コンパクト収束

数学 において、コンパクト収束（またはコンパクト集合上の均一収束）は、均一収束の概念を一般化した収束の一種である。これはコンパクト開位相と関連付けられている。

させて${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$位相空間であり、${\displaystyle (Y,d_{Y})}$距離空間である。関数の列

${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$、${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

はコンパクトに収束すると言われている${\displaystyle n\to \infty }$何らかの関数へ${\displaystyle f:X\to Y}$すべてのコンパクト集合に対して${\displaystyle K\subseteq X}$、

${\displaystyle f_{n}|_{K}\to f|_{K}}$

均一に${\displaystyle K}$として${\displaystyle n\to \infty }$これは、すべてのコンパクト${\displaystyle K\subseteq X}$、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup _{x\in K}d_{Y}\left(f_{n}(x),f(x)\right)=0.}$

• もし${\displaystyle X=(0,1)\subseteq \mathbb {R} }$そして${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$通常のトポロジーで、${\displaystyle f_{n}(x):=x^{n}}$、 それから${\displaystyle f_{n}}$値は0の定数関数にコンパクトに収束するが、一様収束は成り立たない。
• もし${\displaystyle X=(0,1]}$、${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$そして${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$、 それから${\displaystyle f_{n}}$点ごとにゼロとなる関数に収束する${\displaystyle (0,1)}$そして1つは${\displaystyle 1}$しかし、この数列はコンパクトに収束しない。
• コンパクト収束を示すための非常に強力なツールとして、アルツェラ・アスコリの定理があります。この定理にはいくつかのバージョンがありますが、大まかに言えば、等連続かつ一様有界な写像の任意の列には、ある連続写像にコンパクト収束する部分列が存在するというものです。

• もし${\displaystyle f_{n}\to f}$均一に、そして${\displaystyle f_{n}\to f}$コンパクトに。
• もし${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$コンパクトな空間で${\displaystyle f_{n}\to f}$コンパクトに、そして${\displaystyle f_{n}\to f}$均一に。
• もし${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$は局所的にコンパクトな空間である。${\displaystyle f_{n}\to f}$コンパクトにするのは、${\displaystyle f_{n}\to f}$局所的に均一に。
• もし${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$コンパクトに生成された空間です。${\displaystyle f_{n}\to f}$コンパクトに、そしてそれぞれ${\displaystyle f_{n}}$連続である場合、${\displaystyle f}$連続的である。

• 収束の様式（注釈付き索引）
• モンテルの定理

• ラインホルト・レンマート著『複素関数論』  （1991年、シュプリンガー社刊） 95ページ