トルク

トルク
回転が 1 つの平面のみに制限されているシステムにおける力 F、トルクτ、線形運動量 p、および角運動量 Lの関係(重力と摩擦による力とモーメントは考慮されません)。
一般的な記号	${\displaystyle \tau}$、M
SI単位	N⋅m
その他のユニット	ポンド力フィート、lbf ⋅インチ、ozf⋅in
SI基本単位では	kg⋅m 2 ⋅s −2
寸法	${\displaystyle {\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-2}}$

物理学と力学において、トルクは直線力の回転類似物です。^[1]力のモーメント（モーメントと略されることもあります）とも呼ばれます。トルクの記号は通常、小文字のギリシャ文字タウです。力のモーメントと呼ばれる場合は、一般的にMと表記されます。直線力が物体に適用される押す力または引っ張る力であるのと同様に、トルクは選択した点に対する物体に適用されるねじりと考えることができます。たとえば、ネジを締めるにはトルクを使用してネジを物体に押し込みます。このトルクは、軸を中心に回転するドライバーによってヘッドの ドライブに適用されます。${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$

トルク（ラテン語の torquēre 「ねじる」に由来）という用語は、ジェームズ・トムソンによって提案され、1884年4月に印刷物に登場したと言われています。 ^{[2] [3] [4]}同年、シルバヌス・P・トンプソンがDynamo-Electric Machineryの初版でその使用を確認しています。^[4]トンプソンは次のようにこの用語の由来を述べています。^[3]

ニュートンの力の定義が、運動(直線に沿って)を生み出す、または生み出す傾向がある力であるのと同様に、トルクは、ねじれ(軸の周り) を生み出す、または生み出す傾向がある力として定義できます。この動作を単一の明確な実体として扱う用語を使用する方が、「カップル」や「モーメント」などのより複雑な概念を示唆する用語を使用するよりも適切です。軸を回転させるために適用されるねじれという単一の概念は、特定のてこ作用を持つ直線的な力 (または一対の力) を適用するというより複雑な概念よりも適切です。

今日、トルクは地理的な場所や研究分野に応じて異なる語彙で呼ばれています。この記事では、トルクという言葉の使用に関して、米国物理学で使用されている定義に従います。^[5]

英国および米国の機械工学では、トルクは力のモーメントと呼ばれ、通常はモーメントと短縮されます。^{[6]この用語は、少なくとも1811年の}シメオン・ドニ・ポアソンの「機械論」にまで遡ることができます。^[7]ポアソンの著作の英語訳は1842年に登場します。

レバーに垂直に作用する力にレバーの支点からの距離（レバーアームの長さ）を掛けたものがトルクである。したがって、トルクは、力の垂直成分の大きさと、力の作用線と、その周りの点からの距離の積として定義される。3次元では、トルクは擬似ベクトルであり、点粒子の場合は、変位ベクトルと力ベクトルの外積で与えられる。トルクの方向は、右手の握りのルールを使用して決定できる。つまり、右手の指をレバーアームの方向から力の方向に向かって曲げると、親指はトルクの方向を指す。^[8]したがって、トルクベクトルは位置ベクトルと力ベクトルの両方に垂直であり、2つのベクトルが存在する平面を定義する。結果として得られるトルクベクトルの方向は、右手のルールによって決定される。したがって、粒子の位置ベクトルに平行な方向の力は、トルクを生成しない。^{[9] [10]}剛体に加えられるトルクの大きさは、加えられる力、トルクを測定する点と力を加える点を結ぶレバーアームベクトル^[11]、および力とレバーアームベクトルの間の角度という3つの量によって決まります。記号で表すと、

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \implies \tau =rF_{\perp }=rF\sin \theta }$$

どこ

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$はトルクベクトルであり、はトルクの大きさである。${\displaystyle \tau }$
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$は位置ベクトル（トルクを測定する点から力が加えられる点までのベクトル）であり、rは位置ベクトルの大きさである。
• ${\displaystyle \mathbf {F} }$は力のベクトル、Fは力のベクトルの大きさ、F _⊥は粒子の位置に垂直に向けられた力の量です。
• ${\displaystyle \times }$は外積を表し、右手の法則に従ってrとFの両方に垂直なベクトルを生成する。
• ${\displaystyle \theta }$力のベクトルとレバーアームのベクトルの間の角度です。

トルクの SI 単位はニュートンメートル (N⋅m) です。トルクの単位の詳細については、§ 単位を参照してください。

物体にかかる正味トルクは物体の角運動量の変化率を決定する。

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}$$

ここでLは角運動量ベクトル、tは時間である。点粒子の運動の場合、

$${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},}$$

ここで、は慣性モーメント、ωは軌道角速度擬似ベクトルである。従って、 ${\textstyle I=mr^{2}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=I_{1}{\dot {\omega _{1}}}{\hat {\boldsymbol {e_{1}}}}+I_{2}{\dot {\omega _{2}}}{\hat {\boldsymbol {e_{2}}}}+I_{3}{\dot {\omega _{3}}}{\hat {\boldsymbol {e_{3}}}}+I_{1}\omega _{1}{\frac {d{\hat {\boldsymbol {e_{1}}}}}{dt}}+I_{2}\omega _{2}{\frac {d{\hat {\boldsymbol {e_{2}}}}}{dt}}+I_{3}\omega _{3}{\frac {d{\hat {\boldsymbol {e_{3}}}}}{dt}}=I{\boldsymbol {\dot {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times (I{\boldsymbol {\omega }})}$$

ベクトルの導関数を使用すると、この式は点粒子に対するニュートンの第 2 法則の回転類似体であり、任意のタイプの軌道に有効です。回転ディスクなどの単純なケースでは、回転軸の慣性モーメントのみが であるため、回転ニュートンの第 2 法則は次のようになります。 ここで。$${\displaystyle {d{\boldsymbol {\hat {e_{i}}}} \over dt}={\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\hat {e_{i}}}}}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\dot {\boldsymbol {\omega }}}}$

単一点粒子の角運動量の定義は次のとおりです。 ここで、pは粒子の線形運動量、r は原点からの位置ベクトルです。この時間微分は次のとおりです。 $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} .}$$

この結果は、ベクトルを成分に分割し、積の法則を適用することで簡単に証明できます。しかし、線形運動量の変化率は力であり、位置の変化率は速度であるため、 ${\textstyle \mathbf {F} }$${\textstyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} }$$

運動量とそれに関連する速度の積はゼロです。速度と運動量は平行なので、第2項は消えます。したがって、粒子のトルクはその角運動量の時間に関する第1導関数に等しくなります。複数の力が作用する場合、ニュートンの第2法則によれば、次のようになります。${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{\mathrm {net} }={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }.}$$

これは点粒子に対する一般的な証明ですが、上記の証明を各点粒子に適用し、すべての点粒子について合計することで、点粒子のシステムに一般化できます。同様に、上記の証明を質量内の各点に適用し、質量全体について積分することで、証明を連続質量に一般化できます。

物理学 では、回転子は時間に対するトルクの微分である^[12]

${\displaystyle \mathbf {P} ={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\tau }}}{\mathrm {d} t}},}$

ここでτはトルクです。

この単語は「回転する」を意味するラテン語rotātusに由来していますが、 rotatumという用語は普遍的に認識されているわけではありませんが、一般的に使用されています。さまざまな提案がなされてきたとしても、rotatum の派生語を示す普遍的に受け入れられた辞書はありません。

トルクの外積定義を使用すると、回転の別の表現は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {F} .}$

力の変化率はヤンクであり、位置の変化率は速度であるため、式はさらに次のように簡略化できます。 ${\textstyle \mathbf {Y} }$${\textstyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {r} \times \mathbf {Y} +\mathbf {v} \times \mathbf {F} .}$

エネルギー保存の法則はトルクを理解するのにも使えます。力が距離を通じて作用する場合、それは機械的な仕事をしています。同様に、トルクが角度変位を通じて作用する場合、それは仕事をしています。数学的には、質量中心を通る固定軸の周りの回転の場合、仕事W は次のように表すことができます 。

W = ∫ θ 1 θ 2 τ d θ , {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta ,}

ここで_τはトルク、θ1とθ2_はそれぞれ物体の初期角度位置と最終角度位置を表す。 ^[13]

仕事エネルギー原理から、Wは物体の 回転運動エネルギー E _rの変化も表すことがわかります。

E r = 1 2 I ω 2 , {\displaystyle E_{\mathrm {r} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2},}

ここでIは物体の慣性モーメント、ωは角速度である。^[13]

電力は単位時間当たりの仕事であり、次のように表される。

P = τ ⋅ ω , {\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }},}

ここで、Pは電力、τはトルク、ωは角速度、スカラー積を表します。 ${\displaystyle \cdot }$

代数的に、この方程式は、与えられた角速度と出力に対するトルクを計算するために再構成することができます。トルクによって注入される電力は、瞬間的な角速度のみに依存し、トルクが適用されている間に角速度が増加するか、減少するか、一定のままであるかには依存しません (これは、力によって注入される電力が瞬間的な速度のみに依存し、結果として生じる加速度 (もしある場合) には依存しない線形ケースに相当します)。

有限の直線変位にわたって作用する可変力によって行われる仕事は、その力を基本直線変位に関して積分することによって与えられる。${\displaystyle s}$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} }$

$${\displaystyle W=\int _{s_{1}}^{s_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }$$

しかし、微小な直線変位は対応する角度変位と半径ベクトルと次のよう に関係している。${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} }$${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} =\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r} }$$

上記の式に仕事 を代入すると、 $${\displaystyle W=\int _{s_{1}}^{s_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r} }$$

積分内の表現はスカラー三重積 であるが、トルクの定義に従い、積分のパラメータが直線変位から角変位に変更されているため、式は次のようになる。 ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}}$

$${\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}}$$

トルクと角変位が同じ方向である場合、スカラー積は大きさの積に減少します。つまり、 ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}=\left|{\boldsymbol {\tau }}\right|\left|\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\right|\cos 0=\tau \,\mathrm {d} \theta }$

$${\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \,\mathrm {d} \theta }$$

モーメントの原理は、ヴァリニョンの定理とも呼ばれ、同名の幾何学的定理と混同しないように注意し、ある点に作用する複数の力による合成トルクは、寄与するトルクの合計に等しいと述べています。

$${\displaystyle \tau =\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\ldots +\mathbf {r} _{N}\times \mathbf {F} _{N}.}$$

このことから、物体の軸の周りに作用するN個の力から生じるトルクは、次の場合に釣り合うことがわかります。

$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\ldots +\mathbf {r} _{N}\times \mathbf {F} _{N}=\mathbf {0} .}$$

トルクは力×距離の次元を持ち、記号で表すとT ⁻² L ² Mで、これらの基本次元はエネルギーや仕事のそれと同じです。公式のSI文献では、ニュートンメートルがトルクの単位として適切にN⋅mと表記されていますが、これはジュールと次元的に等価ですが、ジュールはトルクには使用されていません。^{[14] [15]}トルクの場合、単位はベクトルに割り当てられますが、エネルギーの場合はスカラーに割り当てられます。つまり、ニュートンメートルとジュールの次元の等価性は前者には適用できますが、後者には適用できません。この問題は、ラジアンを無次元単位としてではなく基本単位として扱う方向解析で対処されています。 ^[16]

トルクの伝統的なヤードポンド法の単位はポンドフィート（lbf-ft）で、値が小さい場合はポンドインチ（lbf-in）です。米国では、トルクはフィートポンド（lb-ftまたはft-lbと表記）およびインチポンド（in-lbと表記）と呼ばれることが最も一般的です。^{[17] [18]}実務家は、これらがトルクを指しており、（ft-lbという記号が適切に示唆するように）エネルギーや質量モーメントを指しているわけではないことを文脈と略語のハイフンから理解しています。

異なる単位のパワーやトルクを使用する場合は、変換係数が必要になることがあります。たとえば、角速度 (単位: ラジアン/秒) の代わりに回転速度(単位: 毎分または毎秒の回転数) を使用する場合は、1 回転あたり 2 πラジアンを掛ける必要があります。次の式で、Pはパワー、τはトルク、ν (ギリシャ文字の nu ) は回転速度です。

$${\displaystyle P=\tau \cdot 2\pi \cdot \nu }$$

表示単位:

$${\displaystyle P_{\rm {W}}=\tau _{\rm {N{\cdot }m}}\cdot 2\pi _{\rm {rad/rev}}\cdot \nu _{\rm {rev/s}}}$$

1 分あたり 60 秒で割ると次のようになります。

$${\displaystyle P_{\rm {W}}={\frac {\tau _{\rm {N{\cdot }m}}\cdot 2\pi _{\rm {rad/rev}}\cdot \nu _{\rm {rev/min}}}{\rm {60~s/min}}}}$$

回転速度は毎分回転数（rpm、rev/min）で表されます。

一部の人々（例えば、アメリカの自動車エンジニア）は、パワーに馬力（機械式）、トルクにフィートポンド（lbf⋅ft）、回転速度にrpmを使用します。その結果、式は次のように変わります。

$${\displaystyle P_{\rm {hp}}={\frac {\tau _{\rm {lbf{\cdot }ft}}\cdot 2\pi _{\rm {rad/rev}}\cdot \nu _{\rm {rev/min}}}{33,000}}.}$$

以下の定数 (フィートポンド/分) は馬力の定義によって変わります。たとえば、メートル法の馬力を使用すると、およそ 32,550 になります。

他の単位 (例: 電力の 1 時間あたりのBTU )を使用する場合は、別のカスタム変換係数が必要になります。

回転する物体の場合、回転の円周で移動する直線距離は、半径と移動する角度の積です。つまり、直線距離 = 半径 × 角距離です。また、定義により、直線距離 = 直線速度 × 時間 = 半径 × 角速度 × 時間となります。

トルクの定義によれば、トルク = 半径 × 力です。これを変形すると、力 = トルク ÷ 半径となります。これらの 2 つの値は、電力の定義に代入できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{power}}&={\frac {{\text{force}}\cdot {\text{linear distance}}}{\text{time}}}\\[6pt]&={\frac {\left({\dfrac {\text{torque}}{r}}\right)\cdot (r\cdot {\text{angular speed}}\cdot t)}{t}}\\[6pt]&={\text{torque}}\cdot {\text{angular speed}}.\end{aligned}}}$$

半径rと時間t は方程式から抜けています。ただし、導出の最初に直線速度と角速度の間に直接的な関係があると仮定すると、角速度は時間単位のラジアンで表す必要があります。回転速度が時間単位の回転数で測定される場合、上記の導出では直線速度と距離が 2 πずつ比例して増加し、次のようになります。

$${\displaystyle {\text{power}}={\text{torque}}\cdot 2\pi \cdot {\text{rotational speed}}.\,}$$

トルクがニュートンメートルで回転速度が毎秒回転数の場合、上記の式は毎秒ニュートンメートルまたはワットでの出力を表します。ヤードポンド法が使用され、トルクがポンド力フィートで回転速度が毎分回転数の場合、上記の式は毎分フィートポンド力での出力を表します。この式の馬力形式は、変換係数 33,000 ft⋅lbf/min / 馬力を適用することで得られます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{power}}&={\text{torque}}\cdot 2\pi \cdot {\text{rotational speed}}\cdot {\frac {{\text{ft}}{\cdot }{\text{lbf}}}{\text{min}}}\cdot {\frac {\text{horsepower}}{33,000\cdot {\frac {{\text{ft}}\cdot {\text{lbf}}}{\text{min}}}}}\\[6pt]&\approx {\frac {{\text{torque}}\cdot {\text{RPM}}}{5,252}}\end{aligned}}}$$

なぜなら${\displaystyle 5252.113122\approx {\frac {33,000}{2\pi }}.\,}$

物理学以外の分野でトルクの定義としてよく使われる非常に便利な特殊なケースは次のとおりです。

$${\displaystyle \tau =({\text{moment arm}})({\text{force}}).}$$

右の図には、「モーメント アーム」の構造が、前述のベクトルrおよびFとともに示されています。この定義の問題点は、トルクの方向は示されず、大きさのみが示されるため、3 次元の場合に使用するのが難しいことです。力が変位ベクトルrに垂直である場合、モーメント アームは中心までの距離に等しくなり、トルクは与えられた力に対して最大になります。垂直な力から生じるトルクの大きさの式は次のとおりです。

$${\displaystyle \tau =({\text{distance to centre}})({\text{force}}).}$$

たとえば、人が 0.5 m の長さのレンチの末端に 10 N の力を加えた場合 (または、任意の長さのレンチのねじれ点から 0.5 m のところに 10 N の力が作用した場合)、人が移動平面内でレンチに垂直な力を加えてレンチを動かすと仮定すると、トルクは 5 N⋅m になります。

物体が静的平衡状態にあるためには、力の合計がゼロであるだけでなく、任意の点の周りのトルク（モーメント）の合計もゼロでなければなりません。水平方向の力と垂直方向の力がある 2 次元の状況では、力の合計要件は 2 つの方程式Σ H = 0とΣ V = 0であり、トルク要件は 3 番目の方程式Σ τ = 0です。つまり、 2 次元で静的に決定的な平衡問題を解くには、3 つの方程式が使用されます。

システムにかかる正味の力がゼロのとき、空間内のどの点から測定されたトルクも同じです。たとえば、均一な磁場内の電流を流すループにかかるトルクは、基準点に関係なく同じです。正味の力がゼロでなく、がから測定されたトルクである場合、 から測定されたトルクは ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{2}={\boldsymbol {\tau }}_{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})\times \mathbf {F} }$$

トルクはエンジンの基本仕様の一部を形成します。エンジンの出力は、トルクとドライブ シャフトの角速度の積として表されます。内燃エンジンは、限られた回転速度範囲(小型車の場合、通常 1,000～6,000  rpm ) でのみ有効なトルクを生成します。その範囲での変化するトルク出力は、ダイナモメーターを使用して測定し、トルク曲線として表示できます。蒸気エンジンと電気モーターは、回転速度が 0 rpm に近いときに最大トルクを生成する傾向があり、回転速度が上昇するにつれてトルクは減少します (摩擦の増加やその他の制約のため)。往復蒸気エンジンと電気モーターは、クラッチなしで 0 rpm から重い負荷を始動できます。

実際には、パワーとトルクの関係は自転車で見ることができます。自転車は通常、2 つの車輪、チェーンとかみ合う前後のギア (スプロケットと呼ばれる) 、および自転車の変速システムが複数のギア比を使用できる場合 (つまり、多段変速自転車) のディレイラー機構で構成され、これらすべてがフレームに取り付けられています。自転車に乗る人は、ペダルを回してフロント スプロケット (一般にチェーンリングと呼ばれる)を回すことで入力パワーを提供します。自転車に乗る人によって提供される入力パワーは、角速度 (つまり、1 分間のペダル回転数 × 2 π ) と自転車のクランクセットのスピンドルのトルクの積に等しくなります。自転車のドライブトレインは入力パワーを車輪に伝達し、車輪は受け取ったパワーを自転車の出力パワーとして路面に伝えます。自転車のギア比に応じて、（トルク、角速度）_入力ペアが（トルク、角速度）_出力ペアに変換されます。より大きなリアギアを使用するか、多段変速自転車でより低いギアに切り替えると、車輪の角速度は低下しますが、トルクは増加しますが、その積（つまり、出力）は変化しません。

トルクを増幅する方法は 3 つあります。レバーの長さが長くなるように支点を配置する、より長いレバーを使用する、または減速ギアセットまたはギア ボックスを使用する方法です。このようなメカニズムでは、回転速度が低下するとトルクが増幅されます。

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ウィキメディア・コモンズには、トルクに関連するメディアがあります。

• 「馬力とトルク」 2007 年 3 月 28 日にWayback Machineにアーカイブされました。パワー、トルク、ギアが車両のパフォーマンスにどのように影響するかを示す記事です。
• プロジェクト PHYSNET における円運動のトルクと角運動量。
• トルクのインタラクティブシミュレーション
• トルク単位コンバータ
• トルクの感覚 Archived 2021-05-08 at the Wayback Machine桁違いのインタラクティブ。