数、$\displaystyle \tau }$は、崩壊速度定数λと次のような関係にある。

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}.}$

平均寿命は「スケーリング時間」と見なすことができ、指数関数的減衰方程式は平均寿命で表すことができる。$\displaystyle \tau }$崩壊定数λの代わりに：

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/\tau },}$

そしてそれは$\displaystyle \tau }$は、集合体の個体数が初期値の1 ⁄ e ≈ 0.367879441 倍に減少する時間です。これは、$\displaystyle \log _{2}{e}}$約1.442695半減期。

例えば、集合体の初期個体数N (0) が 1000 の場合、時刻 1000 における個体数は$\displaystyle \tau }$、${\displaystyle N(\tau )}$は368です。

指数関数の底をeではなく2にした場合、非常によく似た式が以下に示す。この場合、スケーリング時間は「半減期」となる。

多くの人にとって指数関数的減衰のより直感的な特徴は、減衰量が初期値の半分になるまでの時間です。（N ( t )が離散的な場合、これは平均寿命ではなく中央値寿命です。）この時間を半減期と呼び、しばしば記号t1 _/2で表されます。半減期は、減衰定数または平均寿命を用いて次のように表すことができます。

${\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}=\tau \ln(2).}$

この式を挿入すると$\displaystyle \tau }$上記の指数方程式において、ln  2 が底に吸収されると、この方程式は次のようになります。

${\displaystyle N(t)=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}.}$

したがって、残存する物質の量は、経過した半減期の（整数または小数）倍の 2 ⁻¹  =  1/2 となります。つまり、3回の半減期後には、元の物質の 1/2 ³  =  1/8 が残存することになります。

したがって、平均寿命$\displaystyle \tau }$半減期を2の自然対数で割った値に等しい、つまり：

$\displaystyle \tau ={\frac {t_{1/2}}{\ln(2)}}\approx 1.4427\cdot t_{1/2}.}$

例えば、ポロニウム210の半減期は138日、平均寿命は200日である。

要素の集合体があり、その数が最終的にゼロに減少する場合、平均寿命は、$\displaystyle \tau }$（単に寿命とも呼ばれる）とは、アセンブリからオブジェクトが取り外されるまでの時間の期待値です。具体的には、アセンブリの要素の個々の寿命が、ある基準時刻からその要素がアセンブリから取り外されるまでの経過時間である場合、平均寿命は個々の寿命の算術平均です。

人口の公式から始める

${\displaystyle N=N_{0}e^{-\lambda t},\,}$

まず、確率密度関数に変換するための正規化係数をcとします。

${\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}}$

または、並べ替えると、

${\displaystyle c={\frac {\lambda }{N_{0}}}.}$

指数関数的減衰は指数分布のスカラー倍であり（つまり、各物体の個々の寿命は指数分布に従う）、その期待値はよく知られている。ここでは部分積分を用いてそれを計算することができる。

${\displaystyle \tau =\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=\int _{0}^{\infty }\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}.}$

ある量は、2つ以上の異なる過程を経て同時に崩壊する可能性がある。一般に、これらの過程（しばしば「崩壊モード」、「崩壊チャネル」、「崩壊経路」などと呼ばれる）は、それぞれ異なる発生確率を持ち、したがって異なる半減期で異なる速度で並行して発生する。量Nの全崩壊速度は、崩壊経路の合計によって与えられる。したがって、2つの過程の場合、次のようになる。 

${\displaystyle -{\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})N.}$

この方程式の解は前のセクションで示されており、${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}\,}$新しい全崩壊定数として扱われる$\displaystyle \lambda _{c}}$。

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})t}=N_{0}e^{-(\lambda _{c})t}。}$

個々のプロセスに関連する部分平均寿命は、定義上、対応する部分崩壊定数の乗法逆数である。${\displaystyle \tau =1/\lambda }$組み合わせた$\displaystyle \tau _{c}}$で表すことができる${\displaystyle \lambda }$s:

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}=\lambda _{c}=\lambda _{1}+\lambda _{2}={\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}}$

${\displaystyle \tau _{c}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}.}$

これは調和平均です$\displaystyle \tau _{1}}$そして$\displaystyle \tau _{2}}$半減期は平均寿命とは異なるため$\displaystyle \tau }$定数係数を除けば、同じ式が対応する2つの半減期に関しても成り立つ。

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}}$

どこ${\displaystyle T_{1/2}}$は、そのプロセスの複合または合計半減期であり、$t1$そして$t2$これらは、対応するプロセスのいわゆる部分半減期です。「部分半減期」および「部分平均寿命」という用語は、与えられた崩壊モードがその量の唯一の崩壊モードであるかのように、崩壊定数から導出された量を表します。「部分半減期」という用語は、ある量が半分になる時間間隔として測定できないため、誤解を招きやすいです。

個々の崩壊定数に関して言えば、全半減期は${\displaystyle T_{1/2}}$示すことができる

$${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$$

3つの同時進行する指数関数的過程による崩壊の場合、全半減期は上記のように計算できます。

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}={\frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3})}}.}$

核科学や薬物動態学において、対象となる物質は崩壊連鎖の中に位置づけられることがあり、その場合、蓄積は発生源物質の指数関数的崩壊によって支配される一方、対象となる物質自体も指数関数的な過程によって崩壊する。

これらのシステムは、ベイトマン方程式を用いて解かれる。

薬理学の分野では、摂取された物質の中には、指数関数的減衰として合理的にモデル化できるプロセスによって体内に吸収されるものもあれば、そのような放出プロファイルを持つように意図的に製剤化されているものもある。

• 化学反応：特定の種類の化学反応の速度は、いずれかの反応物の濃度に依存します。反応速度が1つの反応物の濃度のみに依存する反応（一次反応と呼ばれる）は、結果として指数関数的に減少します。例えば、多くの酵素触媒反応はこのようになります。
• 静電気学：RC回路では、コンデンサ（静電容量C ）に蓄えられた電荷（または等価的に電位）は、一定の外部負荷（抵抗R）を通して指数関数的に減衰しながら放電し、同様に、一定の電圧源から一定の抵抗を通してコンデンサが充電される場合、指数関数的減衰の鏡像で充電されます。この過程の指数関数的時定数は${\displaystyle \tau =R\,C,}$半減期は${\displaystyle R\,C\,\ln(2).}$同じ方程式は、インダクタにおける電流の 双対にも適用できる。
  • さらに、コンデンサやインダクタが複数の並列抵抗を介して変化するという特殊なケースは、複数の減衰過程の興味深い例であり、各抵抗はそれぞれ独立した過程を表しています。実際、 2つの抵抗が並列接続された場合の等価抵抗の式は、2つの減衰過程を持つ半減期の式と一致します。
• 地球物理学：大気圧は海抜高度の上昇に伴い、ほぼ指数関数的に減少し、1000mあたり約12%の割合で減少する。
• 熱伝達：ある温度の物体が別の温度の媒体にさらされると、物体と媒体の温度差は指数関数的に減少します（これは、遅い過程の極限において、物体内部の熱伝導が「良好」であることに相当し、物体の温度は体積全体にわたって比較的均一に保たれます）。ニュートンの冷却法則も参照してください。
• 発光：励起後、発光物質の発光強度（励起された原子または分子の数に比例する）は指数関数的に減衰する。関与するメカニズムの数に応じて、減衰は単指数関数的または多指数関数的になる。
• 薬理学および毒性学：投与された多くの物質は、指数関数的減衰パターンに従って分布および代謝（クリアランスを参照）されることがわかっています。物質の生物学的半減期である「α半減期」と「β半減期」は、物質が分布および排泄される速度を示します。
• 物理光学：光、X線、ガンマ線などの電磁放射線の吸収媒体中における強度は、吸収媒体内部への距離とともに指数関数的に減少する。これはベール・ランバートの法則として知られている。
• 放射能：放射性核種が放射性崩壊を起こして別の状態に変化する場合、元の状態の原子の数は、残りの原子の数が多い限り指数関数的に減少します。この崩壊生成物は放射性核種と呼ばれます。
• 熱電効果：負の温度係数を持つサーミスタの抵抗が、温度上昇に伴って減少する現象。
• 振動：振動の中には指数関数的に減衰するものがあります。この特性は減衰振動子によく見られ、シンセサイザーのADSRエンベロープの作成にも利用されます。過減衰システムは、指数関数的な減衰によって平衡状態に戻ります。
• ビールの泡：ミュンヘン大学のアルント・ライケは、ビールの泡が指数関数的減衰の法則に従うことを実証し、イグノーベル賞を受賞した。 ^{[ 4 ]}
• 自動車のブレーキは指数関数的減衰の普遍的な例であり、足が加える数学的な指数関数や関数の変化は、乗員の快適性や事故の回避にとって重要である。

• 財務：退職年金基金は、通常毎月支払われる離散的な支払額と、連続的な利率で計算される入力額によって指数関数的に減少します。微分方程式 dA/dt = 入力 − 出力 を立てて解くことで、基金に残る任意の金額 A に達するまでの時間を求めることができます。
• 単純な言語年代学では、（議論の余地はあるものの）言語の減衰率が一定であるという仮定に基づいて、個々の言語の年代を推定することができる。（ 2つの言語の分岐時期を計算するには、指数関数的減衰とは無関係な追加の仮定が必要となる。）

• インターネットの中核となるルーティングプロトコルであるBGPは、パケットが迂回できる経路を記憶するためにルーティングテーブルを維持する必要があります。これらの経路のいずれかが、利用可能から利用不可（またはその逆）に繰り返し状態変化する場合、その経路を制御するBGPルータは、ルーティングテーブルから経路レコードを繰り返し追加および削除する必要があり（経路がフラップする）、 CPUやRAMなどのローカルリソースを消費し、さらに、ピアルータに不要な情報をブロードキャストすることになります。この望ましくない動作を防ぐために、ルートフラップ減衰と呼ばれるアルゴリズムが各経路に重みを割り当てます。この重みは、経路の状態が変化するたびに大きくなり、時間とともに指数関数的に減少します。重みが一定の制限に達すると、フラップは行われなくなり、経路が抑制されます。

指数関数的増殖（太線）と指数関数的減衰（細線）の倍加時間と半減期、およびそれらの70/ tと72/ tの近似値を比較したグラフ。SVG版では、グラフにカーソルを合わせると、そのグラフとその補グラフが強調表示されます。