強力な措置ゼロセット

数学解析において、強測度ゼロ集合^{[ 1 ]}は、次の性質を持つ実数直線の部分集合Aである。

正の実数の任意の列 (ε _n ) に対して、すべてのnに対して| I _n | < ε _nとなるような区間の列 ( I _n )が存在し、AはI _nの和集合に含まれる。

（ここで、| I _n |は区間I _nの長さを表します。）

すべての可算集合は強測度ゼロ集合であり、可算個の強測度ゼロ集合の和集合も同様です。すべての強測度ゼロ集合はルベーグ測度0を持ちます。カントール集合は、強測度ゼロではないルベーグ測度0の非可算集合の例です。^{[ 2 ]}

ボレルの予想^{[ 1 ]}は、すべての強測度ゼロ集合は可算であると述べている。この主張は、 ZFC（集合論のツェルメロ・フレンケル公理​​系、数学で仮定される標準的な公理系）とは独立していることが現在では知られている。これは、ZFC（ZFCが無矛盾であると仮定した場合） ではボレルの予想を証明することも反証することもできないことを意味する。シェルピンスキーは1928年に、連続体仮説（これも現在ではZFCとは独立であることが知られている）が非可算な強測度ゼロ集合の存在を意味することを^{証明した[ 3 ]。} 1976年、ラバーは強制法を用いて、ボレルの予想が成り立つZFCのモデルを構築した^{[ 4 ]} 。これら2つの結果を合わせると、ボレルの予想の独立性が確立される。

1973年に、強測度ゼロ集合の以下の特徴付けが証明された。

集合A ⊆ Rの強測度がゼロであるのは、任意の貧集合M ⊆ Rに対してA + M ≠ Rである場合に限る。^{[ 5 ]}

この結果は、以下のように定義される「非常に乏しい集合」の概念との関連性を確立する。

集合M ⊆ Rが強乏であるのは、ルベーグ測度がゼロであるすべての集合A ⊆ Rに対してA + M ≠ Rである場合に限る。

双対ボレル予想は、すべての強乏集合は可算集合であると述べている。この主張はZFCとは無関係である。^{[ 6 ]}