曲がった時空におけるマクスウェル方程式

物理学では、曲がった時空におけるマクスウェル方程式は、曲がった時空（計量がミンコフスキー計量からずれる可能性がある）または任意の（必ずしもデカルト座標系ではない）座標系を使用する場所における電磁場のダイナミクスを支配します。これらの方程式は、通常平坦な時空の局所座標で定式化される真空マクスウェル方程式の一般化と見なすことができます。しかし、一般相対性理論では、電磁場（または一般的にはエネルギー/物質）の存在が時空に曲率を誘起すると規定されているため、^{[ 1 ]}平坦な時空におけるマクスウェル方程式は便利な近似と見なされるべきです。

物質が存在する環境で解析を行う場合、自由電荷と束縛電荷を区別することで解析が容易になることがあります。この区別を設けた場合、それらは巨視的マクスウェル方程式と呼ばれます。区別を設けない場合は、対比のために「微視的」マクスウェル方程式と呼ばれることもあります。

電磁場は座標に依存しない幾何学的記述が可能であり、これらの幾何学的対象を用いて表現されたマクスウェル方程式は、曲がった時空であろうとなかろうと、あらゆる時空において同じである。また、直線座標ではない局所座標を用いる場合、平坦なミンコフスキー空間の方程式にも同じ修正が加えられる。例えば、本稿の方程式を用いて、球面座標におけるマクスウェル方程式を記述することができる。これらの理由から、ミンコフスキー空間におけるマクスウェル方程式を、一般的な定式化の特殊な場合として考えることが有用であると考えられる。

一般相対性理論では、計量テンソル${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$もはや定数ではない（例：${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$（計量テンソルの例のように）空間と時間で変化する可能性があり、真空中の電磁気学の方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\alpha \beta }&=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha },\\{\mathcal {D}}^{\mu \nu }&={\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}},\\J^{\mu }&=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu },\\f_{\mu }&=F_{\mu \nu }\,J^{\nu },\end{整列}}}$

どこ${\displaystyle f_{\mu }}$ローレンツ力の密度は、$\displaystyle g^{\alpha \beta }}$は計量テンソルの逆数である${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$、 そして${\displaystyle g}$は計量テンソルの行列式です。$\displaystyle A_{\alpha }}$そして${\displaystyle F_{\alpha \beta }}$は（通常の）テンソルであり、${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$⁠、 ⁠${\displaystyle J^{\nu }}$⁠、そして${\displaystyle f_{\mu }}$これらは重み+1のテンソル密度です。偏微分を使用しているにもかかわらず、これらの式は任意の曲線座標変換に対して不変です。したがって、偏微分を共変微分に置き換えると、それによって導入される余分な項は相殺されます（明示的共変性§ 例を参照）。

電磁ポテンシャルは共変ベクトルA _αであり、これは電磁気学の未定義の基本要素です。共変ベクトルであるため、その成分は、ある座標系から別の座標系へ次のように変換されます。

$${\displaystyle {\bar {A}}_{\beta }({\bar {x}})={\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }(x).}$$

電磁場の電磁テンソルは、次数2の共変反対称テンソルであり、電磁ポテンシャルを用いて次のように定義できる。 $${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }.}$$

この方程式が不変であることを確認するために、テンソルの古典的な扱いで説明されているように座標を変換します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {F}}_{\alpha \beta }&={\frac {\partial {\bar {A}}_{\beta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial {\bar {A}}_{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }\right)-{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }\right)\\&={\frac {\partial ^{2}x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }+{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial ^{2}x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&={\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\\&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\right)\\&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}F_{\delta \gamma }.\end{aligned}}}$$

この定義は、電磁場が以下を満たすことを意味する。 $${\displaystyle \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=0,}$$ これはファラデーの誘導法則とガウスの磁気法則を組み込んだものである。これは以下からわかる。 $${\displaystyle \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=\partial _{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\lambda }\partial _{\nu }A_{\mu }+\partial _{\mu }\partial _{\nu }A_{\lambda }-\partial _{\mu }\partial _{\lambda }A_{\nu }+\partial _{\nu }\partial _{\lambda }A_{\mu }-\partial _{\nu }\partial _{\mu }A_{\lambda }=0.}$$

したがって、マクスウェルの法則の右辺は常にゼロとなり、古典的な電磁場理論では磁気単極子やそのような電流が場の発生源として作用する余地はないことを意味する。

ファラデー・ガウスの式には 64 個の式があるように見えますが、実際には 4 つの独立した式に簡略化されます。電磁場の反対称性を使用すると、恒等式 ( 0 = 0 ) に簡略化するか、{ λ , μ , ν }が{1, 2, 3}、{2, 3, 0 } 、{3, 0, 1}、または{0, 1, 2}のいずれかである式を除くすべての式を冗長にすることができます。

ファラデー・ガウス方程式は、次のように書かれることもある。 $${\displaystyle F_{[\mu \nu$$ ;\lambda ]}=F_{[\mu \nu ,\lambda ]}={\frac {1}{6}}(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }-\partial _{\lambda }F_{\nu \mu }-\partial _{\mu }F_{\lambda \nu }-\partial _{\nu }F_{\mu \lambda })={\frac {1}{3}}(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu })=0,} ここで、セミコロンは共変微分、コンマは偏微分、角括弧は反対称化を表します（表記についてはリッチ計算を参照）。電磁場の共変微分は $${\displaystyle F_{\alpha \beta$$ ;\gamma }=F_{\alpha \beta ,\gamma }-{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \gamma }F_{\mu \beta }-{\Gamma ^{\mu }}_{\beta \gamma }F_{\alpha \mu },} ここで、Γ ^α _βγはクリストッフェル記号であり、対称です。より低いインデックスで。

電束密度場Dと補助磁場Hは、重み +1 の反対称反変ランク 2テンソル密度を形成する。真空中では、これは次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}.}$

この方程式は、計量（ひいては重力）が電磁気学の理論に現れる唯一の箇所です。さらに、この方程式はスケールの変更に対して不変であり、つまり、計量に定数を掛けてもこの方程式には影響しません。したがって、重力は、使用されているグローバル座標系に対する光の速度を変化させることによってのみ、電磁気学に影響を与えることができます。光が重力によって偏向されるのは、質量のある物体の近くでは光速が遅くなるためです。つまり、重力は質量のある物体の近くの空間の屈折率を増加させるようなものです。

より一般的には、磁化分極テンソルがゼロでない材料では、次のようになる。

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }.}$

電磁変位の変換法則は

${\displaystyle {\bar {\mathcal {D}}}^{\mu \nu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}\,{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right],}$

ヤコビ行列式を用いる場合。磁化分極テンソルを用いる場合は、電磁変位と同じ変換法則が成り立つ。

電流は電磁変位の発散である。真空中では、

${\displaystyle J^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }.}$

磁化分極を用いる場合、これは電流の自由部分を与えるだけである。

${\displaystyle J_{\text{free}}^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }.}$

これはアンペールの法則とガウスの法則を取り入れたものです。

いずれの場合も、電磁変位が反対称であるという事実は、電流が自動的に保存されることを意味する。

${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }=0,}$

偏微分は可換であるため。

アンペール・ガウスの法則による電流の定義は、その値を決定するには不十分である。なぜなら、電流の根源となる電磁ポテンシャルに値が与えられていないからである。そのため、通常は電流を他の場、主に電子と陽子に関する何らかの式と等式化し、電磁変位、電磁場、および電磁ポテンシャルを求めるという手順が取られる。

電流は反変ベクトル密度であり、そのため以下のように変換される。

${\displaystyle {\bar {J}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right].}$

この変換法則の検証： $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {J}}^{\mu }&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\bar {\mathcal {D}}}^{\mu \nu }\right)\\[6pt]&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\right)\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]&=0+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]&={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\left({\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right).\end{aligned}}}$$

つまり、残っているのは、

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}=0,}$

これは既知の定理の変形です（逆関数と微分§ 高階導関数を参照）。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\sigma }}}+{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\right)\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left(\mathbf {4} \right)\\[6pt]{}={}&0.\end{aligned}}}$$

ローレンツ力の密度は、共変ベクトル密度として与えられ、$${\displaystyle f_{\mu }=F_{\mu \nu }J^{\nu }.}$$

重力と電磁気のみを受ける試験粒子に働く力は $${\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{dt}}=\Gamma _{\alpha \gamma }^{\beta }p_{\beta }{\frac {dx^{\gamma }}{dt}}+qF_{\alpha \gamma }{\frac {dx^{\gamma }}{dt}},}$$ ここで、p _αは粒子の線形 4 運動量、tは粒子の世界線をパラメータ化する任意の時間座標、Γ ^β _αγはクリストッフェル記号(重力場)、qは粒子の電荷です。

この方程式は時間座標の変化に対して不変です。単に${\displaystyle dt/d{\bar {t}}}$そして連鎖律を用いる。また、 x座標系の変更に対しても不変である。

クリストッフェル記号の変換法則を用いて、 $${\displaystyle {\bar {\Gamma }}_{\alpha \gamma }^{\beta }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\epsilon }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\zeta }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\Gamma _{\delta \zeta }^{\epsilon }+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}},}$$ 私たちは $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\bar {p}}_{\alpha }}{dt}}-{\bar {\Gamma }}_{\alpha \gamma }^{\beta }{\bar {p}}_{\beta }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}-q{\bar {F}}_{\alpha \gamma }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\\[6pt]{}={}&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}p_{\delta }\right)-\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\theta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\iota }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\Gamma _{\delta \iota }^{\theta }+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right){\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}p_{\epsilon }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}-q{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}F_{\delta \zeta }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {dp_{\delta }}{dt}}-\Gamma _{\delta \zeta }^{\epsilon }p_{\epsilon }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}-qF_{\delta \zeta }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\right)+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)p_{\delta }-\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right){\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}p_{\epsilon }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\\[6pt]{}={}&0+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)p_{\delta }-{\frac {\partial ^{2}x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}p_{\epsilon }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\\[6pt]{}={}&0.\end{aligned}}}$$

真空中では、古典電磁気学におけるラグランジュ密度（ジュール/立方メートル）はスカラー密度である。$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\,F_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}+A_{\alpha }\,J^{\alpha },}$$ どこ $${\displaystyle F^{\alpha \beta }=g^{\alpha \gamma }F_{\gamma \delta }g^{\delta \beta }.}$$

4元電流は、他の帯電場の電流をその変数で表す多くの用語の略語として理解されるべきである。

自由電流と束縛電流を分離すると、ラグランジアンは次のようになる。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\,F_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}+A_{\alpha }\,J_{\text{free}}^{\alpha }+{\frac {1}{2}}\,F_{\alpha \beta }\,{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }.}$$

アインシュタイン場方程式のソース項の一部として、電磁応力エネルギーテンソルは共変対称テンソルである。 $${\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \nu }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }F_{\sigma \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \rho }g^{\rho \sigma }\right),}$$署名(+, -, -, -) のメトリックを使用する場合。署名(-, +, +, +)のメトリックを使用する場合、式は次のようになります。${\displaystyle T_{\mu \nu }}$符号は逆になります。応力エネルギーテンソルはトレースフリーです。 $${\displaystyle T_{\mu \nu }g^{\mu \nu }=0}$$ なぜなら、電磁気は局所的に不変な速度で伝播し、共形的に不変だからである。

エネルギーと線運動量の保存則の式において、電磁応力エネルギーテンソルは混合テンソル密度として最もよく表される。 $${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }=T_{\mu \gamma }g^{\gamma \nu }{\frac {\sqrt {-g}}{c}}.}$$

上記の式から、次のことが示せる。 $${\displaystyle {{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{;\nu }+f_{\mu }=0,}$$ ここでセミコロンは共変微分を表します。

これは次のように書き換えることができます。 $${\displaystyle -{{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{,\nu }=-\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }{\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }+f_{\mu },}$$ これは、電磁エネルギーの減少は、電磁場が重力場に対して行う仕事と、物質に対して（ローレンツ力を介して）行う仕事の合計に等しいことを意味し、同様に、電磁線運動量の減少率は、重力場に作用する電磁力と、物質に作用するローレンツ力の合計に等しいことを意味する。

保存則の導出： $${\displaystyle {\begin{aligned}{{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{;\nu }+f_{\mu }&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha$$ ;\nu }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma }g^{\gamma \nu }+F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma  ;\nu }g^{\gamma \nu }-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu }^{\nu }F_{\sigma \alpha  ;\nu }g^{\alpha \beta }F_{\beta \rho }g^{\rho \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma  ;\nu }g^{\gamma \nu }{\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha  ;\nu }F^{\alpha \nu }-{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha  ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\left(-F_{\nu \mu  ;\alpha }-F_{\alpha \nu  ;\mu }\right)F^{\alpha \nu }-{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha  ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \nu  ;\alpha }F^{\alpha \nu }-F_{\alpha \nu  ;\mu }F^{\alpha \nu }+{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha  ;\mu }F^{\sigma \alpha }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha  ;\nu }F^{\nu \alpha }-{\frac {1}{2}}F_{\alpha \nu  ;\mu }F^{\alpha \nu }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(-F_{\mu \alpha  ;\nu }F^{\alpha \nu }+{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha  ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}},\end{aligned}}}

これは、それ自体の負の値であるため、ゼロになります（上の4行を参照）。

場テンソルに関する非均質電磁波方程式は、特殊相対性理論の形式から[ 2 ]^に修正される。

${\displaystyle \Box F_{ab}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ F_{ab;}{}^{d}{}_{d}=-2R_{acbd}F^{cd}+R_{ae}F^{e}{}_{b}-R_{be}F^{e}{}_{a}+J_{a;b}-J_{b;a},}$

ここで、R _acbdはリーマンテンソルの共変形式であり、${\displaystyle \Box }$これは、共変微分に対するダランベール演算子の一般化です。

${\displaystyle \Box A^{a}={{A^{a;}}^{b}}_{b}.}$

マクスウェルのソース方程式は、4元ポテンシャル[参考文献 2 、p.569  ]を用いて次のように表すことができる。

${\displaystyle \Box A^{a}-{A^{b;a}}_{b}=-\mu _{0}J^{a}}$

あるいは、曲がった時空におけるローレンツゲージの一般化を仮定すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}{A^{a}}_{;a}&=0,\\\Box A^{a}&=-\mu _{0}J^{a}+{R^{a}}_{b}A^{b},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle R_{ab}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {R^{s}}_{asb}}$はリッチ曲率テンソルです。

これは平坦な時空における波動方程式と同じ形式ですが、微分が共変微分に置き換えられ、曲率に比例する項が追加されています。この形式の波動方程式は、曲がった時空におけるローレンツ力にもいくらか似ており、A ^{a は}4 位の役割を果たします。

計量符号が (+, -, -, -) の形式の場合、曲がった時空における波動方程式の導出は次の形式で行われます。^{[ 3 ]}

${\displaystyle \nabla ^{\sigma }\nabla _{\sigma }F_{\mu \nu }=\mu _{0}\nabla _{\mu }J_{\nu }-\mu _{0}\nabla _{\nu }J_{\mu }-F_{\nu \rho }R^{\rho }{}_{\mu }+F_{\mu \rho }R^{\rho }{}_{\nu }+R_{\mu \nu \lambda \eta }F^{\eta \lambda }.}$

どこ${\displaystyle \mu _{0}}$真空透磁率とは、 ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$は共変微分であり、${\displaystyle J_{\nu }}$は4つの電流です。

マクスウェル方程式を背景に依存しない方法で扱う場合、すなわち、時空計量を電磁場に依存する動的変数とみなす場合、電磁波方程式とマクスウェル方程式は非線形になります。これは、アインシュタイン場方程式を通して、曲率テンソルが応力エネルギーテンソルに依存することからわかります。

${\displaystyle G_{ab}=\kappa T_{ab},}$

どこ

${\displaystyle G_{ab}~{\stackrel {\text{def}}{=}}~R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}}$

はアインシュタインテンソル、κはアインシュタイン重力定数、g _abは計量テンソル、Rはスカラー曲率であり、リッチ曲率テンソルのトレースに等しい。応力エネルギーテンソルは、電磁場を含むすべての物質と場の応力エネルギーから構成される。この相互依存性が非線形性の起源である。

電磁場の微分幾何学的定式化において、反対称ファラデーテンソルはファラデー2形式とみなすことができる。${\displaystyle \mathbf {F} }$この見方では、マクスウェルの2つの方程式のうちの1つは次のようになります。

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0,}$

どこ${\displaystyle \mathrm {d} }$は外微分演算子です。この方程式は座標と計量に依存せず、時空内の閉じた2次元曲面を通過する電磁束が位相的であり、より正確にはそのホモロジー類によって制約されることを示しています（ミンコフスキー空間のホモロジー類は自動的に0となるため、これはガウスの法則とマクスウェル・ファラデー方程式の積分形式の一般化です）。ポアンカレの補題により、この方程式は局所的に1形式が存在することを意味します。${\displaystyle \mathbf {A} }$満足

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} .}$

もう1つの方程式は

${\displaystyle \mathrm {d} {\star }\mathbf {F} =\mathbf {J} .}$

この文脈では、${\displaystyle \mathbf {J} }$現在の3フォームであり、スター${\displaystyle \star }$はホッジスター演算子を表す。マクスウェル方程式の時空の計量への依存性は、ホッジスター演算子によって示される。${\displaystyle \star }$2形式に関するものであり、これは共形不変である。このように記述すると、マクスウェル方程式はどの時空でも同じになり、明らかに座標不変であり、使いやすい（ミンコフスキー空間やユークリッド空間・時間、特に曲線座標の場合）。

別の幾何学的解釈としては、ファラデー2形式${\displaystyle \mathbf {F} }$（係数を除いて）${\displaystyle i}$曲率2形式${\displaystyle F(\nabla )}$U(1)接続の${\displaystyle \nabla }$主U(1)束上で、その断面は荷電場を表す。接続はベクトルポテンシャルによく似ており、すべての接続は次のように書ける。${\displaystyle \nabla =\nabla _{0}+iA}$「ベース」接続の場合${\displaystyle \nabla _{0}}$⁠、そして

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} _{0}+\mathrm {d} \mathbf {A} .}$

この見方では、マクスウェル「方程式」${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$これはビアンキ恒等式として知られる数学的恒等式です。${\displaystyle \mathrm {d} {\star }\mathbf {F} =\mathbf {J} }$この定式化において物理的な内容を持つ方程式はこれだけである。この観点は、荷電場や量子力学を考える際に特に自然である。重力が異なる点における平行移動ベクトルとの接続の必要性から生じるものとして理解できるのと同様に、電磁現象やアハロノフ・ボーム効果のようなより微妙な量子効果も、異なる点における平行移動荷電場や波動断面との接続の必要性から生じるものとして理解できると解釈できる。実際、リーマンテンソルが微小閉曲線に沿ったレヴィ・チヴィタ接続のホロノミーであるのと同様に、接続の曲率はU(1)接続のホロノミーである。

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