ベイトマン方程式

原子核物理学において、ベイトマン方程式は、崩壊率と初期存在量に基づいて、崩壊系列における存在量と放射能を時間の関数として記述する数学モデルである。このモデルは1905年にアーネスト・ラザフォードによって定式化され^{[ 1 ]} 、 1910年にハリー・ベイトマンによって解析解が与えられた^{[ 2 ]。}

時刻tにおいて、${\displaystyle N_{i}(t)}$同位体の原子${\displaystyle i}$それは同位体に崩壊する${\displaystyle i+1}$レートで$\displaystyle \lambda _{i}}$k段階崩壊系列における同位体の量は次のように変化する。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dN_{1}(t)}{dt}}&=-\lambda _{1}N_{1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{i}(t)}{dt}}&=-\lambda _{i}N_{i}(t)+\lambda _{i-1}N_{i-1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{k}(t)}{dt}}&=\lambda _{k-1}N_{k-1}(t)\end{aligned}}}$

（これは崩壊分岐を扱うように適応できます）。i = 2 の場合は明示的に解くことができますが、 より 長い連鎖では式がすぐに煩雑になります。^{[ 3 ]}ベイトマン方程式は、遷移速度が 1 つの種 (i) から次の種 (i+1) にのみ許容され、逆方向 (i+1 から i への遷移は禁止) は決して許容されない古典的なマスター方程式です。

ベイトマンは、変数のラプラス変換を行うことで、これらの量を表す一般的な明示的な公式を発見した。

${\displaystyle N_{n}(t)=N_{1}(0)\times \left(\prod _{i=1}^{n-1}\lambda _{i}\right)\times \sum _{i=1}^{n}{\frac {e^{-\lambda _{i}t}}{\prod \limits _{j=1,j\neq i}^{n}\left(\lambda _{j}-\lambda _{i}\right)}}}$

（同位体 i の原子が一定速度で外部からさらに供給される場合は、ソース項を追加して拡張することもできます。）^{[ 4 ]}

ベイトマンの公式はコンピュータコードで実装できますが、$\displaystyle \lambda _{j}\approx \lambda _{i}}$一部の同位体ペアでは、壊滅的な相殺により計算エラーが発生する可能性があります。そのため、数値積分や行列指数法などの他の方法も使用されています。^{[ 5 ] [ 6 ]}

例えば、3つの同位体の連鎖という単純なケースでは、対応するBateman方程式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&A\,{\xrightarrow {\lambda _{A}}}\,B\,{\xrightarrow {\lambda _{B}}}\,C\\[4pt]&N_{B}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}N_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\end{aligned}}}$

これにより、同位体の活性に関する以下の式が得られる。${\displaystyle B}$（置換により）${\displaystyle A=\lambda N}$）

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{B}={\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}A_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\end{aligned}}}$

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