一様コーシー列

数学において、集合Sから距離空間Mへの関数の列は、次の場合、一様コーシー関数であるといわれます。 ${\displaystyle \{f_{n}\}}$

• すべての に対して、すべての に対して となるものが存在する:のときはいつでも。${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N>0}$${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle d(f_{n}(x),f_{m}(x))<\varepsilon }$${\displaystyle m,n>N}$

これを別の言い方で言うと、2つの関数間の 一様距離は次のように定義されます。${\displaystyle d_{u}(f_{n},f_{m})\to 0}$${\displaystyle m,n\to \infty }$${\displaystyle d_{u}}$

${\displaystyle d_{u}(f,g):=\sup _{x\in S}d(f(x),g(x)).}$

SからMへの関数の列 { f _n }は、各x ∈ Sに対して、列 { f _n ( x )} がMのコーシー列である場合に、点ごとにコーシー列となります。これは、一様コーシーであることよりも弱い条件です。

一般に、列は点ごとにコーシーでありながら点ごとに収束しないこともあれば、一様コーシーでありながら一様収束しないこともあります。ただし、距離空間Mが完備であれば、任意の点ごとのコーシー列はSからMへの関数に点ごとに収束します。同様に、任意の一様コーシー列はそのような関数に 一様収束します。

一様コーシー性質は、Sが単なる集合ではなく位相空間であり、M が完全な計量空間である場合によく使用されます。次の定理が成り立ちます。

• S を位相空間、M を完全な距離空間とします。すると、連続関数 f _n  : S → Mの一様コーシー列は、一意の連続関数f  : S → Mに一様につながります。

集合Sから一様空間Uへの関数の列は、次の場合、一様コーシー関数であるといわれます。 ${\displaystyle \{f_{n}\}}$

• すべてのおよび任意のイプシロン に対して、となるようなが存在する。${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle N>0}$${\displaystyle d(f_{n}(x),f_{m}(x))<\varepsilon }$${\displaystyle m,n>N}$

• 収束のモード（注釈付きインデックス）